shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 5
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а)==3π ⎞cos 2 (4α) + sin 2 (10α)22⎛cos (2π − 4α) + cos ⎜ 10α − ⎟2 ⎠⎝⎛ π 5π ⎞⎛ 9π ⎞ctg ⎜ + ⎟ + ctg ⎜ ⎟⎝4 4 ⎠⎝ 4 ⎠ = 0 + 1 = 2;=1 12⎛π⎞2 ⎛ 5π ⎞+cos ⎜ ⎟ + sin ⎜ ⎟4 4⎝3⎠⎝ 6 ⎠–⎛π⎞⎛ 5π⎞⎛π⎞ctg ⎜ − 21α ⎟ + tg ⎜ − − 15α ⎟ ctg ⎜ − 21α ⎟ + ctg (15α )424⎝⎠⎝⎠⎝⎠б)==5π ⎞cos 2 (4α) + sin 2 (2α)22⎛cos (3π − 4α) + cos ⎜ −2α + ⎟2 ⎠⎝⎛ π 7π ⎞⎛ 5π ⎞ctg ⎜ − ⎟ + ctg ⎜ ⎟⎝4 4 ⎠⎝ 4 ⎠ = 0 + 1 = 2.=1 12⎛π⎞2⎛π⎞+cos ⎜ ⎟ + sin ⎜ ⎟4 4⎝3⎠⎝6⎠1.4.В06.а)2cos13o cos 43o − cos56o 2cos13o cos 43o − (cos13o cos43o − sin13o sin 43o )==2sin58o cos13o − sin 71o 2sin58o cos13o − (sin13o cos58o + cos13o sin58o )3cos13o cos 43o + sin13o sin 43o cos30o2====sin 58o cos13o − sin13o cos58o sin 45o22б)32=3;22cos10o cos70o − cos80o 2cos10o cos70o − (cos10o cos70o − sin10o sin 70o )==2sin 40o cos10o − sin50o 2sin 40o cos10o − (sin 40o cos10o + cos40o sin10o )1cos10o cos 70o + sin10o sin 70o cos 60o 2== = 1.=sin 40o cos10o − sin10o cos 40o sin 30o 121.4.В07.
а)б)sin 2 11o + sin 2 79osin 2 11o + cos 2 11o 1== = 1;oo22cos 53 + cos 37cos 2 53o + sin 2 53o 1sin 2 8o + sin 2 82osin 2 8o + cos 2 8o1== = 1.oo22cos 51 + cos 39sin 2 39o + cos 2 39o 11.4.В08. а) cos14ºcos74º<cos14º·cos60º<cos60º=1239б) cos10º·cos40º<cos10º·cos30º<cos30º=3.21.4.В09. а) (sin237º+cos238º)–(cos237º+sin238º)=cos76º–cos74º<0,так что sin237 + cos238 < cos237º+sin238º;б) sin26º+cos29º–(sin29º+cos26º)=cos18º–cos12º<0,так что sin26 + +cos29º<sin29º+cos26º.21π ⎞3π ⎞3π ⎞⎛⎛⎛cos ⎜ 3α −⎟ cos ⎜ 3α + ⎟ cos ⎜ 3α + ⎟4 ⎠4 ⎠4 ⎠⎝⎝⎝1.4.В10. а)=== 1;3π ⎞5π ⎞3π ⎞⎛⎛⎛sin ⎜ 3α − ⎟sin ⎜ 3α + ⎟ cos ⎜ 3α + ⎟4 ⎠4 ⎠4 ⎠⎝⎝⎝3π ⎞3π ⎞3π ⎞⎛⎛⎛sin ⎜ 2α + ⎟sin ⎜ 2α + ⎟sin ⎜ 2α + ⎟4 ⎠4 ⎠4 ⎠⎝⎝⎝===б)21π ⎞3π π 16π ⎞3π ⎞⎛⎛⎛πcos ⎜ 2α +⎟ cos ⎜ 2α + + +⎟ cos ⎜ + 2α + ⎟4 ⎠4 24 ⎠4 ⎠⎝⎝⎝23π ⎞⎛sin ⎜ 2α + ⎟4 ⎠⎝= −1.=3π ⎞⎛− sin ⎜ 2α + ⎟4 ⎠⎝1 (sin α − cos α)2 1 1 3= − = ;222 8 8(3sin α + 3cos α) 2 − 9 −84==− .б) sinαcosα=181891.4.В11.
