ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 92
Текст из файла (страница 92)
(р) = — ' И (р) М (р)1ч (р) (и (р)+ т (р))пй (р) — (м (р) —,9 (р)1)0 (р) (М(р)+,У(р)1)Е(р)+(М(р) — й (р)1М(р) ' (9.19) Из сравнения выражений (9.18) и (9.19) видно, что если полипом Я (р) выбран таким образом, что операторные сопротивления л, (р) = ! М (р) — У (р) И~ (р); л.э (р) == (М (р) + У (р))Щ (р) (9.20) могут быть физически реализованы, то симметричный мостовой четырехполюсиик, сопротивления продольных и скрещивающихся ветвей которого определяются выражениями (9.20), будет обладать заданным операторным коэффициеитом передачи по напряжению. Симметричный мостовой четырехполюсиик можно использовать и для реализации заданного операторного коэффициента передачи по напряжению в режиме согласованной нагрузки.
В этом случае К (р) и Лс (р) могут быть определены с помощью выражений (8.82), (8.86)*1: К (р) = р'Лм (р))Л, (р) =- )г Л,(р) г, (р~; К (р)— УК,( )-~/~,(р) .)/А„(,) Агп (р).1 ~/А„(р) Ам (р) 1/г, (р)+1'Т, (, ) Используя (9.21), выразим сопротивления продольных и скрещивающихся ветвей четырехполюсиика через сопротивление нагрузки Ли (р) = Лс (р) и коэффициеит передачи по напряжению: г,(р) = И К(р) Лн(р))(1+К(р)), г,'(р) = И+ К (р)) г,",(р),И вЂ” К(р)).' (9.22) ° Ф Ф ФФ Пример 9.13. Построим четырехполюсник, операторный коэффициент передачи по напряжению которого при согласованной нагруэке Хн (р) = 1О Ом определяется выраэчением К (р) = — (р — 1О ), (р + 16*). Подставлял эадонные К (р) и яи (р) в вььражения (9,92), определяем опера. торньье сопротивления продольных Еь (р) и скрещивающихся Еэ (р) ветвей симметричного мостового четырехполюсника: Л, (р) = 1О 1О ' р, Ом; Х, (р) =- йо,) )О- р), О .
Таким обраэом, эаданный коэффициент передачи может быть реализован с помощью реактивного мостового четырехполюсника (рис. 9.19), .содержащего индуктивности Е =- 10 миги в продольных и емкости С = О,! мкФ в скрещивающихся ветвях. *) Выражение для А-параметров симметричного мостового четырехполюсника приведены в примере 8,16. 438 Цепи с распределенными параметрами ° ФФФФФФФФФФФФ й !0.1. ЗАДАЧА АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Вводные замечания Напомним, что цепями с распределенными параметрами называются идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Токи и напряжения в одномерной цепи с распределенными параметрами являются функциями двух переменных — времени ! и координаты к.
Исторически сложилось так, что первыми в качестве одномерных цепей с распределенными параметрами стали представлять так называемые д л и н н ы е л и н и и, т.е. линии передачи энергии от источника к нагрузке, длина которых значительно превышает длину волны передаваемых электромагнитных колебаний. Поэтому одномерные цепи с распределенными параметрами часто называют д л и н н ы м и 'л и н и я м и нли л н н и я м и, а уравнения (1.59), (1.60),описывающие зависимости между токами и напряжениями элементарного участка одномерной цепи с распределенными параметрами, — д и ф ф еренциальными .уравнениями длинной линии или телеграфными у,равнен и ям и. Будем использовать термины «длинная линия» или «линия» как синонимы термина «одномерная цепь с распределенными параметрами», помня при этом, что приведенная на рис.
