ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Комплексное число Рв, модуль которого равен полной мощности цепи Р„, а аргумент — углу сдвига фаз между током и напряжением <р, называется к о м п л е к с н о й м о щ н о с т ь ю ц е п и Рв = Рве1ч. (2.106) 103 Переходя от показательной формы записи Рв к тригонометрической Р а = Р в соз ср + )Р в щп ср, (2.107) устанавливаем, что вещественная часть комплексной мощности равна активной мощности цепи: йе (Рв! = Ра соз ср = Рл.
(2. 108) Мнимая часть комплексной мощности представляет собой так называемую реактивную мощность цепи 1 ш ! Р в! = Р в з 1 и ср = Ро. (2.!09) Реактивная мощность характеризует процессы обмена энергией между цепью и источником и численно равна максимальной скорости запасания энергии в цепи. В зависимости от знака угла ~р реактивная мощность цепи может быть либо положительной, либо отрицательной. По знаку реактивной мощности, таким образом, можно судить о характере запасаемой энергии: при Ро ) 0 энергия запасается в магнитном поле цепи, при Ро ч '0 — в электрическом.
При Ро =.. О в цепи отсутствует обмен энергией с источником. х — — — — 2 С учетом (2.108) и (2.109) ч выражение (2.!07) можно за- писать следующим образом: о) " б) Р яе г Яе Рв = Рл + !Ро (2 110) Рнс. 2.2о. Треугольиннн мощностей (в) н Отсюда следует, что комсопротналеннд (б) пронанольного пассивно- плексная мощность представго лаухполюсннка лает собой комплексное чис- ло, вещественная часть ко. торого равна активной мощности цепи Р„, а мнимая — реактив. ной Ро. Комплексному числу Ра можно поставить в соответствие вектор Р ь, проекции которого на вещественную и мнимую оси равны, соответственно Р„и Ро (рнс. 2.25, а). Прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной Рв, и катетами Р„и Ро называется т р е у г о л ьн н к о м м о щ н ос т е й.
Из рисунка видно, что полная, активная и реактивная мощности связаны между собой соотношением Рз=рл+Ро. В связи с тем что треугольник мощностей цепи подобен треугольнику сопротивлений этой же цепи (рис. 2.25, б), комплексная мощность Ра н ее компоненты Рв, Рл, Ро могут быть выражены через комплексное сопротивление цепи Е н его компоненты г, г, х: Рь =- ()1 = 1 г; Рд —, Рз з(п ~р "— — ()1х!г =- 1 х; Рл=Рзсоыр= Иг1а.=-1аг: Рз=-Р е)о=)аае)о=.!аЯ. (2.111) Найдем связь между комплексной мощностью и комплексными действующими значениями тока и напряжения на зажимах цепи.
Подставляя в (2.!06) выражения (2.104) и (2.48), находим Рз = цр е((еи еь! =- ц е(ви(е (е! = (г1, * — 1Е. где 1 =- )е ' — число, комплексно сопряженное с лг (комплексно сопряженный ток). Таким образом, комплексная мощность цепи равна произведению комплексного напряжения цепи (1 на комплексно сопряженный ток 1. Активная, реактивная, полная и комплексная мощности имеют одинаковую размерность [Дж1с).
Однако для того, чтобы подчеркнуть различный физический смысл, который вкладывается в эти понятия, единицам данных величин присвоены различные названия. Активная мощность, так же как и мгновенная мощность, выражается в ваттах !Вт), полная и комплексная мощности — в вольт-амперах (В .
