ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 94
Текст из файла (страница 94)
(10.3б) с — р (с+р)хв Рассмотрим случай, когда граничные условия заданы на конце линии. Пусть при х = 1напряжение линии и, = и (1, 1) = — сс (х, 1) )„ а ее ток (з =- с (1, 1) = с (х, 1) )„ь Обозначая комплексные действующие значения этих величин через (/, =- (/ (1) = (/ (х)/„ , =' и, и /д —— У (1) = 1 (х)/„ у †,†' (; гая в (10.10), (10.11) х = 1, получаем ()д=А,е и +Адеп; /э=А,е г-' /7в — А,еп /Яв, откуда Подставляя (10.37) в (10.30), выражаем коэффициент отражения через ток и напряжение в конце линии: в 2 — 2 то — х) — 2 эх ' й — д г р х = — е — =р е й,+гв); (10.38) Здесь х' = 1 — х — расстояние, отсчитываемое от конца линии; р, =- р (х) ~„, =- (/е а (~)/(/„„д (~) )„, = ((/э — Ув/~)/(() + Яв/;)— коэффициент отраж~чия в конце линии, значение которого определяется только соотношением между сопротивлением нагрузки х„=- (/,//э и волновым сопротивлением линии Яв, р, =(х„— 2 )/(2'„'+-х.
). (10.39) Как и всякое комплексное число, коэффициент отражения линии может быть представлен в показательной форме: р(х) =р(х) е/~Р~'~. Анализируя выражения (10.32), (10.38), устанавливаем, что модуль коэффициента отражения р (х) = (/,тр (х)/(/„д (х) = р, е'~ = р, е — з""' (1040) плавно увеличивается с ростом х и достигает наибольшего значения рхдд (х) = рд В конце линии ° Выражая коэффициент отражения в начале линии р, через коэффициент отражения в конце линии р, р,=р(х)(,=э =р,е '-"' =р,е — '<'*+/ап (10.41) 1Б за~. мз находим, что модуль коэффициента отражения в начале линии в е'д/ раз меньше, чем модуль отражения в ее конце.
Из выражений (10.40), (10.41) следует, что модуль коэффициента отражения однородной линии без потерь имеет одно и то же значение во всех сечениях линии. С помощью формул (10.37), (10.39) напряжение и ток в произволь. ном сечении линии можно выразить через напряжение или ток и коэф. фициент отражения в конце линии: тх' — тк' гк' -тк' е- +рве — ° е- +рве () (х) = У~ = — Ев 7~", (10.42) 1+р 1 — р, тк' тх' тк' тк' 1(х) =' -'*' 7; =-' -"' и,.
(10.43) 1 — рк (1+рх) ~в Выражения (10.42), (10.43) позволяют рассмотреть распределение напряжений и токов в однородной длинной линии в некоторых харак. терных режимах ее работы. Режим бегущих волн Р е ж и м о м б е г у щ и х в о л н называется режим работы однородной линии, при котором в ней распространяется только падающая волна напряжения и тока, т.е. амплитуды напряжения и тока отраженной волны во всех сечениях линии равны нулю. Очевидно, что в режиме бегущих волн коэффициент отражения линии р (х) = О.
Из выражения (10.38) следует, что коэффициент отражения р (х) может быть равен нулю либо в линии бесконечной длины (при! = со падающая волна не может достичь конца линии и отразиться от него), либо в линии конечной длины, сопротивление нагрузки которой выбрано таким образом, что коэффициент отражения в конце линии р, = = О. Из этих случаев практический интерес представляет только второй, для реализации которого, как видно из (10.39), необходимо, чтобы сопротивление нагрузки линии было равно волновому сопротивлению Лв (такая нагрузка называется с о г л а с о в а н н о й). Полагая в выражениях (10.35), (10.36), (10.42), (10.43) р, = рг = = О, выразим комплексные действующие значения напряжения и тока в произвольном сечении линии через комплексные действующие значения напряжения (7, и тока (г в начале нли в конце линии (У„1т): ()(х) =()„,д(х) =утет' =()ге 7(х) =У„, (х) =7,'е'-'к' =7,е ™.
