ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Учитывая, что суммированию гармонических функций времени соответствует суммирование их комплексных изображений, перейдем от законов Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений к законам Кирхгофа для комплексных нзображепий токов и напряжений, называемых обычно законами Кирхгофа в комплексной форме. Первый закон Кирхгофа в комплексной ф о р м е устанавливает связь между комплексными изображениями токов в каждом из узлов моделирующей цепи: сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) токов всех вепгвей, подключенных к каждому из узлов электрической цели, равна нулю: ХР „=0; Х7„=0.
(2.58) Здесь й — номер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу. Второй закон Кирхгофа в комплексной ф о р м е определяет связь между комплексными изображениями напряжений ветвей, входящих в произвольный контур электрической цепи: сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) напряжений всех ветвей, входящих в любой контур моделирующей цепи, равна нулю: Хи...=0; Хи,=о. (2.59) Здесь т — номер ветви, входящей в рассматриваемый контур. В ряде случаев удобно использовать другую формулировку второго закона Кирхгофа в комплексной форме: сумма комплексных изображений напряжений на всех элементах любого контура моделирующей цели равна сумме комплексных изображений э. д, с., всех входящих в контур источников напряжения: Х У, = ~ Е,„~, ~ У, = Х Е,.
(2.60) Здесь У„„, У; — комплексные изображения напряжений всех элементов контура, за исключением источников напряжения; Е м Ез— комплексные изображения э. д. с. источников напряжения, действующих в рассматриваемом контуре. В связи с тем что выражения (2.58) — (2.60) непосредственно вытекают из соотношений (!.37), (1.40) и (1.42), при суммировании комплексных изображений токов н напряжений ветвей электрической цепи в выражениях (2.58) — (2.60) сохраняются те же правила знаков, что н при суммировании мгновенных значений токов и напряжений.
Используя выражения для законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме, можно составить систему уравнений электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений. В отличие от системы уравнений электрического равновесия, составленных для мгновенных значений токов и напряжений, уравнения электрического равновесия для комплексных изображений токов и напряжений являются алгебраическими. Решение таких уравнений намного проще„ чем решение дифференциальных уравнений электрического равновесия, составленных для мгновенных значений токов и напряжений.
Таким образом, с использованием комплексных схем замещения и составленных на их основании уравнений электрического равновесия цепи в комплексной форме анализ цепи переменного тока становится не сложнее анализа цепи постоянного тока н может производиться с использованием тех же приемов. Общая схема применения метода комплексных амплитуд Анализ цепей методом комплексных амплитуд содержит следующие этапы: 1) замена гармонических токов и напряжений всех ветвей их комплексными изображениями, а эквивалентной схемы цепи для мгновенных значений — комплексной схемой замещения; 2) составление уравнений электрического равновесия дени для комплексных изображений токов и напряжений на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме; 3) решение системы уравнений электрического равновесия относительно комплексных изображений интересующих токов и напряжений; 4) переход от комплексных изображений токов и напряжений к их оригиналам.
й 28. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ Сопротивление (2.61) и„=- )/2У„соз (ои '- ф„). Определим ток сопротивления (и и его комплексное входное сопротивление Уп, а также построим диаграммы, характеризующие зависи- масть тока, напряжения н мгновенной мощности сопротивления от времени. Связь между мгновенными значениями тока и напряжение линейного сопротивления определяется законом Ома (1.9).
Г1одставляя (2.61) в (1.9), находим (и =- ив~К = () ' 2Уп соз (в(з фи))Я. (2.62) Из выражения (2.62) видно, что при гармоническом внешнем воздействии ток сопротивления является гармонической функцией времени той же частоты, что н напряжение (рис. 2.9, б). В общем случае гармонический ток через сопротивление Л/2 П Юс 2 2жсоз Рис. 2тл Врсмсннйс диаграммы напряженна (а), тока (б) и мгновенной мощности (в) сопротивле- нии (и = Р 27~ соз (со(+ ф). (2 63) Сравнивая выражения (2.62) и (2.63), устанавливаем, что ток и напряжение линейного сопротивления совпадают по фазе 'Ф„= ф; .= ф, 85 ° И сть к идеализированному резистивному элементу сопротивле- У ' нию (см. рис. 1.2) приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону (рнс.
2.9, а): 1т г с г„-цл ле 1аи рю в ле е! Рис. 2йо. Векторные диаграммы для тока и напрялгеиия (а), комплексного сопротивления (б) и комплексной проводимости (е) сопротивления а действующие значения напряжения и тока связаны между собой соотношением 1„= Уп!)с, подобным закону Ома для мгновенных значений. Мгновенная мощность сопротивления определяется произведением мгновенных значений напряжения ин и тока )ис рн = ив(а = 2Ун1и соз' (ы1+ ~Р). Выражая соз'(Ы+~р) через косинус двойного угла, получаем выражение для мгновенной мощности сопротивления р„=- и„1„- (1„1„со.