А), реактивная мощность — в вольт. амперах реактивных (вар!. ° ФФФФ Пример 2.5. Напряжение и ток на зожимих произвольного двукполюснико из. меняются по гармоническому закону: и = уг2.120 соз (3!41 + 20'), В; с' = )г 2 6,8 сов (3! 41 — 51'), мА. Определим полную, активную, реактивную и комплексную мощности двухполюснико. Колтлексныа пюк 1, комплексное напряжение У и угол сдвига фаз ер между током и нипряхсением на зижимах рассматриваемого двукполюсника: 1 -1е '=6,8 1О-'е '"', А; ра (): —.()е и- 120е(~о, В; <р='Ри — ч)1= 71'. Подппавляя зти величины в (2.104), (2.105), (2.!09) и (2.! 12), находим искомые мощности: Ра -— -(71 =-120.6,8 1О-з =0,816 В А; Ря=-(11 сов ср =-0,816 соз 71'=-0,266 Вто Р =-У(з(па =-0,816 з(п71'==0,772 аар; Рэ - — ()1=-.
120е1~ 6,8 10 †' е' ' ==- 0,816е(т ' В . А . В связи с тем что входное сопротивление цепи имеет резистивно-индуктивныд характер (О < ср ( п12), реактивная мощность цепи положительна. Баланс мощностей Рассмотрим произвольную электрическую цепь, содержащую А( идеальных источников напрйжения, М идеальных источников тока и Н идеализированных пасс(!вных элементов. Пусть (ь, и„— ток и !06 напряжение й-го элемента цепи. Из закона сохранения энергии следует, что сумма мгновенных мощностей всех элементов цепи в каждый момент времени равна нулю: н+м+н н+м+и РА —— ~чР иА 1А — — О. А=! А=1 Группируя члены, соответствующие идеализированным активным (р„„„) и идеализированным пассивным (р,„,,р) элементам, уравиепие (2.113) можно преобразовать к виду и+ м и РА нет .сл рА Аотр' (2.114) А 1 А 1 Уравнение (2.114) называют у р а в и е и и е м (у с л о в и е м) баланса мгновенных мощностей.
Принимая во вииманне, что мгновенная мощность любого элемента характеризует скорость потребления энергии этим элементом (потребляемая мощность), а мгновенная мощность, взятая со знаком минус, характеризует скорость отдачи эиергии этим элементом (отдаваемая мощность), условие баланса мгновенных мощностей может быть сформулировано следующим образом: сумма мгновенных л1ощностей, отдаваемых всеми источниками, ровна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приемниками энергии (иеобходимо иметь в виду, что потребляется и отдается ие мощность, а электрическая энергия). Можно показать, что условие, аналогичное (2.114), выполняется и для комплексных мощностей всех элементов: н+м и ~~~~ РАА Аст = Р5А ААтр А=1 А=! (2.1! 5) Уравнение (2.115) называется у р а в и е н и е м (у с л о в и е м) баланса комплексиых мощностей. Таким образом, сумма комплексных мощностеи, отдаваемых всеми идеализированными активными элементами, равна сумме комплексных мощноппей всех идеализированных пассивных элементов.
Для практических расчетов электрических цепей условие баланса мощностей удобно представить в следующей форме: ~~,'А ЕА ~А 1 ~~,'г ('А гА — ' ~ ГА ~ф. (2.! !6! А-1 А =- 1 Левая часть выражения (2.116) представляет'собой алгебраическую сумму комплексных мощностей, отдаваемых в~еми активными элемеитами.
Слагаемое вида ЕА!„есть произведеииу комплексного действующего значения э.д. с. источника иапряжеии» иа комплексно сопряжениый ток этого источника; слагаемое ви А гА равно произведению комплексного напряжения иа источиик ка иа комплексно сопряжеииый ток этого источника. Слагае состоящие в левой части выражения (2.116), берут со знаком и если направления токов и напряжений источииков выбраны в соот етствии с рис. 2.26. В против- ном случае соответствующие слагаемые берут со знаком минус.
Правая часть уравнения (2.116) есть сумма комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов, причем каждое слагаемое вида у»тя» равно произведению квадрата действующего значения тока й-го идеализированного пассивного элемента на его комплексное сопротивление. 1 Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия б а л а н с а активных и реактивных Е У м о щ н о с т е й: активная мощность, отдаваемая всеми источниками, равна активной мощности всех потребителей: б) .
