ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Энергия емкости достигает максимального значения в те моменты времени, когда напряжение на емкоспш максимально по абсолютному значению; при уменыпеиии (по абсолютному значению) напряжения иа емкости запасенная в ией эиергия уменьшается и становится равной нулю в моменты времени, когда напряжение иа емкости равио нулю. Таким образам, емкость периодически обменивается энергией с астальиой частью цепи, причем энергия, запасенная в емкости, является неотрицательной величиной. Емкость ие содержит впутреииих источииков энергии и поэтому в процессе разрядки ие может отдать больше энергии, чем оиа получила от остальиой части цепи в процессе зарядки.
88 я; ае ечя де а) ю ю Рнс.. 2.(3. Векторные диаграммы тока н напряжения (а), комплексного сопротнвлення (б), а также комплексной проводимости (в) емкости В связи с тем что ток емкости (п опережает напряжение емкости ~о по фазе на угол тт/2, комплексные ток и напряжение емкости 1 = 1пе/о' = гоС(/ое/(~ +"~"; (/с =- (/се/е изображаются на комплексюй плоскости в виде двух векторов, расположенных таким образом, хто вектор /с повернут относительно вектора (/о на угол п/2 против асовой стрелки (рис.
2.13, а). Комплексные со~вотивление и проводимость емкости /с Рнс. 23 4. Комплексная схема аамешення емкости Индуктивность Найдем напряжение иь на нндуктивности (см. рис. 1.7), ток /в которой изменяется по гармоническому закону: !ь = ~/21в соз (Ы + тр,). (2.73) Связь между мгновенными значениями тока и напряжения индукгивности определяется выражением (1.22). Подставляя (2.73) в (1.22), юлу чаем си иг.=/. — = — го/.)l 2 1„з(п(го/+ф) = о( =)г'2 го/./ссоз(го(+ар,.+и/2), (2.74) 89 ()с 1 = — = — е — г'г/' =- 1/(/отС) = — 1/(гоС) (2.71) 1 щс и, ~, = /У//огг) 'гс = 1/Яс= гоСе/пг' = /гоС, (2 72) Сравнивая (2.71) и (2.72) с показательной и :лгебраической формами записи комплексных /ос опротнвления и проводимости Е~ = кое /о = го + /х; 'г'о = Усе с= — до + /Ь, находим :одули, аргументы, вещественные и мнимые составляющие входных опротивления и проводимости емкости: ао = 1/(гоС); ус =- охС; вг = — тт/2; ()с — — л, 2; ус —— гс = О; хс =- — 1/ (охС); Ьс = отС.
На комплексной плоскости Л и У„изображают векторами, направ;енными соответственно вдоль отрипательной и положительной мнняых полуосей (рис. 2.13, б, а). Комплексная схема замещения емкости [риведена на рис, 2.14. Как видно из (2.74), напряжение индуктивности, находящейся под гармоническим воздействием, является гармонической функцией времени, имеющей ту же частоту, что и воздействующий ток (рис. 2.15, а): Рс = ивА = Ф = Ц/2Уь соз (го( + ф„)1 х Х()/2/с соз (отой + чр,)1 =- =- — (/г./г, яп 2 (от1+ трг). (2.75) В связи с тем что в индуктивности отсутствует преобразование электрической энергии в другие виды энергии, активная мощность индуктивности равна нулю: Рл т = у~Рой(= О Энергия го„, запасенная в магнитном поле индуктивности, определяется мгновенным значением тока индуктивности: -эт/с 0 Е/Л рт ЗфГ ля соб ()) Рнс, 2,(З. Временные диаграммы тока и напряжения (о), комплексного сопротивления (В), а также номплсксноя проводимости (в) индуктивности )Р н~с = — = — '11+ сон 2(М+тр,)1.
9 9 Так же, как и мгновенная энергия емкости, мгновенная энергия индуктивности содержит постоянную и переменную составляющие, причем переменная составляющая изменяется во времени по гармоническому закону с частотой 2со (рис. 2.15, в). Вследствие того что емкость и индуктивность являются дуальными элементами, процессы, имеющие место в этих элементах при гармоническом воздействии, описываются подобными по структуре аналитическими выражениями, а временные диаграммы для индуктивности подобны временным диаграммам для емкости и могут быть получены из последних путем замены напряжения на ток, а емкости на индуктивность. 90 иь = 3/2У~ соз (ат( + ф„), причем начальная фаза напряжения на п!2 боление начальной фазы тока тр„=- фе + п)2. Действующее значение напряжения на индуктивности пропорционально действующему значению тока (/с = гпт.гв.
Так же, как и мгновенная мощность емкости. мгновенная мощность индуктивности Р„при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой, г( равной 2го (рис. 2.15, б): Комплексный ток 1ь и комплексное напряжение (/ь нндуктивности определяются выражениями 1, =/ьР*.; (2.76) (2.77) (),=(/, е/е.= 11 е/!е+"" и изображаются на комплексной плоскости в виде пары векторов, длины которых в определенном масштабе равны действующим значениям напряжения и тока индуктнвности, причем вектор (/ь повернут относительно вектора 1ь на угол и/2 против часовой стрелки (рис. 2.16, а). тт е О ге а! а! а а! Рис.
