Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 52
Текст из файла (страница 52)
И. Лурье. С этой целью рассмотрим систему непрямого регулирования двигателя с жесткой обратной сзяаью, описываемую уравнениями (сы. пример 1 8.5) Т,о'= — йД, Тоу+ То+а =йго, (9.20) 5=1(о), о=а — 3, Рис. 9.8 где То, Тг То йо йг — положительные параметры. Сначала найдем передаточную функцию от ( — 1) к а. Имеем Торо =- — йД, (Т р' + Тзр + 1)з = йго, р3 = ( (о), о = з — $. Из первого и третьего уравнения найдем й, й. $ = — ) о== — — 3= — — о( р ' Тор Торо Согласно второму и четвертому уравнениям, получим йой~ ' = — Т,ро (Т,р -Г Т,р ( 1) 1 йойо Т,р (Т,'р +Т,р+1) Следовательно, передаточная функция йойо 1 И (р)= То1Р (Т~р~ + Тор + 1) Р имеет два нулевых полюса. Воспольауемся теоремой 3 п подчпвны коэффициенты системы условиям теоремы.
После несложных преобразований получим йц)с~ и =. )(го роИ' (р) =: —, Реж Т о йгйгто Р =. 1нп — [роИг (р)) =. — — -(- 1, лр То ГЛ. 1Х. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ йсйг '1 л (ю) = ы !ш - „,1. .-гц уме' (~,'~' — — Тт л) й.й,т, — 1. тэ ((т;'ют - 1)т+ Г,";юс) Согласно теореме 3, для абсол1отной устойчивости системм достаточно, чтобы выполнялясь условия а>0, р>0, я(ю)(0 при всех ы>0, Пш и (ю) ~ О. и м Первое и последаее условия выполняются, очевидно, всегда. Второе условие р > 0 будет выполнено при р (1, где р = йсй,Тт(уэ. Третье условие равносильно неравенству т,'ют-;- (тэ * — 1)' — 9>О.
Коли ввести обозначения т = Ттт(Т,-'„ыт Тат =- у, то это нера- венство приводится к виду чтут (- (1 — 2т)у + 1 — и > О. (9.21) Так как условие я (ю) ( 0 должно выполняться при всех ю э>ь О, то неравенство (9.21) должно быть справедливо при всех у гв О. При т ~~ 'lт средкпи коэффициент левой части этого нера- вейства будет неотрицателен при двух положительных других коэффициентах (р и 1).
Поэтому при т А Пт неравенство (9.21) будет справедливо при всех у й> хО. ПУсть тепеРь т > г~т, КоРни полинома, стоЯщего в левой части (9.21), определяются форлгулой 2т — 1+ ~/(2т — 1)т — 4тт(1 — р) Уцэ 2тэ Коли подкореипое выражение положительно илп равно нулю, то условие (9.21) нарушается при у =- уг > О. В случае отрицатель- ности подкоренного выражения корпи полинома мнимые п, следо- вательно, (9.21) справедливо при всех у > О, Поэтому при т Чт должно выполняться неравенство (2т — 1) < 4т' (1 — р), которое равносильно следующему: 1 1 4тт ' Таким обрааом, согласно теореме 3, область абсолютной устой- чивости системы (9,20) имеет вид Р.С.
1 пРи тя,г м р(1/т — 1/4тт при т>'П н совпадает с областью, найденной в предыдущей главе прп помощи метода А. И. Лурье (см. (8.53) и рис. 8.6). Сравнение двух методов исследования абсолютноп устойчи- вости, проведенное на этом примере, пскаэывает, что частотный метод, пе ивменяя области устойчивости, более экономичел с точки эрения количества необходимых вычнслений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. А б г а р я н К. А. Устойчивость движения па конечном интервале П Итоги науки и техники. Сер. Общая механика.— Мл ВИНИТИ, 1976.— Т. 3. 2. Айверман М. А. и Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем.— Мл АН СССР, 1963. 2а. Анапольский Л. Ю., Иргетов В. Д., Матр о с о в' В. М. Способы построения функций Ляпунова П Итоги науки и техники. Сер.
Общая механика.— Мл ВИНИТИ, 1975.— Т. 2. 3. А н д р е е в В. Д. Теория инерциальпой навигации. Автономные системы.— Мл Наука, 1966. 4. Андронов А. А., Витт А. А. н Хайкин С. Э. Теория колебаний.— 2-е ивд.— Мл Фивматгнз, 1959. 5. Б а р б а ш и н Е. А. Введение в теорию устойчивости движения.— Мл Наука, 1967. 6.
Б а р б а ш и и Е. А. Функции Ляпунова.— Мл Наука, 1970. 7. Б а с ип А. М. Качка судов.— Мл Транспорт, 1969. 8. Б е л л м а н Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений: Пер. с англ.— Мл ИЛ, 1954. 9. Б е л л и а н Р. Введение в теорию матриц: Пер. с англ. — Мл Наука, 1969. 10. Б о л о т и п В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. — Мл Гостехивдат, 1956. 11. Б о л о т ни В.