1.41 схема элементарного участка одномерной цепи с распред~ленными параметрамн и соответствующая ей система уравнений электрического равновесия (1.59), (1.60) носят общий ха. рактер и могут быть использованы не только для моделирования процессов в реальных линиях передачи, но и для приближенного представления многих друтих радиотехнических элементов и устройств в области достаточно высоких частот. Одномерные цепи с распределенными параметрами, применяемые для моделирования различных реальных цепей и нх элементов, отличаются одна от другой, в основном, значениями погонных параметров )«'„(, Со гз, и характером их зависимости от координаты, времени или режима работы цепи.
В линейных инвариантных во времени ц„, пях с распределенными параметрами погонное сопротивлением„ии. дуктивность Ь„емкость Сх и проводимость утечки 6, ие зависят от времени и режима работы цепи; они могут либо изменяться вдоль цепи по определенному закону, либо иметь одинаковые значения на всех ее участках. Линейные инвариантные во времени цепи с распре.
деленными параметрами, погонные параметры которых постоянны и не зависят от координаты, называются о д н о р о д н ы м и (р е г у. л я р и ы и и). Цепи, погонные параметры которых изменяются вдоль цепи, т.е. являются функциями координаты, называются н е. о д н о р о д н ы м и (н е р е г у л я р н ы м и). В зависимости от того, какие процессы в исследуемой реальной цепи имеют преобладающий характер, а также от степени идеализации, эквивалентная схема элементарного участка цепи может не содержать тех илн иных из показанных на рис. 1.41 элементов.
В соответствии с этим цепи с распределенными параметрами подразделяют на цепи без потерь (1,С-липин), резистивно-емкостные ()сС-линии), резистивно-пндуктивные ()с(.-линии) и резистивные (1с(1-линии). Наиболее интересны процессы в линиях без потерь и в линиях общего вила с малыми потерями, которые используются в основном для моделирования реальных линий передачи и колебательных систем сверхвысо. ких частот.
С развитием микроэлектроники возрос интерес к исследованию процессов в 1сС-линиях, которые используют в качестве моделей различных пассивных элементов интегральных микросхем (пленочных н диффузионных резисторов, конденсаторов, соединительных проводников и перемычек), а также к исследованию резистивных линий, которые применяют для моделирования контактов к различным микроэлектронным элементам 1141. Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии Прн анализе цепей с распределенными параметрами необходимо определить характер изменения токов и напряжений вдоль цепи н и частотные или временные характеристики цепей относительно внешних зажимов.
Для этого необходимо найти частные решения дифференциальных уравнений линии (1.59), (1.60) при соответствующих начальных и граничных условиях. В связи с тем что решение данных уравнений в замкнутой форме для неоднородных линий может быть получено только при некоторых частных видах зависимостей погонных параметров от координаты, ограничимся сначала рассмотрением однородной линни длиной 1 (рис.
10.1). Для решения дифференциальных уравнений линии воспользуемся операторным методом, который позволяет перейти от решения диф ференциальных уравнений в частных производных для мгновенных значений токов 1 =- 1 (х, 1) и напряжений и = и (х, 1) линии к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов У (х, р) =. ='1 (х, У) и напряжений У (х, р) =' и <х, 1). 440 Умножая правую и левую части уравнений (1.59), (1.60) на е-Ы и интегрируя в пределах от ! = 0 до г =- с, получаем — =(6 +рСа)(1(х,р) — С и(х, 0); (1ОП) их — .=(йх+рЕа)1(х, р) — Е,!(х, 0), (10.2) дл где функции и (х, 0), ! (х, 0) описывают распределение напряжения н тока вдоль линни при ! = О, т.е.
определяют начальные условия задачи. В связи с тем что в уравнениях (!0.1), (10.2) содержатся произ- ! й и(а,с х-! х'=д к'= ! Рис. !ОЛ, длинная линия водные неизвестных функций У (х, р) и 1 (х, р) толька по одной переменной, частные производные этих функций по х заменены обыкновенными (полными) производными. Прн нулевых начальных условиях уравнения (10.1), (10.2) принимают впд -"'! Р! =);(р)У(.,р); (1О.З) — = 2,(р) 1(х, р), (1ОА) где 2, (р) = — )с, + р1.„У, (р) = 6, + рС, — операторные погонное сопротивление и погонная проводимость линии. Уравнения (10.3), (10.4) путем исключения переменных могут быть сведены к одному дифференпиалыюму уравнению, составленному относительно тока или напряженна. Продифференцировав правую н левую части уравнения (10.4) по х и подставляя в него значение Н (х, р)!г!х из уравнения (!0.3), получаем иаи!',Р! аО,)и(х,р).