а) ' ~ч"„Ке ~я, 1„~ + ~ч"„Ке !(()„,у»1 = - — - ~ Т»тг»; »=! реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потребителей; Рис. 2.28. К определению знзкз комплексных мощностей: ч — откаввемой ястьчянвом пвпрямеяяя; б — отдьььемай яеточняком тока 1уп~Е„1„~+ 'р', 1уп[(Уу, .У»1= ~,(» х», »=! » =-1 »=1 где г» и х» — вещественная н мнимая составляющие комплексного сопротивления й-го элемента. ° ФФФЭ Пример 2.6.
Определим комплексный ток последовательной УтЕ-цлли (см. рис. 2. 18, а) с параметрами злеменпюв Ут = 8 кОм, У. = 4 мгн, к зазвимам контрой подклнмен источник кд.с. е = 1/2 30 соз (10Ч+ 435), В, и провери.н вы полнение условия баланса мощностей. УУакодим комплексное входное сопротивление цепи 2 = уу †' ,униу. = 8.10*-,'-у4.1(р = 8,94е'28'б , кОм, и, используя закон Ома в комплексной форме, наладим комплексный ток цепи у =Еут=3! 145 у(8,94 10»еу2б'б ) =3,38 !О-те(уб'4, й Комплексная мощность, отдаваемая источником напряжения: р йу за!48 338 ну з,— у!84 О 1еузбб В д бнет равна комплексной мо!цности, потребляемой сопротивлением и индуктивностью! Рб„=- уь (у(+уму).=(3,36 1О-з)'8,94еузб б =0,1еузб'б, В.Л.
Током образом, условие баланса комплексных мощностей выполняется. Коэффициент мощности При проектировании электроэнергетических систем важное народнохозяйственное значение имеет обеспечение передачи максимальной активной мощности в;нагрузку при заданных действующих зна107 чениях токов и напряжений. Из выражения (2.103) видно, что повышение Рл при неизменных действующих значениях токов и напряжений может быть достигнуто путем увеличения соз ч~, т. е. путем уменьшения угла сдвига фаз между током и напряжением. Максимально возможное значение Рл равно полной мощности Ра н достигается при соз ф = = 1. При уменьшении соз вэ для получения заданной активной мощности в нагрузке требуется увеличивать действующие значения токов и напряжений, что ведет к росту потерь энергии в системе и требует увеличения мощности источников энергии.
Величина, характеризующая степень приближения активной мощности нагрузки к максимальному значению соз ср =- Р )Рэ, называется к о э ф ф и ц и е н т о м мощности. Очевидно, что наивысшее значение коэффициент мощности (соз ср = == !) имеет при чисто резистивном характере нагрузки. Если нагрузка имеет резистивно-емкостной или резистивно-индуктивный характер )ги = дн + (Ьи, то параллельно ей подключают компенсирующий элемент, проводимость которого выбирают равной по абсолютному значению и противоположной по знаку мнимой составляющей проводимости нагрузки: ) и =- (Ь„=- -(Ьи.
(2, 117) Комплексное входное сопротивление Я участка цепи, представляющего собой параллельное соединение нагрузки и компенсирующего элемента, будет иметь чисто резистивный характер 2 =- 1( ()ги + Ук) = — 1(йп, что обеспечит максимально возможное значение козффйциента мощности. Комплексное сопротивление большинства реальных приемников энергии (электродвигателей, электронагревательных эчтементов, осветительных приборов) имеет резнстивно-нндуктивный характер: Ь„= = — 1/ (иэ! а) ( О. Для компенсации мнимой составляющей проводимости нагрузки параллельно ей должны подключаться компенсирующие конденсаторы, емкость которых рассчитывают в соответствии с условием (2.117); Ск === — Ьн(со = ! /' (иэгйэ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
