Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Совокупность и линейно невависимых решений уравнения (7.45) ха1 Х1 аа (7.49) а Хаа называется фундаментальной системой решений этого уравнения, а матрица Х (2) = Ц Х„..., Х„Ц (7.50) или, что то же самое, хв хм ха а х'и Х(2) = (7.51) хт хт "хьа называется фундаментальной матрнцей. Здесь, как и в дальнейшем, первый индекс элемента хь, обозначает номер функции, а второй — номер решения. Общее решение х (2) уравнения (7.45) определяется обычной формулой общего решения линейного однородного дифференциального уравнения: (7.52) Х(2)=-С1Х1+ С1Х +...
+ С„Х„, 1 7.ь системы с певиодическими коэФФициентлми 233 .где С„..., ф— произвольные' постоянные, определяемые из начальных условий. В матричной форме общее решение (7.52) имеет вид ш (1) = Х (1).С, (7.53) где С вЂ” матрица-столбец с (7.54) с„ Не нарушая общности, можно считать, что фундаментальная система решений удовлетворяет следующим начальным условиям: (1, й=у, х„;(О)= ~ ~0, -дУ или в матричной форме Х(0) =Е, (7.55) где Š— единичная матрица 1 О... О О 1...
О О О... 1 Обозначим через Д (1) определитель фундаментальной матрицы Д (1) = се1 Х (1). ' .56) Пользуясь равенством (7.55), получим Д (О) = сеС Х (О) = ое1 Е = 1. (7.57) В теории дифференциальных уравнений доказывается следующая формула Лнувилля: с 5'Оь+-+ ..М' Д (1) =. Д (О) ео Учитывая равенство (7.57), найдем, что при 1 =- Т т ) О„+, -ер,„ы Д (7') — е" (7.58) 234 гл, чп, устойчивость нклзтономньгл снетки Если в каком-нибудь решении хт заменить г на г + Т, то в силу периодичности матрицы Р (~) мы снова получим решение, так как вектор хт (г + Т) будет по-прежнему удовлетворять уравнению (7.45), если ему удовлетворял вектор хз (т).
Полученное решение не будет совпадать с первоначальным решением ха (Г), но, как всякое решение уравнения (7.45), оно может быть получено из общего решения (7.53) выбором соответствующей матрицы-столбца С. Обозначив зту матрицу через Аю найдем х„(г + Т) = Х (г).А, (я = 1, 2,..., и). Отсюда видно, что фундаментальная матрица Х (с + Т) решений хт (г + Т), хт (г + Т),..., х (С + Т) имеет вид Х (~+ Т) = Х (~)А, (7.59) где А — постоянная матрица: ап ам ° а„ ам а„...
а,„ А =((Ап ..., А„()= (7.60) а,о а„~ По предположению фундаментальная система решений х, (С),..., х„(Ю) удовлетворяет начальным условиям (7,55). Позтому, положив в равенстве (7.59) й = О, найдем Х (Т) = Х (0)А = ЕА = А. Следовательно, если известна фундаментальная матрица Х (г), то матрица А определится из последнего равенства: тн (Т) ... и „(Т) (7.6() А=-Х(Т)= Ую (Т) ° хам (Т) Покажем далее, что существует решение х (г), удовлетворяющее следующей зависимости: х(~+ Т) = рх(~), (7.62) где р — некоторое постоянное число (такое решение называется нормальным). Действительно, любое решение уравнения (7.45) можно получить из общего решения (7.53).
Поэтому если нормальное решение существует, то должна существовать такая постоянная матрица- С е5. системы с пегиодическими кОэФФициентАми 235 столбец (7.63) для которой будет справедливо равенство (С) = Х (С)(). Так как по предположению х (С) удовлетворяет равенству (7.62), то, имея) в виду, что ю (С+ Т) = Х (С+ Т)(3, получим Х (С + Т)р = рХ (г)(С или, пользуясь р««енством (7.59)„ Х (С)А() = рХ (С)(). Группируя члены, найдем Х (С) (А — рЕ)р = О. Учитывая, что это равенство должно выполняться при всех С, получим (А — рЕ)() Это матричное уравнение, являются матрица-столбец () и скалярным уравнениям (а„— р)(), + а,ар, + аа7р7 + (а„— р)ра + а„7р +а~,К+...+ в котором неизвестными число р, эквивалентно в ...
+а,„(7„= О, ... +«,„Р„=О, (а — р) р„= О. ам — р а7а 1« ам ам — р с)еС (А — рЕ) = = О. (7.64) а«7 ааа ° ° ° а„„вЂ” р Каждому корню ра этого характеристического уравнения (для простоты будем предполагать, что среди корней нет кратных) отвечает свое решение ю„(С), удовлетво- Для того чтобы система и алгебраических однородных уравнений относительно р„..., р„имела решение, отличное от нуля, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю: 236 Гл.
