yavor1 (553178), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Для простоты рассуждений направим одну из осей координат (например, ось абсцисс) вдоль направления движения вагона (рис. 2.1). Из чертежа очевидно, что апликаты и ординаты точки К в обеих системах координат совпадают: г' = г и у' =-у. Абсциссы же огличакпся на отрезок 00' =- ог'. Отсюда преобразования Галилея примут вид у' = у, х' == х — ой (2.

1) 3. Чтобы убедиться, что преобразования Галилея удовлетворяют принципу относительности, рассмотрим, каков будет их вид, если 29 вагон считать неподвижным, а Землю — перемещающейся в обратном направлении со скоростью К. Абсолютные величины скоростей )г и о совпадают, направления же их противоположны; следовательно, $' = — о. Рассуждения, совершенно аналогичные вышеизложенным, приводят к формулам г = г', у = у', х = х'+ о1. (2.2) Итак, преобразования Галилея взаимны: любая из инерциальных систем отсчета может быть условно принята за неподвижную, а преобразования к любой другой инерциальной системе производятся по тем же формулам, но с учетом знака относительной скорости системы. А это и означает, что данные преобразования согласукпся с принципом относительности.

4. Перемещения точки в разных системах координат различны. Действительно, пусть в момент 1, материальная точка имела координату х„а в момент 1,— координату х,. Перемещение точки в системе отсчета, связанной с Землей: Ьх=х,— х,. Перемещенйе этой же точки в системе отсчета, связанной с вагоном: Ьх'=х," — х,'=х,— х,— о(1,— 1,)=Ах — о И. (2.3) Соответственно Ьх = Ьх' + о И. (2.4) 5. Однако длина отрезка в обеих системах отсчета сохраняется. Действительно, длиной отрезка (рис. 2.2) называется разноспь Рис.

2.2. координат его конца и начала, азмеренных одноеременно: 1 = х, — хг прн 1, = 1„т. е. М = О. Тогда из (2.3) или (2.4) следует: 1 = 1'. (2.5) Этот результат представляется совершенно очевидным, и на первый взгляд даже неясно, зачем это нужно было выводить. Смысл вывода станет ясен ниже 5 12.8).

30 В 2.5. Классический закон сложения скоростей 1. Пусть материальная точка движется равномерно вдоль оси абсцисс со скоростью и= Лх/ЛС Найдем скорость этой же точки в другой инерциальной системе отсчета и' = Лх'/ЛС Для этой цели воспользуемся формулой (2.3). Разделив обе части равенства на ЛС получим (2.6) или соответственно (2.7) и = и'+о. Это и есть классический закон сложения скоростей для рассматриваемого частного случая. 2. Классический закон сложения скоростей хорошо подтверждается при скоростях движения, много меньших скорости света.

Так, если вагон движется относительно Земли со скоростью 80 км/ч, а пассажир идет по вагону в том же направлении со скоростью 6 км/ч, то скорость пассажира относительно Земли составит 86 км/ч. Если река имеет скорость течения 2 м/с, а скорость парохода относительно воды 8 м/с, то при движении парохода против течения его скорость относительно Земли составит 6 м/с, а при движении по течению — 1О м/с. 3. Логические соображения, положенные в основу вывода преобразований Галилея, представляются самоочевидными, а следствия, получаемые из этих преобразований, такие, как неизменность длины отрезка в разных системах отсчета, закон сложения скоростей и т. п., отлично оправдывались в экспериментах при тех скоростях движений, с которыми имели дело ученые в течение примерно трех столетий после работ Галилея и Ньютона.

Постепенно сложилось представление, что эти преобразования должны быть справедливы для любых физических явлений. И только в конце прошлого века было обнаружено, что применение представлений ньютоновской механики к явлениям, связанным с распространением света, приводит к ряду противоречий. В гл. 12 мы покажем, как возникли эти противоречия и как они были устранены в теории относительности. ГЛАВА 3 СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ. ВЕКТОР СКОРОСТИ В 3.1. Скалярные величины 1.

Скалярам называется величина, которой в любой системе отсчета соответствует определенное число, зависящее от выбора системы единиц. При записи скаляра рядом ставят его численное значение и единицу измерения. Например: 1= 3 м = 300 см = 3000 мм. Численное значение скаляра обратно пропорционально единице измерения. Символически это можно записать так: а )А) = а' (А') или (3.1) где !А] и (А') — единицы измерения скаляра, а и а' — его численные значения. 2. Примерами скалярных величин могут служить: время, длина, площадь, объем, температура, масса, работа, энергия.

Сумма или произведение скаляров есть также скаляр. И вообще — любая алгебраическая операция над скалярными величинами также дает скаляр. Заметим, что если некоторое выражение, составленное из скалярных величин, находится под знаком пеалгебранческой (трансцендентной) функции, то оно является отвлеченным числом. К такого рода функциям относятся показательная, логарифмическая, тригонометрическая функции. Например, если координата х выражена в метрах ((х) = м), то выражение у =- а'" имеет смысл только в том случае, если (й) =- м-". Аналогично выражение х = А соз си1 имеет смысл только при (ы) =- с-'.

