alimov-10-gdz-2007 (546275), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Доказкгь, что сумин Оси.- . >В Я,+2(Я,+Я,+...+Я.+...) равна дь. г Расстолвию ст пснтРа пеРвой ок- Рм 1 ружносги ло вершины угла. Решение:рассногриндвапослсдоватсльиыхрадиуса Я, и Яга.Впрвыо- угольной тралении А,О,Огн Ага опустил высоту ОьлВ, тогда в прячоупяьнон треугольнике ОгчВОг АОгОьнВж30', ОгчОь =Як+Я„а н 1 1 О В=Я, -Я„,,те. Я, — Ягн =-(Я, +Ягч), откупа Яга =-Я,, те. Я, 2 3 образуют бесконечную убывающую геоыегрическую прогрессию со зна- Я нсиатсзеы 9= —. Я +Я,+...= — = —. Расстолние А,О=2Я, (т.к.
3 3 ' 1-Г!гг 2 ЛАгАО=ЗО'),кроыетого, Я,+2(Я,тдг+ )=Я,+2 — '=2Я,,чтд. 04. Арифыетический лорень натуральной степени Свойства (н,жеМ 1 л?2, ю?2): Г.(ггаЬЬ=()а(ггЬ;а,Ь>0; 2'.)~ — = ;а>О,Ь>О; Г "Га ' ))ь 4ь' 3. 1!(Га)" =()а"; а>0; 5'. т((аз' =)г(! Ь? 1, ае К; 27. 1) 1; 0; 4; 0,9; 13;— 17 3)0; 1;2; —; —;0,2. 2 4 3 5 26.
В угол, рваный 60', последовательно вписаны окружности, касаюшнесл друг друга (рис. 1). Радиус первой окружности рамн Я,. Най- 4'. (ггтыа =чена; а>0; 6, "тиа =(Га"; а>0, Ь>1. 2) 1; 0; 5; †; О,З; 0,4. 1 3 13 94. Арнфметнчеслнй сорель натуральной стененн (УЬУЬ 39-43) )аЬ / с /Ы ас лг; 3] 1! —.11 — =7) —.— =1!а =а. с Ь с Ь з) !)3- =.! — =з/ —, =-.
4) ~7 — =~ — = — л 40.1) ч/324 чГ4=~ — 1/В! =3. Г324 ° 4 Г128 Гй 4 2) 528:4/2000 =э~ — =~~ — = — =0,4. )оооо ааааа ро 4) — =1 — =1/32 =2 К256 Бб ЧГВ ')! В 3) -" = ~ — ЧГВ = 2. Ч/)6 1!б 42 12 5) ) /25-./45~/.Гз= — ~- — ~-= ГЗ- Гр=,Г5-3, 6) (~/625-'Г5/:4Г5= — -1=~/ — -1=8/!25-1=4, 1 К625 Г625 (Г5 5 !В!ллу 4!. !) 1Га'ь':ч/аь' =7) — =аь, 2) ',~В!к у:ч/3 у = — = зл 42.1) ~Ч/7' =Ч/7' =7. ЧЗ 3 3) ~ф32/ ='~(2'/ =%)ггн =2.
4) $/!6 = = — !!25 1 1 1 ф/!Ьс/ 9!о Ч/4л 4З. !) т/0729 ='/729 =!/Зл =З. 2) ~~~~~4 = 0!Юг~ ='агн =2. 3) Я94Ъ'=1/9 75' =~/9 3' =ЧГзт =3 Глава 1. Дсйствитсльиыс числа !№№ 44-47) 14 4) 4/О '/5' = 45т 4Р = '45а = 5. 44. 1) ()/х/ =х'. 2) ()/у ~ =! 3) (/а. /Ь/'= 'Ь*. 4) ~)/и™ъ/Ьг ~ = (аг / (Ь ) = а Ь' . 5)~ т/ча'Ь ='("/а~~~) =агЬ, 6) Д27а' ='(т)гга'/ =~27аэ =За 45. При каких х имеет смысл выражение: 1) тБ -3 . Решение: корень четкой степени су пи ствуст талька у иеотри- пвтельнык чисел те.
