ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рассмотрим простейшую лестничную цепь (рнс. 2.34). Нетрудно установить, что входное сопротивление этой цепи 2, гз гз уг уз г г 7 — з Ъ -"з 2'ге а) Рис. 2.35. Схемы лестничных цепей обшего вида Если лестничная цепь содержит поперечную ветвь, подключенную непосредственно к внешним зажимам цепи (рнс. 2.35, б)„то в виде цепной дроби может быть представлена входная проводимость )' =)г,+ (2,134) Е*+ Уз+ + — У„, +1)г, Таким образом, для того чтобы выражения для входных сопротивлений или входных проводимостей лестничных цепей могли быть записаны в виде цепных дробей типа (2.133), (2.134), необходимо элементы, образующие продольные ветви, представить их комплексными сопротивлениями, а элементы, входящие в поперечные ветви, — их комплексными проводимостями. Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование а) ф б) 1 Рис.
2.36. Эквивалентные преобразовании треугольник — звезда н звезда — треугальиик ыз Найдем условия эквивалентности двух участков электрической цепи (рис. 2.36, а, б), которые представляют собой соединение пассивных идеализированных двухполюсников треугольником и звездой. По определению, этн участки цепи эквивалентны, если при замене одного участка другим токи выводов 1„1„1з и напряжения между выводами ()ми (/зз, О останутся неизменными.
Учитывая, что из трех напряжений между выводами только два являются независимыми (третье может быть найдено из уравнения баланса напряжений), для экви- (2. )36) 120 валентности треугольника сопротивлений звезде достаточно потребовать, чтобы любая пара из трех напряжений между выводами одной цепи была равна соответствующей паре напряжений другой цепи (прн одинаковых значениях токов внешних выводов). Выразим токи сопротивлений г„, г„, г ь образующих стороны треугольника сопротивлений, через токи внешних выводов 1„1„ 1,, Составляя на основании законов Кирхгофа систему уравнений электрического равновесия этого участка цепи 1е+1зе — 1и =О, 1е+1з+1з =О; 1,+1„— 1, =о; г 1„+г„1„+г„1„=о и решая ее относительно токов 1ьм 1гм 1„, находим 1м = (гм 1з — гзе 1д((гез + гзз + гзе); 1„=(г„1,— г„, 1,у(гм+ г„+ г„); (2.
! 35) 1„=-(г„1, гм 1,)1(г„+г„+гм). Используя выражения (2.(35), определим напряжения между внешними выводами треугольника сопротивлений (1„=г„1„= г„(г„1,— г„1,)~(г„+г„+г„); и„=г„1„= г„(г„1,— г„1,р(гм+г„+г,,). Соответствующие напряжения между внешними выводами звезды (рнс. 2.36, б) Уз -= г,1~ — г 1; У =- г 1 — г1 . Приравнивая напряжения (еез и Узз между внешними выводами рассматриваемых участков цепи, находим ~1е гзе ~те ~ае — — 1,=г 1,— г 1„ е ее + е ее+ езе ~~е+ ~ез+езе Хзз Хез Хзз хзе 1з 1з =гз 1з гз 1з. Л„! Л,а+Хз, Е„-!- Е„+7„ В соответствии со сказанным равенства (2.!36) должны выполняться прн любых значениях токов внешних выводов. Полагая в (2. )36) сначала 1, = О, а затем 1, =- О, определяем соотношения между сопротивлениями, при которых рассматриваемые участки цепей (рис.
2.36, и, б) будут эквивалентными: гз = гзз гзе1(гез+ гзз+ газ); г,=-г„г 1(г„+г„+гм); (2. (37) г, ==я„г„1(г„+г„+ г„). Рассчитав сопротивления г„гз, г, по заданным ге„г„„гз„можно осуществить эквивалентную замену треугольника сопротивлений звездой (преобразование треугольник — звезда). Из рис. 2.36 видно, что 2„=-2, +2, +21 2,?Л,; 2 =2 +2„+2 2,?2,; У 1 = Я, + 2, + 2, 2~/У~. (2.138) Преобразование звезда-треугольник приводит к уменьшению числа узлов преобразуемой цепи (за счет устранения узла, являющегося местом соединения сопротивлений Е,, лз, Я,), однако при этом появляется новый контур, образуемый сопротивлениями Лзз, Л,з, 231.
Заменим в выражениях (2.138) комплексные сопротивления элементов их проводимостями. Проведя преобразования, установим, что выражения для комплексных проводимостей элементов, образующих стороны треугольника ! 12 =) 1 1 2?(~ 1+ У2+ ! 2)1 1 23 1 2 ! 3'(' 1т~ 2+ ! З)1 1 зз = 1 з 1 1?( 1 ~ Уз + ! з) имеют такую же структуру, как н выражения для комплексных сопротивлений,.входящих в лучи звезды (2.13?). Подобным образом можно получить выражения для комплексных проводимостей лучей звезды У„У„)'„которые оказываются аналогичными выражениям для комплексных сопротивлений сторон треугольника (2. !38).