а) sinαcosα= −1.4.В12.sin α cos α111+=, так что cosαsinα==− ;tg α + ctg α8cos α sin α sin α cos α11= .б) sinαcosα=tg α + ctg α 9а) tgα+ctgα=Уровень С.1.4.С01. а)=sin112o cos 7o cos14o cos 28o= cos 7o cos14o cos 28o cos56o ;2sin 56oб)=sin112o sin112o ⋅ cos 7o sin112o ⋅ cos 7o sin112o ⋅ cos 7o ⋅ cos14o====16sin 7o 16sin 7o ⋅ cos 7o8sin14o4sin 28osin 256o2sin128o ⋅ cos128o 4sin 64o cos 64o cos128o===o16sin1616sin16o16sin16o8sin 32o cos32o cos 64o cos128o 16sin16o cos16o cos 32o cos 64o cos128o==16sin16o16sin16o= cos16o cos32o cos 64o cos128o.1.4.C02.
а)40sin12o + sin10o 2sin11o cos1o tg11o==;tg1osin12o − sin10o 2sin1o cos11oб)sin 32o + sin 22o 2sin 27o cos5o tg 27o.==tg 5osin 32o − sin 22o 2sin 5o cos 27o1.4.С03. а)cos17o − cos 29o −2sin(−6o )sin 23o sin 6o sin 23o===cos17o + cos 29o2cos 6o cos 23ocos 6o cos 23o= tg 6o tg 23o > tg 23o sin 6o ;б)cos 6o − cos8o 2sin1o sin 7o== tg1o tg 7o > tg 7o sin1o.cos 6o + cos8o 2cos1o cos 7o1.4.С04.а) –cos(2α + β) − cos(2α − β)2sin 2α sin β− tg 2αtgβ =− tg 2αtgβ =cos(2α − β) + cos(2α + β)2cos 2α cos β=tg2αtgβ–tg2αtgβ=0;б) –cos(α − 2β) − cos(α + 2β)2sin α sin 2β+ tg αtg 2β = −+ tg αtg 2β =cos(α − 2β) + cos(α + 2β)2cos α cos 2β=–tgαtg2β+tgαtg2β=0.1.4.С05.
а)sin(α + 2β) − sin(α − 2β) tg α − tg 2β 2sin 2β cos α tg α − tg 2β+=+=sin(α − 2β) + sin(α + 2β)2sin α cos 2βtg αtg αtg 2β tg α − tg 2β+= 1;tg αtg α=sin(2α + β) + sin(2α − β) tgβ − tg 2α2sin 2α cos β tgβ − tg 2α−=−−=tgβtgβsin(2α − β) − sin(2α + β)2sin β cos 2αtg 2α tg 2α − tgβ+= −1.=−tgβtgβб)1.4.С06.а) 3ctg2α–ctg2β––33cos 2 α + sin 2 α sin 2 β − cos 2 β= 3ctg2α–ctg2β–sin 2 α sin 2 β⎛ctg 2αctg 2β1 ⎞1 ⎞⎛− 1 + 2 = 3ctg 2α ⎜1 − 2 ⎟ − ctg 2β ⎜1 − 2 ⎟ − 1 =2sin βsin αsinsinβα⎠⎝⎝⎠⎛ cos 2 β ⎞⎛ − cos 2 α ⎞22− ctg 2β ⎜⎜⎟⎟ − 1 = −3ctg αctg β +2 ⎟2⎟⎝ sin β ⎠⎝ sin α ⎠= 3ctg 2α ⎜⎜ −+ ctg 2β ctg 2α − 1 = −2ctg 2αctg 2β − 1;б) 2ctg2α–3ctg2β––2cos 2 α − 2sin 2 α sin 2 β − 3cos 2 β= 2ctg2α–3ctg2β–sin 2 α sin 2 β⎛2ctg 2α3ctg 2β1 ⎞1 ⎞⎛+2+= 2ctg 2α ⎜ 1 − 2 ⎟ + 2 − 3ctg 2β ⎜1 − 2 ⎟ =2sin βsin 2 α⎝ sin α ⎠⎝ sin β ⎠= −2ctg 2αctg 2β + 2 + 3ctg 2β ctg 2α = 2 + ctg 2αctg 2β.1.4.