Представим напряжение и ток в начале линии в показательной фор- МЕ: Уг = У,Е)чк', 1, =- !г Е(0" И ПЕрЕйдЕМ От КОМПЛЕКСНЫХ дЕйСт вующих значений напряжения и тока к мгновенным: и(х, () =)/2У,е — соз(Ы вЂ” Ох+хр„г); ((х, 1) = )г'27,е —" соз(ю( — ()х+ фц). (10.44) Как вндно нз выражений (10.44), в режиме бегущих волн амплитуды напра женка н тока в линии с потерамн (а ) О) експоненннально убывают с ростом х а в лнннн без потерь (а = О) сохраннют одно н то же аначенне во всех сече нннх лнннн (рнс. 10.3), Начальиые фазы напряжения ф„, — рм рх и тока фи — ()х в режиме бегущих 'Ти, волн изменяются вдоль линии по лииейиому закону, причем сдвиг фаз между напряжением и током во всех сечеииях линии имеет одно и то же зиачеиие зр„, — срг,.
Входное сопротивлеиие линии в режиме бегущих волн равно волновому сопротивлению линии и ие зависит от ее длины: Ряс ! О.З Распределение змп- 2м((ю) =и',~),=и(х)~)(х) = лптуд пзпряженпя вдоль лнпяп в рсж~мс бегущих волн = и„,„(хр~„,„(х) =Ли. У ливня без потерь волновое сопротивленнс имеет чисто резястпвпый хврзхтер (10.281, поэтому в режиме бегущих волн сдвиг фзз между напряжением я тохом во всех сечсянях лялях без потерь равен нулю. Мгновенная мощность, потребляемая участком линии без потерь, расположенным правее произвольного сечения х (см. Рис. 10.1), равна произведению мгновенных значений напряжения и тока в сечении х: р (х, 1) =-- и (х, 1) 1 (х, г) = 2и,(, созз (ю( — рх — зР„).
(10.45) Из выражения (10.45) следует, что мгновенная мощность, потребляемая произвольиым участком линии без потерь в режиме бегущих волн, ие может быть отрицательной, следовательно, в режиме бегусс(их волн передача энергии в линии производится только в одном напрсчлении — от источника энергии к нагрузке. Обмен энергией между источником и нагрузкой в режиме бегущих волн отсутствует и вся эисргия, передаваемая падающей волной, потребляется нагрузкой. Режим стоячих волн Если сопротивление нагрузки рассматриваемой ликии ие равно волновому сопротивлению, то только часть эиергии, передаваемой падающей волной к концу линии, потребляется нагрузкой. Оставшаяся часть энергии отражается от нагрузки и в виде отраженной волны возвращается к источнику.
Если модуль коэффициента отрамсеиия линии р (х) =- 1, т.е. амплитуды отраженной и падающей волн во всех сечениях линии одинаковы, то в линии устанавливается специфический режим называемый р е ж и м о м с т о я ч и х в о л и. Согласно выРажсиию (10.40) модуль коэффициента отражения р (х) =- 1 только тогда, когда модуль коэффициеита отражеиия в конце линии р, ==: 1, а коэффициент ослабления линии а =- О. Лиализируя выражение (10.39), можно убедиться, что р, = 1 только в трех случаях: когда сопротивление нагрузки равно либо нулю, либо бесконечности, либо имеет чисто реактивный характер.
1згь 451 Следовательно, режим стоячих волн может установиться только в линк„ беа потерь прн коротком аамыканнн нлн холостом ходе на выходе, а также есле сопротнвленне нагрузки на вмходе такой лнннн имеет чисто реактивный характер, При коротком замыкании на выходе линии коэффициент отраженна в конце линии р, = — 1.
В этом случае напряжения падающей и отрк. женной волн в конце линии имеют одинаковые амплитуды, но сдвину. ты по фазе на 180', поэтому мгновенное значение напряжения на вы ходе тождественно равно нулю. Подставляя в выражения (10.42), (1043) р = — 1,у =1р, 2в = Йв, находим комплексные действую. щие значения напряжения и тока линии: е1""— У (х) = Йв 1г = Йв 1г з(т (1онх') =!го,в 1г з|п (онх )! йы ' — /рх' 1 (х) = г я = 1» сЬ ()ггх ) — 1» соз (Дх ).
2 Полагая, что начальная фаза тока 1; на выходе линии равна нулю, и переходя от комплексных действующих значений напряжений и токов к мгновенным и (х, 1) = !)l 2)св 1я з!и фх') ! соз (го1+ п12); ! (х, 1) =. !)г 2 1» соз (рх') ! соз (ы1), устанавливаем, что при коротком замыкании на выходе линии амплитуды напряжения и тока изменяются вдоль линии по периодическому закону (1т (х) = — У2 Яв1т (з!п (гдх )(; 1 „(х) .— У2 1« (соз (гвх )! принимая в отдельных точках линии максимальные значения У = )г21«в1;, 1,„= 1121; и обращаясь в нуль в некоторых других точках (рис.