2 ( 1+ ). (2.64) Из выражения (2.64) следует, что мгновенная мощность сопротивления содержит две составляющие: постоянную, равную произведению действующих значений напряжения и тока, и переменную, изменяющуюся во времени по гармоническому закону с частотой, удвоенной по сравнению с частотой воздействующего напряжения (рис. 2.9, в). Максимальное значение мгновенной мощности сопротивления равно 20н!а, а минимальное — нулю. В связи с тем что ток и напряжение сопротивления имеют одинаковые начальные фазы, они одновременно достигают максимальных значений и одновременно проходят через нуль (рис. 2.9, а, б). Мгновенная мощность сопротивления всегда положительна, причем она обращается в нуль в точках, где ток и напряжение ровны нулю, и достигает максимума в моменты времени, когда ток и напряжение максимальны по абсолютному значению. Среднее значение мощности сопротивления за период называется а к т и в н о й мощностью и равно произведению действующих значений напряжения и тока: г т Ул1л с Рл=р в = — ~ рлй1 = — ~ () +соз2(оэ1+ф))й1=(1л1л.
о о Активная мощность численно равна постоянной составляющей мгновенной мощности и характеризует среднюю за период скорость потребления сопротивлением энергии от источника. Комплексные ток и напряжение сопротивления !н = 1ае)Ф~ = = Н Есин И С)П = УаЕ1~ ИМЕЮТ ОДИНаКОВЫЕ аРГУМЕНтЫ И ОтЛИЧаЮтил,в ся по модулю в Я раз. На комплексной плоскости ()н и 1и изображаются векторами, которые совпадают по направлению и отличаются только масштабом (рис. 2.10, а). Комплекоюе сопротивление Я„идеализиро- 1 и ванного резистивного элемента — сопротивления равно отношению комплексных действующих значений напряжения и тока: ')г 1е и Яя = Уи11н =- й (265) Представляя комплексное сопротивление 4~ в показательной и алгебраической формах Рис.
2.11. КомплексЯя — — ал ежи =- гн+1хя (2.66) ная схема замещения участка цепи, содери сравнивая (2.65) с (2.66), устанавливаем, что нсащего сопротиалемодуль комплексного сопротивления равен нне ги — — УнИ„-- )с, его аРгУмент Ри = зРа — ф; = = 0 и что комплексное входное сопротивление Я„ идеализированного резнстивного элемента сопротивления содержит только вещественную составляющую: гн =- (с, х„= О.
На комплексной плоскости Х„изображается вектором, направленным вдоль вещественной оси (рис. 2.10, б). Комплексная проводимость сопротивления Ун — — 112п = 111с также изображается вектором, направление которого совпадает с направлением положительной вещественной полуоси (рнс. 2.10, е). Комплексная схема замещения сопротивления (рис. 2.11) имеет такой же внд, как и эквивалентная схема для мгновенных значений (см. рис. 1.2), и отличается от нестолько тем, что мгновенные значения тока 1„и напряжения и„заменены их комплексными изображениями 1ии У„. Емкость Рассмотрим емкость (см.
рис. 1.5), к которой приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону: ие = $' 2У, соз (оз1 + зр„). Используя выражение (1.!3), найдем ""с 1с= С вЂ” =- — озС3~ 2 Усз1п(М+ф„)= т = р' 2 озСУс сон (ез1+ зР„+ л12). (2.67) Как видно из (2.67), ток емкости изменяется по гармоническому закону 1с =-- )1 21с соз (М + зР;), причем начальная фаза тока на л12 больше начальной фазы напряжения: зрз = ф„+ лl2, т. е. ток емкости опережает по фазе напряжение на 90' (рис. 2.12, а).
Действующее значение тока емкости пропорционально действующему значению напряжения: 1с = озСУо. 87 )ч!гиовеииая мощность емкости рс при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей частоты воздействующего напряжения (рис. 2.12, б): рс -- ис( — — [ ' 2Ус соз (со( + ~р„)1 [)121с соз (со( 1 $ + п!2)1 = =.. — 2Ус1с соз (~1+тР„) з)п (ьМ+тР„)=- — (1~1~ з(п 2 (ьт(+ Р,). (2 68) Как видно из времеиийх диаграмм, в течение половины периода изменения мощности ток и напряжение емкости имеют одинаковый знак (емкость заряжается), при этом мгновенная мощность емкости положительна.
В течение второй половины периода емкость отдает запасенную энергию (разряжается), при этом ток и напряжение емкости имеют различные знаки, а мгновенная мощность емкости отрица- тельна. Среднее значение мои(- и„тс ~ ности емкости за период (ак- тинная мощность) равно нулю: -гй г ис гк 1 тт1г и тт,ттстт све а) рл= — т[ р~ с(1 = О.
(2 60) л7г а Энергия щс, запасенная в а) емкости, определяется в соот- ветствии с выражением (1.18), приложенным к ией напряжениемм: ич =Си,'../2 = С(1ссоз (от(+тря) =- С(1с [! + соз 2 (от(+ ф „))12, (2. 70) Из выражения (2.70) видна, '"/г в н18 вт з'Ф ди со+ что энергия емкости содержит ф две составляющие: переменную Рис. 2.!2 Временнйе диаграммы нанря- и постоянную, причем переменження, тока (о), мощности (В) и энер- иая составляющая энергии изгии (в) емкости меняется во времени по гармо- ническому закону с частотой, равной 2от (рис. 2.12, в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