2.!б Векторные диаграммы для тока и напряжения (а), комплексного сопротивления (б) н комплексной проза. димости (в) нидуктивиости Используя выражения (2.76), (2.77), находим комплексное сопротивление Еь н комплексную проводимость Уь индуктивности: Я„= (/ь/1„= в1. е(ие т = /в/,; (2.78) У„ = — = е †/"(т/(в/.) = !/(/в1.) = — 1/(в1.). (2.79) ! — х ь 9! Сравнивая (2.78) и (2.79) с показательной и алгебраической формами записи комплексных сопротивления и проводимости: ьь = (вь .
(о = гье "= гь+ /хь! Уь = уье = дь+ /Ьь получаем ввцественную н мнимую части, модули и аргументы комплексного сопротивления и комплексной проводимости нндуктивностн: ег =/аг/ аь = вЕ-; уь = )/ (вЕ); грь = и/2; ()ь = — и/2; йь — — гь — — 0; хг. = — в1,; Ьь = — 1/ (вЕ). На комплексной плоскости Ль и Уь изображаются векторами, ориентированными соответственно вдоль положительного нли отри- ная схема замещения чательного направления мнимой осн (рис. 2Л6, б, в). Комплексная схема замещения индуктивности приведена на рнс. 2Л7. таким образом, комплексные сопротивления и проводимости идеализированных пассивных алементов линейных цепей не зависят от амплитуды (действующего значения) и начальной фазы внешнего воздействия и определяются только параметрамн соответствующих злемеитов и частотой внешнего воздействия.
й 2.4. АНАЛИЗ ПРОСТЕИШИХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ Последовательная 141.-цепь рассмотрим идеализированную электрическую цепь, состоящую из последовательно включенных сопротивления )т и индуктивности 1. (рис. 2.18, а). Пусть напряжение и, приложенное к внешним зажимам цепи, изменяется по гармоническому закону и = ) 2У соз (от1+ ф„), где У, от, $„— заданные величины.
Используя метод комплексных амплитуд, найдем установившееся значение тока 1 в цепи. "я 1я Я гяая 1 (а 0 г~=,уго1, И Я*я+)ы Б ф д 1т ) гоЬ а 1а7 0 0 хя Я Яе Яе 8) л Рвс. 2.18. Схемы и векторные днаграммы последова- тельной Ят.-цепн Искомый ток 1 является гармонической функцией времени той же частоты, что и приложенное напряжение: 1= 'Р 2)сов (оП+тРг), где 1, ф, — неизвестные действующее значение и начальная фаза тока 1. Представляя сопротивление и емкость комплексными схемами замещения н переходя от тока 1 и напряжения и к их комплексным изоб- ражениям ;=,1=-1 14; и=и ()ег", (2.80) (2.81) (2.82) (2.83) (2.84) Ил=Ха!е', У~=А.А..
получаем комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18, б). Далее, используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи и=и,+Ь),; 1=Я=(„; Здесь 2в -— — Я и Яь = )ыЬ вЂ” комплексные сопРотивлениЯ входЯщих в рассматриваемую цепь идеализированных элементов.
Величины Я, Ь и ы заданы. Подставляя (2.82) — (2.84) в уравнение (2.81), находим соотношение, связывающее комплексные изображения искомого тока и заданного напряжения: 0 =(г„+ г„)1=гЬ (2.85) Выражение (2.85) представляет собой математическую запись закона Ома в комплексной форме для рассматриваемого участка цепи, причем Х = Л„+ Яь = Я + (ыЬ есть комплексное входное сопротивление этого участка цепи. Выражению (2.85) можно поставить в соответствие комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18, а).
Таким образом, комплексное входное сопротивление цепи, состоящей из последовательно включенных сопротивления Я и индуктивности Ь, равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов. В дальнейшем убедимся, что аналогично можно найти комплексное сопротивление любого участка цепи, представляющего собой последовательное соединение произвольного количества идеализированных двухполюсных элементов.
Комплексное входное сопротивление рассматриваемой цепи может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора 2, равного геометрической сумме векторов Лв и Л~ (рис. 2.18, г). Длина этого вектора равна, в выбранном масштабе, модулю комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи = У'й'+( Ь)'. (2.86) а угол наклона к положительной вещественной полуоси — его аргументу ф = агс1и (оэЬЯ).
(2.87) Отметим, что при конечных значениях в, Ь и Й угол ч~ лежит в пределах О ( ~р < яг2. (2.88) Когда аргумент комплексного входного сопротивления ф какого- либо двухпалюсника равен ну,лю, то говорят, что его входные сопротивление и проводимость имеют ч и с т о р е з и с т и в н ы й (вещест- венный) характер, когда (<р! = я/2 — ч и с т о р е а к т н в н ы й (мнимый) характер. Если аргумент комплексного входного сопротивления двухполюсника равен и/2, та его входные сопротивление и проводимость имеют и н д у к т н в н ы й х а р а к т е р, если у= — п/2— е м к о с т н о й. В рассматриваемом случае значение аргумента определяется соотношением (2.88), поэтому входное сопротивление цепи имеет р е з н с т и в н о-н н д у к т н в н ы й х а р а к т е р.
Используя (2.85), найдем комплексное действующее значение искомого тока !=- У/Я = Уе'ч"/(ге~я) =- Уе~'ч ч' ~г, (2.89) где г и Ч~ определяются соотношениями (2.86) и (2.87). Из выражений (2.89) и (2.80) можно определить действующее значение и начальную фазу тока: Переходя от комплексного изображения тока к оригиналу, окончательно получаем — и 1= 3Г2 — соз (а(+ ф„— ~р) .= г =~2 ~ ~+݄— ~д — ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