В. Неконсервативные вадачн теории упругой устойчивости, — М.: Фивматгиз, 1961. 12. Бутенин Н. В., Лунц Н. Л., Меркин Д. Р.Курс теоретической механики.— Т. 2.— М.: Наука, 1971. 12а. Вектор-функции Ляпунова и их построение ! Под род. В. М, Матросова и Л. Ю. Анапольского.— Новосибирск: Наука, СО, 1980. 13. В ы ш н е г р а д с к и й И. А. О регуляторах прямого дей- ствииПД. К. Максвелл, И. А. Вышнеградский п А. С т о д о л а. Теория автоматического регулироваиия.— Мл АН СССР, 1949. 14. Г а п т м а х е р Ф. Р. Теория матриц.— 3-е изд.— Мл Наука, 1967.
15. Г е л и г А. Х. Исследование устойчивости нелинейных разрывных систем автоматического регулирования с неединсзвенным равновесным состоянием П Автоматвка и телемеханика. — 1964. — 79 2. 15а.Гелиг А. Х., Кома рннцкая О. И. Абсолютная устойчивость нелинейных систем с иеедипственным положением СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ равновесия в критических случаях Я Автоматика и телемеханика. — 1966. — № 8.
156.Г е л и г А. Х., Л е о н о в Г. Л., Я к у б о в и ч В. А. Устойчивость нелинейных систем с неедкнственныы состоянвем равновесия.— Мл Наука, 1978, 16, Д а м и д о в п ч Б. П. Лекции на математической тоории устойчивости.— Мл Наука, 1967, 17. Д и и е н т б е р г Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов.— Мл АН СССР, 1959. 18, Д у б о ш и п Г. Н. Основы теории устойчивости движения.— Мл МГУ, 1952. 19. Е р у г и н Н. Н. Приводимые системы.— Мпнск: Наука и техника, 1966.
20 Я1 у к о в с к и й Н. Е. О прочности движения Я Собр, соч. — Мл Гостехиздат, 1948. — Т. 1. 21, 3 у б о в В. И. Устойчивость движения.— Мл Высшая школа, 1973. 22, И ш л н н с к и й А. 1О. К теории гпрогорнзонткомпаса Я ПММ, 1956.— Т. 20, вып. 4. 23, К а п и ц а П.
Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ.— 1951.— Т. 21, вып. 5. 24. К а и и ц а П. Л. Устойчивость и переход чорез критические обороты быстро вращающихся роторов при наличин трения Я ЖТФ.— 1939,— Т. 1Х, вып. 2.
24а, К а р а и е т я н А. В. Об обращении теоремы Ра уса // Вестник МГУ. Математика, Механика.— 1973.— № 5. 25. КарачаровК. А. и ПилютикА. Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения.— МЛФизматгнз, 1962. 26. К а ц И. Я. и К р а с а в с к и й Н. Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами Я ПММ.— 1960.— Т. 24, вып. 5. 26а. КельзонА. С., Цкманскпй йц П., Яковл е в В. И, Динамика роторов в упругих опорах.— Мл Наука, 1982. 27.
К р а с о в с к и й Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движении.— Мл Физматгиз, 1959. 28. К у з ь м и н П. А. Малые колебания н устойчивость движения.— Мл Наука, 1973. 29, Л а -Сап л ь Ж. и Л о ф ш е ц С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова: Пер. с англ.— Мл Мвр, П)64. 30. Л е о и о в Г.
А. Об устойчивости нелинейных регулируемых систем с неедипственным положением равновесия Я Автоматика и телемеханика. — 1971. — № 10. 31. Л е т о в А. М. Устойшшость нелинейных регулируемых систеы.— 2-е изд.— Мл Физматтиз, 1962. 32. Л е ф ш е ц С.
Устойчивость нелинейных систем автоматического управления: Пер. с англ.— Мл Мир, 1967. ЗЗ. Л у р ь е А. И. Некоторые нелинейные задачи тоории автома. тического регулирования.— Мл Гостехпздат, 1951. 34. Лурье А. И. и П ости иков Б. Н. К теории устойчивости регулируемых систем // ПММ.— 1944.— Т. 8, вып. 3. 35, Л я и у н о в А. М. Общая задача об устойчивости двшкения.— Мл Гостехнздзт, 1950. 36. М а т р о с о в В.
М. К вопросу устойчивости гироскопических систем с дисспвацией Я Труды 11азанского авпац, кн-та.— 1959.— Вып. 45. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 393 37. М а л к в н И. Г. Теория устойчивости движення.— 2-е нзд.— Мл Наука, 1966. 37а. М а р к е ее А. П. Точки либрацип в небесной механике и космонавтике. — Мл Наука, 1978. 38.
М е р к и н Д. Р. Гироскопические системы. — !Йс Гостехиздат, 1956; 2-е изд. †' Мл Наука, 1974. 39. М е р к и н Д. Р. Достаточные условия асимптотической устойчивости одной нелинейной системы// Уч. зап. Лен. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена. — 1966. — Т. 125; 1958. — Т. 141. 40. М е р к и н Д. Р. К вопросу об устойчивости по структуре сил 0 ПММ.— 1975. — Т. 39, вып. 5. 40а.М е р к и в Д.
Р. Об устойчивости стационарных движений оси вращающегося ротора, установленного в нелинейных под1пипвиках 0 ПММ.— 1983.— Т. 47, вып. 3. 41. Н и к о л а и Е. Л. Об устойчивости прямолинейной формы равновесия си<етого и скрученного стержня 0 Н и к о л а и Е,Л. Труды по механике.— Мс Гостехиздат, 1955.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