2х-з>О.Отсюда «Д Зг . Ответ: х> Згг, 2) Й+ 3 . Решение; корень четкой степени существует только у иеагрипвтельных чисел, те. «+3 > О. Отсюда .т > 3. Ответ: х > 3. 3) игл -х-1. Рещение: король четной степени сущсствуегтолыюу иеотрипательиых чисел, те. 2х — х — 1> О, (2х+ 1)(х-!) > О. Отсюда х<-0,5, х>1.Ответ: х5-0,5, х>1. Гг-3 4) г/ — . Решение: корень четной атспсии существует талью у лсотри- 1) гх-7 2-Зх /г-ЗхгО /г-Зх<О шмсльиых чисел, те.
— > О. Тс. или ~ . Первая 2х-7 )гх-7>0 )гх-7<0 система решсиий ве имеет, иэ второй системы получаем: 2~ < х < 2 . ' хЗ Ответ: ггх <к<2. .е) .ш Ь<гг.й+ю7:Р)=игл "%= ,г г) (/Зт,/5-т/3-,/5 ~ =Зт,/5-2/Зь,/5 т/3-,/5+3-,/5 =Ь-г /9-5 =2. тг 3) (/Зт./21+э/5-Чг) (=5+/2)чгт/5'-(/21/'+5-чгг)=!0+2/25-21=!4 )/499Д/П2,~49 П2,~49.7 8 7 2 /250 )/ 250 )/ 125 5 4/5 1 5 64. Арифмстнчесвий парень назуразьной степени (№№з 48-51) 15 3) тт/27'-7/(/64 =8/)6+)/27-8/6) =2+3-2=3. :/2 4) з(3-+1/)8' 4--т)з/256 =зз — +'(!8 — — Гб= — тЗ-4 =05.
8 )! 2 1 8 )! 2 2 зй-ш 67.Я-Д:ш) ш)-шст.'ш.. в! -шрз ю-б -л) .Щ.67:Б-птсн. зтш4м Лт.Я7 >Ю=за'РР.Р=, . в ВЗ -ВРР'4РР-й~'' ГРР =В<Р7- 49. 1) Ц/нзиз +~3)зз/пз ='/оз т) )/оз ) из+из Зр зз 2)~/ох'~ е((/чх~ =')/ /т2Щ= +2 =Зх 3) (/8х"14' -(з/у' ( =(/хзузз- те = »*- уз =О. зз в ((влс) -$ з/УР.(м.-вз) и=.- . /ЗО/9 413'.8/(Зз / 3'.3' / з 1/3 1/з М 3 1/7 1/343 мб7' РЯ'~ Ф Я 3) ()/9 ь'/6+4/4$/3 )/2)=з/27+(/)8+)/)2 з/18 )/)2 (Г8= = зт)27 — зз/8 = 3 — 2 = 1 51. Упросппь: 1) (/(х-21" ирна) х2216) х< 2.
Решение: )/(х-2) =х-2,тшворсньнечетнойстепени.Ответ:а),б) х-2 2) т)(3-х) прив) х53;б) к>3. Решение: з/(3-х)з =!)(3-х)о(1= ((3-х)з прил<3 а) 13-х)' , Ответ: ((к-3/з при х > 3 б) (х-3)'. 3) (/(хтб)'+3/(х-З)з,если — 1<в<2. Решение: (/(хтб) +т/(к-З~ =)хтзбе)х-3)=к+6-кт3=9,!во<кольку Глава!. Действительиме числа (Дт)а 52-54) 16 х+6>0, х-3<0 при -! <х<2.Ответ:9.
4) (/(2те!)ь -)Г(4ьх)з,если -3<х<-1. Решеиие: з/(2хч))ь -ф44ех =12х+1~ — )4+х(= — 2х-1-4-х=-Зх-5, тк. 2х+1<0, 4+х>О при -3<я<-1.ответ: -Зх-5. 52. Сравнить значения выражений: 1) ГЗт)/30 иЧбЗ.Решеиие: ГЗеч30 /)е)/27=4,а(/63<7/64=4, те..ГЗ+ФО > )/63, Ответ: .ГЗ+ )/30 > зГ63 . 2) Указаиие: сравните квжлое число с числом 6. 53.