С07.а)sin 5α + sin 6α + sin 7α2sin 6α cos α + sin 6α− tg 6α + 1 =− tg 6α + 1 =cos5α + cos 6α + cos 7α2cos α cos 6α + cos 6α41=sin 6α(2cos α + 1)− tg 6α + 1 = tg 6α − tg 6α + 1 = 1;cos 6α(2cos α + 1)sin 4α + sin 7α + sin10α2sin 7α cos3α + sin 7α− tg 7α − 1 =− tg 7α − 1 =cos 4α + cos 7α + cos10α2cos3α cos 7α + cos 7αsin 7α(2cos3α + 1)=− tg 7α − 1 = tg 7α − tg 7α − 1 = −1.cos 7α(2cos3α + 1)б)1.4.С08.sin(α + β)(sin α cos β + cos α sin β)= 1 − cos α cos β +⋅tg α + tgβsin α cos β + cos α sin β⋅ cos α cos β = 1 − cos α cos β + cos α cos β = 1;sin(α + β)(sin α cos β + cos α sin β)б) 2–sinαsinβ+= 2 − sin α sin β +⋅ctg α + ctgβsin α cos β + cos α sin β⋅ sin α sin β = 2 − sin α sin β + sin α sin β = 2.а) 1–cosαcosβ+1.4.С09.1 − sin α1 + sin α (1 − sin α) − (1 + sin α) −2sin α 2sin α−====1 + sin α1 − sin α| cos α |cos α1 − sin 2 αа)= 2tgα =18;51 − sin α1 + sin α (1 − sin α) − (1 + sin α) −2sin α 2sin α−====1 + sin α1 − sin α| cos α |cos α1 − sin 2 αб)= 2tgα =18;51.4.С10.9ctg α + 2tg α + 6tg 3α + 3ctg 3α tg α + 3tg 3α−=tg 3α3ctg α + 2tg 3αа)23+11ctg α tg 3α tg α + 3tg 3α−= 3+−− 3 = 0;=3ctg α + 2tg 3αtg 3αctg αtg 3α ctg αtg 3α6ctg α + tg α + 2tg 3α + 3ctg 3α tg α + 2tg 3α−=б)tg 3α3ctg α + tg 3α3(ctg α + 2tg 3α) +tg 3α + 3ctg α1tg α1ctg αtg 3α−−2 = 2+−− 2 = 0.3tg α + tg 3αtg 3αctg αtg 3α ctg αtg 3α2(3ctg α + tg 3α) +=1.4.С11.⎛ 43π α ⎞⎛ α 3π ⎞⎛ α 3π ⎞cos ⎜− ⎟ cos ⎜ − ⎟cos ⎜ − ⎟4 12 ⎠12 4 ⎠⎝⎝⎝ 12 4 ⎠===а)⎛ α 41π ⎞⎛ α π⎞⎛ π ⎛ α 3π ⎞ ⎞cos ⎜ −⎟ cos ⎜ − ⎟ cos ⎜ + ⎜ − ⎟ ⎟4 ⎠⎝ 12⎝ 12 4 ⎠⎝ 2 ⎝ 12 4 ⎠ ⎠42⎛ α 3π ⎞cos ⎜ − ⎟⎝ 12 4 ⎠ = −ctg ⎛ α − 3π ⎞ = −ctg ⎛ α + π ⎞ ==−⎜⎟⎜⎟⎛ α 3π ⎞⎝ 12 4 ⎠⎝ 12 4 ⎠sin ⎜ − ⎟⎝ 12 4 ⎠απ1⋅ tg − 1−11112412===− ;απ113tg + tg1+12412tg⎛ 35π 12α ⎞⎛ 12α 3π ⎞⎛ 12α 3π ⎞−− ⎟− ⎟cos ⎜cos ⎜⎟ cos ⎜411 ⎠114 ⎠4 ⎠⎝⎝⎝ 11===б)⎛ 12α 33π ⎞⎛ 12α π ⎞⎛ π ⎛ 12α 3π ⎞ ⎞−− ⎟ cos ⎜ + ⎜cos ⎜− ⎟⎟⎟ cos ⎜4 ⎠4 ⎠⎠⎝ 11⎝ 11 4 ⎠⎝ 2 ⎝ 11⎛ 12α 3π ⎞− ⎟cos ⎜4 ⎠⎛ 12α 3π ⎞⎛ 12α π ⎞⎝ 11= −ctg ⎜− ⎟ = −ctg ⎜+ ⎟==−114 ⎠⎛ 12α 3π ⎞⎝⎝ 11 4 ⎠− ⎟sin ⎜4 ⎠⎝ 1112α12πtg⋅ tg − 1−11114== 11= .12α12 23π1+tg+ tg114111.4.