10.4). Очевидно, что в тех точках линии, в которых амплитуда напряжения (тока) равна нулю, мгновенные значения напряжения (тока) тождественно равны нулю. Такие точки называются у з л а м и н а п р яжения (тока). Характерные точки, в которых амплитуда напряжения (тока) принимает максимальное значение, называются п у ч н о с т я м и и ап р я ж е н и я (т о к а).
Как видно из рис. 10.4, узлы напряжения соответствуют пучностям тока и, наоборот, узлы тока саответс1'- вуют пучностям напряжения. Распределение мгновенных значений напряжения и тока вдоль линии подчиняется (рис. 10.5) синусоидальному или косннусоидальному закону, однако при изменении времени координаты точек, имею щих одинаковую фазу, остаются неизменными, т.е. волны напряжения и тока как бы «стоят на месте». Именно поэтому такой режим работе' линии получил название режима стоячих волн.
452 Координаты узлов напряжения определяются из условия з(п Рха = = О, откуда ха = йл/(з, (10.46) где й =- О, 1, 2, ..., а координаты пучностей напряжения — из усло- вия соз Рх„' =- О, откуда х„' = (2п + 1)я/(2)3), (10.47) гдеп==0,1,2, ... На практике координаты узлов и пучностей удобно отсчитывать от конка линии в долях длины волны ) . Подставляя соотношение (10.21) в выражениях (10 46), (! 0.47), получаем ха =- /е)ь/2, х,', — (2п + 1)Х/4. Таким образом, узлы напряжения (тока) и пучности напряжения (тока) и(х,г) чередуются с интервалом Х/4, а рас- вт тах стояние между соседними узлами (нлн пучностями) равно )./2.
Ут (х) б ах !(х,т) 1т так Х'В,га Х З))/4 ХГг ХУО 00 1аа аХ гт таХ х'бзда уь ЗХ/га Х/Г Х,/а и й Рнс. 10,4, Распределение амплитуд напряжения (а) н тока (б) вдоль линии в режиме короткого замыкания Рис. 1О 5. Распределение мгновенных значений напряжения (а) н тока (б) вдоль линни в режиме короткого замыкания Анализируя выражения для напряжения н тока падающей и отРаженной волн, нетрудно убедиться, что пучности напряжения (тока) возникают в тех сечениях линии, в которых напряжения (токи) падаю- а(ей н отраженной волн совпадают по фазе и, следовательно, суммируются, а узлы располагаются в сечениях, где напряжения (токи) падаю- в(ейг и отраженной волн находятся в противофазе и, следовательно, вычитаются.
Мгновенная м<ашость, потребляемая произвольным участком линии, изменяется во времени по гармоническому закону р (х, () = = и (х, /) г (х, () = — Яв (/я)' з!п (2рх') з(п (2от/))/2, поэтому активная мощность, потребляемая любым участком линии, равна нулю. Таким образом, в режиме стоячих волн энергия вдоль линии ие передаетср а каждом участке линии происходит только обмен энергией между электричесе н магнитным полями.
Аналогичным образом находим, что в режиме холостого хода (р, = 1) распределение амплитуд напряжения (тока) вдоль линни без терь (рнс. 10.6) У„(х) = У2(уг (созрх'(; 1 (х) = У2 ЕУ~(5)п()х'(Жв еет такой же характер, как н распределение амплитуд тока (напра. зния) в режиме короткого замыкания (см. рис. 10.4). ((т (х) (гт так Ут(х) Ст |ах Х' И, З«уе 1, «уХ, «уйг(„)т а и) и (х) а тах х'б«уа «З«! «/г «уе ) (т (х) (т амх а х б«!й «з«ус луг «уч б) х «(гз«рх„уг.(,«го.(,(,б б) Рис, 10,6. Распределение амплитуд напряжения (о) и тока (б) вдоль линии в режиме холостого хода Рис 10.7. Распрсдслснис амплитуд напряжения вдоль линии с емьостной (о) и индуктивной (б) нагрузкой Рассмотрим линию без потерь, сопротивление нагрузки на выходе ~торой имеет чисто реактивный характер: 2„=- !'х„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