Доказать, что: 1) з/4+ 2зГЗ вЂ” /4ч2 /3 = 2. Решсиие: преобразуем левую часть: зГаьззГ3-з/442зГЗ=Д+ Гз/-1/(1- Гз/ =2,чтл. 2) (/94- /80 ч()9-зГ80 = 3. Решение: ореобразусм левую часть: 72+ 32.Г5 72 "32зГ5 (/9+ /80 0+~~9 — /80 =(ГО+4 Г5+~~9 — 4зГ5 =з)~ — ьз)( 8 !) 8 =-',/72+32Г5+-'(/72-32Г5=-'(/(3+я~+-'Д-Л~ =З,чтл.
,, Х- т и+та )Д-~Я Я Ги П )Ге-)ГЬ 7/ ь.ГЬ й-:Гь )Гав(ГЬ =:Г.:Гь /" " 'Гь =:Г;.Гь .Г=.ГЬ. )/а+5/ь 2) Указаиие: ось=(1/се)ГЬ'(1/пз 81/оьч)ГЬ')/ 3) Указаиие: а+Ь = ()Га+'Гь ()/и' -)/об+)/Ь' ~/. йй. Степень с рацноналы!ым н дейстантельпым показателем е' =з/е прис<О, л<2, те 2. Свойства (о>О, и22, шеЕ, рееК ): м 1. а" =а'; 2'. ахат =а'"т! 4'. (ах~'=ам; У х.дт ех.ч. Глава!. Дсйствитсльныс числа )и' Уб 62-66) !а 3 1 ! ~ ~ т 62. !) а' ч)а =а' ат =аз з =а' 3 3 1 ! 3> ЧЬ:Ьь = Ь) ' = Ь' . 1 ! ! 2> Ь!.Ь!.)/Ь =6! ' ' =Ь. 4 т 4) из ')Га=а! ' =а 63.1>хУз+ = Хт)1 хХт>. 2) !аЬ))т+(ас)Х =аХЬХ+аХс!' =а)'(Ь)'+сХ) . 3) уХ-уХ =уХ(у)! Х -!)=уХз(у $2 -1) 4) Указание: вынесите заскабки 3т 'у '. 64. 1) аХт-ЬХ =(ать~ -(ЬУт) =(аХ вЂ” Ь)т~аХ+ЬХ~.
3) а '-Ь з=(аХь~ -(ЬХь =(аХ-ЬХь~а)т+ЬХь). 4), у=(хУт) (уХт) =(хХз-уХз~хХ+уХ~. 5) 4аХт ЬХ =(2а'т) (Ь)т) (2рХ Ьтт~2аХ+ЬУт) 6) 001тХ вЂ” лХ =(О!лтХт) -(лХт~ =(01лтХз-лХ-~(0!аХт+иус) б5. !) Указание: а-х=(аХ~ -(х з)! . 2) Указание х>' — уХ =(х'з ~ -(у)з ~ .
3) Указание: а~з-ЬХ =(а~к) -(ЬХь~ . тз т тз 4) Указание: 27а+сХ =(За)з ~ +(с'ь) . , ...,,, ~ФДР~' ~~-Р)'у,Ф) '-ЬХ,Х-ЬХ "-ЬХ ~-ЬХ 2)Ушшниег т+2)тп+и=')и '+и г) . 3) Указание: с-2с)'+! = (г/с -1) . 67. сйг сб)г 2 -4 Ь ,Х ф ~Х,)! с' — с)'Ь)э + с) гб'г + сЬ+ 2с' — 4сЬ Зс' — ЗсЬ Зс(с-Ь) -Зс.
с-Ь с-Ь с-Ь ЬВ. !) 2'1 2 к7 = 2 2) Згзг г971 =Зьб 'б =1 4) (0,5 ') =0,54™б = )2! 1б 3) Рг7) =5~1 ' =5' 125. б9. 1) Указание: 8'гг = 2ь'г . 3! Рн") =5)'"')'~1)=5' ' 2) Ук ггис: 991 = Згег. /5 ' 4) ~~ ~~ -(г)5) =5)- ги"г 1-5г-г 1-5-' 1- 76. 1) Указание: 4<7 = 2г"' . 2) Указание: 27б = Зг'1. 3) 9г.,~1 Зг9бг 3-г4бг Зг(нсг) Зьбг З-г-,б Зг г" 1.г-бг-г-бг 3 4) 4мк' 2' 5. 2~ ~г = 20"~)' " ~ ~' = 2' = 8. 7!. !) у ис: !огмб -2г'б-5м"' 2) Ущэагше.