С12.⎛⎝8π ⎞8π ⎞8π ⎞8π ⎞17 ⎛2⎛2⎛⎟ +cos ⎜ tg ⎟ ≤ sin ⎜ tg ⎟ + cos ⎜ tg ⎟ ≤ 1 < 1, 08 ;13 ⎠⎝ 13 ⎠⎝ 13 ⎠⎝ 13 ⎠⎛⎝4π ⎞4π ⎞4π ⎞4π ⎞9⎛2⎛2⎛⎟ +cos ⎜ tg⎟ ≤ sin ⎜ tg ⎟ + cos ⎜ tg ⎟ ≤ 1 < 1, 04 .11 ⎠⎝ 11 ⎠⎝ 11 ⎠⎝ 11 ⎠а) sin27 ⎜ tgб) sin23 ⎜ tgУровень D.1.4.D01.а) sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α–sin2αcos2α+cos4α)==sin4α–sin2αcos2α+cos4α=(sin2α+cos2α)2–3sin2αcos2α=22⎛ (cos α + sin α)2 − 1 ⎞⎛1 ⎞⎟⎟ =1–3· ⎜ − 1 ⎟9 372= ;⎝⎠⎜ 4 ⎟ = 1− 3⋅64 64⎜⎜ 2 ⎟⎟⎝⎠2⎛ (cos α + sin α)2 − 1 ⎞6622б) sin α+cos α=1–3sin αcos α=1–3· ⎜⎜⎟⎟ =2⎝⎠=1–3sin2αcos2α=1–3· ⎜⎜2⎛4 ⎞⎜ −1 ⎟2583=1–3· ⎜ 9 ⎟ = 1 − 3 ⋅.=2324108⎜⎜⎟⎟⎝⎠434sin x − 3cos x= 3; 4sinx–3cosx=9sinx+6cosx;3sin x + 2cos x811−1 − tg 2 x56 ⋅ 5 28−925=== ;, ctg2x=–9cosx=5sinx; tgx=18 18 ⋅ 25 452tgx5−54sin x + cos xб)= 2; 4sinx+cosx=10sinx–6cosx;5sin x − 3cos x491−71 − tg 2 x13 ⋅ 313367cosx=6sinx; tgx= , ctg2x===−=− .762tgx36 ⋅ 78431.4.D02.
а)1.4.D03.а)2 cos 2 x − sin 2 x= 2 ; 2cos2x–2sinxcosx=2(cos2x–sin2x)+4sin2x,cos 2 x + 2sin 2 x2sin2x+2sinxcosx=0; 1+ctgx=0; ctgx=–1;б)2 cos 2 x + sin 2 x= 2 ; 2cos2x+2sinxcosx=2(cos2x–sin2x)–4sin2x,cos 2 x − 2sin 2 x6sin2x+2sinxcosx=0; sin2x(6+2ctgx)=0; ctgx=–3.1.4.D04. а) sin 4π7π5π11π+ sin 4+ sin 4+ sin 4=121212122π5πππ⎞ππ⎞⎛⎛+ 2sin 4= 2 ⎜ sin 4 + cos 4 ⎟ = 2 ⎜ sin 2 + cos 2 ⎟ −12121212 ⎠1212 ⎠⎝⎝πππ13– 4sin 2 cos 2 = 2 − sin 2 = 2 − = 1 ;12126444 π4 5π4 9π4 3π+ cos+ cos=б) cos + cos8888= 2sin 42⎛⎝= 2 ⎜ cos 4π8ππ⎞ππ⎞⎛+ sin 4 ⎟ = 2 ⎜ cos 2 + sin 2 ⎟ −88⎠88⎠⎝– 4sin 2 cos 2ππ11= 2 − sin 2 = 2 − = 1 .84221.4.D05.14а) (cos(2x+у)+cos(x+2у))2=cos2(2x+у)+cos2(x+2y)+2cos(2x+y)cos(x+2y)= ;(sin(2x+y)–sin(x+2y))2=sin2(2x+y)+sin2(x+2y)–2sin(2x+y)sin(x+2y)=1, так что1+1=2+2(cos(2x+y)cos(x+2y)–sin(2x+y)sin(x+2y))=43⎛1⎞ 1=2+2cos(3x+3y).