Учитывая, что рассматриваемые участки обладают дуальными графами (рнс. 2.36, в), приходим к заключению, что эти участки цепей яиляются дуальными. Выражения (2. !39) могут быть обобщены и для преобразования У-лучевой звезды (см. рис. 1.23, б) в ?3'-угольник (см. рис. ! .23, а): ! ы = 3 3 1 1?(~ 1+ ) 2 + " + ! и).
Здесь )'11 — проводимость стороны М-угольника, соединяющей узлы й и 1; )'„'гз,..., Ун — проводимость элементов„образующих лучи з везды. Обратное преобразование полного М-угольника в йцлучевую звезду в общем случае невозможно. Применение преобразований треугольник — звезда и звезда — треугольник в ряде случаев позволяет существенно упростить анализ цепей, в частности иногда с помощью этих преобразований удаетса приводить сложные участии цепей к более простым (параллельное, последовательное илн смешанное соединение элементов).
!2! при этом преобразовании из пепи устраняется контур, образуемый сопротивлениями 212, Л„, 231, и появляется новый узел — место соединения сопротивлений 2„ 2„ 2,3. Решая систему уравнении (2.13?) относительно 213, Язз, лзз, получим соотношения, позволяющие производить эквивалентную замену звезды сопротивлений треугольником (преобразование звезда †треугольник): ФФФФФ Пример 2.11. Лля цепи с параметрами элементов йз — 20 Ом, йз =— == 50 Ом, йз =- 30 Оль й« вЂ” — 25 Ом, йь = 30 Ом; Е = 1,3 В (рис 2.37, а) определим ток ветви, содержа«цей источник напряжения Е. Ток ! можно найти, решая основную систему уравнений электрического Равновесия цепи, однако этот путь весьма трудоемок.
Учитывая, что по условию задачи требуется определить только ток независимого источника Е, целесообра«- но остальную часть цели, к которой подключен этот источник, заменить комплексным входным сопротивлением. Непосредственное нахождение в«одного сопротивления писсивного двукполюснико, к которому подключен идеальный источник напряжения, постепенным «сворачиваниемз по правилам преобразования участков 7 (!) й« 7) я г) 35 (4) (4) а) Рис. 237.
К примеру 2.!1 целей с параллельным и последовательным соединением элементов невозможно, так как в данном двухполюснике отсутствуют последовательно или параллель. но оключенные элементы. Заменим треугольник сопротивлекий й,, й„йз звездой сопротивлений йдз, йзь, йт (рис. 2.37, б). Используя формулы (2 737), находим: йт — й, й./(й, + й, + йз) = 5 Ом; йзь = йзй«7(й«+ йз ! йз) !О Ом; йзь = йзйз)(йз Ц йз + йз) — 15 Ом, Преобразуя полученную цель с помои!ью правил преобразования участков цепей со смешанным соединением элементов, определяем входное сопротивление пассивного двухполюсника й = 26 Ом и искомый ток ! = 50 мА. Тот же результат может быть получен, если использовать преобразование звезда — треугольник.
В частности, заменяя соаротивления йз, й„йз (рис. 2.37, а) сопротивлениями йзз — йз ! йз+ йзйз!йз - — - !03,3 Ом: йз« вЂ” й! 'г йз ! йзйз )йз = — 62 Ом, йм = йз 1 йз+ йзйз)й, —.- !55 Ом, получаем цель (рис. 2.37, в), которая легко поддается дальнейшим преобразованиям. Последовательная и параллельная схемы замещения пассивного двухполюсника Два различных линейных пассивных двухполюсника с одинаковыми комплексными сопротивлениями (комплексными проводимостями) эквивалентны, так как при замене одного из них другим токи и напряжения внешних выводов, соединяющих двухполюсники с остальной ча- рассматривать как комплексную проводимость цепи из двух параллельно соединенных элементов с проводимостями У, = д и Ур = )Ь. Поэтому, произвольному линейному пассивному двухполюснику, находяем ся по га моническим воздействием, ьппп Щх Сппп можно поставить в соответствие две схе- ц) Б) оу мы замещения — последовательную (рис.
2.38, а) н параллельную (рис. 2.39, а), причем каждая из них содержит один реактивный элемент и один элемент, входное сопротивлекие которого имеет чисто резистивный характер. В общем случае вещественные г, я и мнимые х, Ь составляющие комплексного входного сопротивления и комплексной входной проводимости двухполюсника являются сложными функциями частоты: г =- =- г (ю), х = х (ю), д = я (ю), Ь -- Ь (оз). При изменении частоты г и я могут изменяться только по значению, а х и Ь вЂ” как по значению, так и по знаку, Рис, 2.38.
Последовательные схемы замещения пассивного двухиолюсиика оппр "«ар У =~Ь а) Ь) ду Рис, 2,3Ц Параллельные схемы замещения пассивного двухио. люсника При фиксированном значении угловой частоты оз =- юх, вещественные и мнимые составляющие входных сопротивления и проводимости двух. полнкника, а следовательно, Я„Ер, а также У„Ур элементов последовательной и параллельной схем замещения принимают определенные значения й.„= г (нт,), х в =!х (вз,), У, =- а (озт), Ур — --/Ь (ю,), стью цепи, не изменяются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