$3.2. Векторные величины 1. Векглором называется величина, которой в любой системе отсчета соответствует направленный отрезок. Вектор характеризуется абсолютной величийой (модулем), направлением и точкой приложения его начала. Примерами векторных величин являются скорость, сила. Рис.

3.2. Рис. Зй. Вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец определяет положение некоторой материальной точки, называется радиусом-вектором этой точки (рис. 3.1). Векторы принято обозначать малыми латинскими буквами с горизонтальной стрелкой вверху (а, Ь и т. д.) или жирными буквами (а, Ь, ...). Радиус-вектор принято обозначать буквой г. 32 2.

Любой вектор может быть спроектирован на оси координат. Проекции вектора а на оси координат обозначаются соответственно а„, а„, а„где нижний индекс характеризует ось, на которую проектируется вектор (рис. 3.2). Из чертежа видно, что а„=х,— х„а„=у,— у„а, =г,— г„ (3.2) где х„у„г, — координаты начала вектора, х„у„г, — координаты его конца. Проекциями радиуса-вектора г являются координаты его конца, поскольку координаты его начала равны нулю: Модуль радиуса-вектора ) г ) = г =- Ух'+ у'+ г'. (3.5) ф 3.3.

Некоторые операции над векторами Е Суммой двух векторов является новый вектор, проекции которого суть суммы соответствующих проекций слагаемых. Если проекциями слагаемых векторов а и Ь являются (а„, а„, а,) и (Ь„, Ью Ь,), то из определения следует: с» а»+ Ь»~ если с„=- а„+ Ь, с, =-а,+Ь,. (3.6) с=-а+Ь, Из этого определения вытекает ряд важных следствий. Лереместительный закон сложения: а+Ь==Ь+а.

(3.7) Действительно, для проекций, как для любых чисел, перемести- тельный закон безусловно справедлив. Аналогично доказывается сочетательный закон сложенияс а+Ь+с =(а+Ь)+с=а+(Ь+с). (3,8) Правило многоугольника: чтобы сложить несколько векторов, например а„ а„ а„ а, и ам нужно начало второго слагаемого совместить с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д. Затем строится новый вектор, начало которого совпадает с г в.

м. яварсний, А. ь. п»нсн»й, ». $ 33 г» = х, гв —— у, г, = г. (3.3) Очевидно, что проекции вектора являются скалярами. 3. Абсолютной величиной вектора или, короче, его модулем называется скаляр, равный длине отрезка, изображаюптего этот вектор. Обозначается (а~ или просто а. Пользуясь теоремой Пифагора, получим ) а ( — а -= 1/а»'+ а„'+ а,' = У(х, — х,)'+ (у, — у,)'+ (г, — г,)'. (3.4) началом первого слагаемого, а конец — с концом последнего (рис.

3.3). Этот замыкающий вектор Ь и будет искомой суммой: Ь =- а, + а, + а, + а, + а,. Для доказательства этого следствия расположим два вектора а, и а, в плоскости ху, причем начало вектора а, совместим с концом вектора а, (рнс. 3.4).Соединив начало а, с концом а„получим вектор Ь, который по определению и является искомой суммой, Рис. З.З. Рис. 3.4.

Из чертежа видно, что проекции вектора Ь на оси координат являются суммами соответствующих проекций векторов а, и а, на зги же оси. Для нескольких же векторов можно воспользоваться сочетательным законом сложения. р ь 6 Ьа гь 6 ь аг аг Рис. 3.5 Ряс. 3.6. Заметим, что сумму двух векторов можно построить и по правилу параллелограмма (рис. 3.5). Однако при построении суммы нескольких векторов правило многоугольника более удобно. 2.

Разностью двух векторов называется вектор, построенный следующим образом: совмещаются начала уменьшаемого Ь и вычитаемого а векторов (рис. 3.6). Тогда вектор с, проведенный от конца вычнгаемого вектора к концу уменьшаемого, н есть искомая разность: с=Ь вЂ” а (3.9) В проекциях с„=܄— а„, с„=܄— а„, с,=Ь,— а,. Доказательство непосредственно вытекает из правила многоугольника, поскольку а+с =Ь. 34 < х=йал~ Ь =Аа, Ь, = — йа„ (3.10) Ь: Ьа, если Лля целого положительного )г это прямо следует из закона сложения векторов. При умножении вектора на ска- Рис. 3 7. ляр его направление не меняется, модуль же нового вектора возрастает в Ь раз (рис. 3.7): Ь=-)/Ь;+Ь,',+Ь,'=)~ ~Ра', 1-Ьеа„'+й'а,'= — й*г' а'„.+а'„чае = — йа.

4. Частным от деления вектора а на скаляр й Ф 0 является новый вектор Ь, проекции которого в Ь раз меньше соответствующих проекций вектора а. Итак, из определения следует, что а Ь= —, если Ь„=- —, Ь = — —, Ь,= —,. (3.11) Предоставляем читателю самостоятельно показать, что при делении вектора на скаляр его направление не меняется, модуль же уменьшается в и раз. ф 3.4. Разложение вектора на два слагаемых !. Разложить вектор а на два слагаемых — значит найти такие два вектора Ь и с, чтобы а=-- Ь + с. В этом случае Ь, с и а обр,жуют замкнутый треугольник (правило многоугольника).

Характеристики

Список файлов книги