Так что cos3(x+y)= ⎜ + 1 − 2 ⎟ ⋅ = − ;8⎝4⎠ 244б) (cos(x+3у)+cos(3x+у))2=cos2(x+3у)+cos2(3x+y)++2cos(x+3y)cos(3x+y)=1;19(sin(x+3y)–sin(3x+y))2=sin2(x+3у)+sin2(3x+y)–2sin(x+3y)sin(3x+y)= ,так1910=2+2(cos(x+3y)cos(3x+y)–sin(x+3y)sin(3x+y))=910−24=2+2cos(4x+4y). Так что cos4(x+y)= 9=− .29что 1+ =1.4.D06.α2 = 2⋅2 = 4;а) sinα=1+ 4 52 α1 + tg2α1 − tg 22 = 1− 4 = − 3.cosα=1+ 452 α1 + tg22tgТогда sin4α+5sin2αcos2α+4cos4α=⎛4⎞42⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞2⎛ 3⎞4= ⎜ ⎟ + 5⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + 4⋅⎜ ⎟ =⎝5⎠⎝5⎠ ⎝ 5⎠⎝5⎠256 + 720 + 324 1300 522===2 ;625 252554α2 = −4 = − 4 ;б) sinα=1+ 452 α1 + tg2α1 − tg 22 = 1− 4 = − 3 .cosα=1+ 562 α1 + tg22tgТогда 4sin4α+sin2αcos2α–3cos4⎛4⎞42⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞2⎛ 3⎞4α= 4 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 3 ⎜ ⎟ =⎝ 5⎠ ⎝5⎠ ⎝ 5⎠⎝5⎠1024 + 14 − 243 925 3712===1 .625 2525541.4.D07.а) tg2α+ctg2α=(tgα+ctgα)2–2=9–2=7; tg4α+ctg4α=(tg2α+ctg2α)2–2=49–2=47;tg6α+ctg6α=(tg2α+ctg2α)(tg4α+ctg4α–1)=7·(47–1)=322;б) tg2α+ctg2α=(tgα–ctgα)2+2=9+2=11; tg4α+ctg4α=(tg2α+ctg2α)2–2=121–2=119;tg6α+ctg6α=(tg2α+ctg2α)(tg4α+ctg4α–1)=11·(119–1)=1298.1.4.D08.а) Тогда 2sin7x=sin2x+sin12x; 2sin7x=2sin7xcos5x;cos5x=1; 5x=2 π k, k ∈ Z; x=2πk , k ∈ Z; или sin7x = 0; 7x = πn, n ∈ Z;5tg70x=tg(28 π k)=0, k ∈ Z; 70x = 10πn и tg70x = 0.45б) Тогда 2sin6x=sinx+sin11x; 2sin6x=2sin6xcos5x;cos5x=1; x=2πk , k ∈ Z; tg120x=tg(48 π k)=0, k ∈ Z или sin6x = 0; 6x = πn,5n ∈ Z; 120x = 20πn; tg120x = 0.1.4.D09.а) Тогда cos28x=cos2x·cos14x; cos28x= 1 (cos16x+cos12x);21cos 8x= (2cos28x–1+cos12x); cos12x=1; 12x=2 π k, k ∈ Z;2πx= k , k ∈ Z; tg24x=tg(4 π k)=0, k ∈ Z;611 1б) Тогда cos27x=cos5x·cos9x= (cos14x+cos4x)=cos27x– + cos4x;22 2πcos4x=1; x= k, k ∈ Z;22tg8x=tg( 4πk )=0, k ∈ Z.1.4.D10.
а) Тогда sin24x=sin3xsin5x=–11(cos4x–cos2x)=– (1–2sin24x–cos2x);22cos2x=1; 2x=2 π k, x= π k, k ∈ Z; tg4x=tg4 π k=0, k ∈ Z;б) Тогда sin28x=sin4x·sin12x=–=–1(cos16x–cos8x)=2π1(1–2sin28x–cos8x), так что cos8x=1; x= k, k ∈ Z;24tg20x=tg5 π k=0, k ∈ Z.1.4.D11.а) (sinα+sinβ)2=sin2α+sin2β+2sinαsin β=2;(cosα+cosβ)2=cos2α+cos2β+2cosαcos β=1;2+1=3=2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=2+2cos(α– β),cos(α– β)=3− 2 1= ;22б) cos (α+β)=cos αcos β–sin αsin β((sin2α–2sin αsin β+sin2β)+(cos2α+2cos αcos β+cos2β)=(–1)2+ − 3)22+2cos(α+β)=4cos(α+β)=1.1.4.D12.а) (sinα–cosα)2=1–2sinαcosα=13, sinαcosα= , тогда48sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2–2sin2αcos2α=1–2(sinαcosα)2=1–19б) (sinα–cosα)2=1–2sinαcosα= , sinαcosα=4;9sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2–2sin2αcos2α=1–2(sinαcosα)2=1–469 23= ;32 3232 49= .81 81§ 5.
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