Тп. устОЙчиВОсть нелитономссьсх систем ряющее условию (7.62). В результате получим и нормальных решений х, (1),..., х„(1), удовлетворяющих условию (7,62); х, (1 + Т) =- р,г, (1),..., х„(1+ Т) = р х„(1), (7.65) Эта система решений линейно независима и может быть принята за фундаментальную систему решений. Покажем теперь, что нормальные решения имеют вид х» (1) = е"к'срк (1) ()с = $,..., и), (7.66) где срс (1) — периодическая матрица-столбец периода Т ) св, (с) ~ фк (1) = .
~, фк (1 + Т) = фк (1), (7.67) ч р)! а ак — постоянные числа, называемые хараитериетичеекими показателями, вычисляются по формуле с) а»= —,, 1пр». (7»=1,..., и). (7.68) 1 х(1)=. ~ Скхк(1). с.=с (7.69) с) Напомним определение логарифма коьшлексного числа (корни уравнения (7.64) могут быть комплексными числами): 1н р = 1п ( р ) + с агх р, где ) р ) есть модуль р и агп р обовначает аргумент р.
Действительно, внесем в равенства (7.66) значение 1, равное 1+ Т. Получим х» (1 + Т) = е »П'тзфк (1+ Т). Пользуясь равенствами (7.67) и (7.68), последовательно найдем (' )т х»(1+ Т) =е ге'с*фа(1-1- Т)=е"к'е ' к срк(1)= = Ркхк (1)» т. е. равенства (7.65). Теперь можно перейти к исследованию устойчивости движения. Будем считать, что за фундаментальчую систему решений уравнения (7.45) принята система нормальных решений хс (1),..., х„(1), удовлетворяющих условиям (7.65).
Общее решение уравнения (7.45) запишем в форме (7.52) З еа системы с пеукодическими кОэФФициентАми 237 Вектор х (») определяет изображающую точку М, а слагаемые Ськг (») являются составляющими его. Через период Т положение изображающей точки М будет определяться равенством х (» + Т) = лг Сгеек (» + Т).
з=г Составляющие этого вектора, согласно (7.б5), равны Сьх„(» + Т) = ркСкх„(»). (7.70) Ото»ода ) Сею„(» + Т)(=-) р„() Скос„(») ~. Это равенство показывает, что если все ~ рь ~ 1, то через период Т модули всех составляющих вектора х (»+ Т) уменьшатся и, следовательно, изображающая точка М приблизится к началу координат; если модуль хотя бы одного корня рь больше единицы, то через период Т соответствующая составляющая Сглаз (» + Т) вектора ю (» + Т) увеличится по модулю и изображающая точка М начнет отдаляться от начала координат; наконец, если среди корней характеристического уравнения имеются такие, модули которых равны единице, то модули соответствующих составляющих вектора ж (» — , 'Т) останутся беа изменения.
Из этого вытекают следующие условия устойчивости системы, возмущенное двигкение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Если модули всех корней характериспгического уравнения (7.б»ь) меньше единицы, то невозмущенное движение хг =... = х„= О асимппютически устойчиво.
Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, модуль которого больше единицы, то невозмущенное движение неустойчиво, Если среди корней характеристического уравнения имеются такие, модули которых равны единиг»е, а модули остальных корней меньше единицы, то нсвозмущенное движение устойчиво, хотя и не асимптотически. Заметим, что первые два вывода справедливы и при кратных корнях характеристического уравнения, а последний только по простых корнях (точнее, при корнях простых относя оно элементарных делителей).
238 гл тп. устОйчиВОсть нехвтономнь<х систем Раскроем определитель (7.64) и приведем его к виду р" + агро т + пор" ' +... + а„рир + а„= О. (7.71) Коэффициент а„определяется, очевидно, равенством а„= ( — 1)" <[ес А. Пользуясь равенствами (7.61), (7.56) и (7.58), найдем т [ <р„+...-ррр„м< ло — ( 1)"со (7.72) Отметим, что в этом методе заключение об устойчивости двия<ения на бесконечном промежутке времени делается на основании результатов интегрирования на конечном интервале времени [О, Т[.
Таким образом, свободный член характеристического уравнения (7.71) может быть найден по коэффициентам исходных уравнений (7.45). К сожалению, для определения остальных коэффициентов уравнения (7.71) необходимо знать хотя бы одну фундаментальную матрицу Х (г) (легко доказывается, что уравнение (7.71) не зависит от выбора фундаментальной матрицы). Задача облегчается тен, что критерии устойчивости носят характер неравенств, поэтому можно пользоваться численными и приближенными методами. Один из этих методов состоит в следующем. Задав начальные условия (7.55), численным интегрированием уравнения (7.45) определяют значения линейно независимых решений (7.49) в конце периода Т, т. е. матрицу Х(Т) = А.
Так как интегрирование нужно производить на конечном промежутке времени [О, Т), то все вычисления можно произвести с любой наперед заданной точностью (для этой цели лучше всего, конечно, использовать электронно-вычислительные машины). По найденной матрице А составляется характеристическое уравнение (7.64), после чего определяются корни р„р„..., р„. Хорошим контролем этого метода мон<ет служить равенство (7.72), которое с помощью последней формулы Виета (4.23) приводится к виду 9 76.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