(10.5) Аналогичный вид имеет и операторное уравнение рассматриваемой !епп, составленное относительно тока т' (х, р). Входящая в этп урав!ения величина ( ) ! 2,(р) у,(р! р (р,+рС,)(О,+рС) (!О.б) !азывается операторным коэффициентом рас1и остр а н ен н я. 44! Таким образом, распределение операторных изображении токо, и напряжений в линейной однородной инвариантной во времени цена с распределенными параметрамн определяется решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными ко. эффициентами, общее решение которого имеет вид У(х, р)= А,(р) е «!ю'+А,(р) е«ы', (10.7) где А, (р), А, (р) — постоянные интегрирования, определяемые тра. ничными условиями задачи, т.е. значениями неизвестных функций У (х, р) и ! (х, р) в начале (х = О) или в конце (х =- 1) линии.
Подставляя (10.7) в уравнение (10А), находим выражение для операторного изображения тока линии 1(х, р) .= А, (р) е — «он "1ХВ(р) — А, (р) е«оа '1хв (р). (10.8) Величина Ув (р) = Л~ (р) 17 (р) -=- Р~У~ (р) ~ У, (р) =- '1~ (И;(-р1~) ~ (О, + р С ) ( ! 0 9) й !Озд ОДНОРОДНАЯ ДЛИННАЯ ЛИНИЯ ИРи ГАРмОническОм Внешнем ВОздеиствии Волновые процессы в однородной длинной линии Распределение комплексных действующих значений напряжения У (х) и тока 1 (х) в однородной длинной линии, находящейся под гармоническим внешним воздействием, определяется выражениями () (х) — — А, е «" + А,е-"'"; 7(х) = А е «"1Яв — А е-' Яв (10А0) (10.!!) которые получаются из (!0.7), (10.8) путем замены комплексной частоты р па 1ы.
Входящие в выражения (10.10) и (10.11) комплексный ко" эффицпепт распространения у = !' (!х + ~<о1,,) (О, + роС ) (10. 12) и комплексное волновое сопротивление =У Ж+1 ~,)1(~,+1' «С«) (10А8) называется операторным волновым сопротивлением линии. Определяя значения постоянных интегрирования, соответствующие тем или иным граничным условиям, и подставляя их в выражения (10.7), (10.8), можно получить операторные изображения тока и напряжения в любом сечении линии при произвольном внешнем воздействии, а также найти любые частотные и временные характеристики исследуемой цепи.
будем называть коэффициентом распространения волновым сопротивлением линии. Представим коффициент распространения линии в алгебраической У =- а + 1Р, (10.14) а волновое сопротивление линии и постоянные интегрирования в показательной Яв = гв е>е; А,=А е>'че; Ае =Аее>Е формах и преобразуем каждое из входящих в выражения (10.10), (10.11) слагаемых в показательную форму: О(х) =(А>е — а) е-цз"-е >+(А,еа) енг +е >; 1(х) =А>е — а" е — ца" — Я +'»>ав — А еаее>'«+е — е>>2 Переходя от комплексных действующих значений напряжения и тока к мгновенным, получаем и(х, г)=)'2А,е-" соз(е>г' — рх+>р>)+)Г2А,е" Х Х соз (в1 + рх + >ре); -$/2 А е-ах -)/2А, еа» 1(х, г) = ' соз (в> — рх+ >Р> — ф) — ' Х ев ев Х соз (вг+ рх+ >ре — ф).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