бг,В Зг+г) 2нгг 3) Указание: 25н)' = 5"'~1. 4) Указаписг 4~1 ' = 2г"1' 72. Вывсггить, какое из чисел больше. 1) 3 " или 3 и. Решснисг Г71 > )б99: 3 >1, следовательно Зкн > 3 ". 2) ~-~ или (-( . Решение: г)З > /21 — <1,значит (-~ <~-~ 3) 4 ' нли 4 '.Решение: -г)3<-гГ214>1,следовательно 4 г <4 4) Указание: г)3 >1,7. 85. Степень с раниональным и действительным показателем )№ 67-72) 19 20 Глава 1. Действительные числа 1№ЗСз 72-78) 5) Указание: 1,4 <з)2.
6) Укшаннс: н >334. 73.!) 2 '. Решенне: 2 =-<1 Ответ: 2 ' <1. 4 2) (0,013) . Решенне: (0,013) ' = — >1. Ответ: (0,013) >1, 13 3) Н . Решение: Н <Я =1. Ответ: Н <1. 4) 27'з. Решение: 27ьз >! ы =! . Ответ: 27ы >! . 5) 2'Гз.решение: 2 'Гз =()зз)б, ()2) <Я<1.Ответ: 2 зз <!.
б) Я . Решенно: Ы <Я <1.Ответ: Я <!. 7)Указание: — <!и <5-2>0. 8)Укивнне; -<1 и з)8-3>0. а г 1 4 3 74 1) а"' а' ез =аз)а "' =а 6-з збч,б.нсзз+з >Гз З))Ьбз)б Ьз=ЬЗ'-~зЬ Ь- -Ь 75.!) Указание: сравните чнсла 2)з н 3)(, аналогнчно 72 и.1). 2) Указанне: сравните числа 5Дз н 7)з, аналогично 72 и.!). 76. 1) ~ — +8!000!)н-) 7 — =В)!6) +ВГВ!0000-з)) — =В+Зо — =365 (16! ( 32~ ))Зз 2 2) (0001) з-2 з,б4з В з 2 ' з 2; зз Рз зз ! 1б з 3) 27'-(-2) + 3 3 з з+ =9 + 9 В~ 2 )27~ 4 3 12 з 77.!) (а') '(Ь ~ =и 'Ь = — 2) (=з) = [-'з~зз =а Ь.
78.!)Указание; вынесите звсксбку а )з вчвслнтелеи а ' вэламенателе, аналогнчно 2). 85. Степень с рвнлонааьным и действительным показателем 1№ 79-82) 21 ЬУ» (ГЬ2 ~~ч ьХ ЬХ ь-Х у у 2) »- ь 'ь '(ь-!) 1. ЬУ»()Гь-~~~=~) ь~ьХ-ь Х) ЬХЬ У(ь-!) аУЬ '-а Х аа УУ»Ьь зЦ'-1)2 (аз -Ь2) ~Ы-Ь~ (Д !)Ьз 'з ЬУ» аУ»)~ Уз ЬУ») аЬ аУ»ЬУ» 4) Укамние» вынесите за скобку а 'ЬХ в числителе. 20 !) (2Уз 2 У'-5Х.2 У) (Гб =(2 з.ь Уз-5Х.2 У) )Х 2Х = 2»-5' =-5 2) Уюзаниез ««Г!000 = 2У . 5У, аналогично 1). з 2) Ь!4М =Ьй»4Ь'Ь=» Ь Ь Ь =45. !»»»»)з ° 'з 5) (!Гаь з ь(аь) з аьз ззь з + зь з з! з зьс+ Оьз Га+ Гь Х й!.1)У мани: 1-2)1-+- = — ! » аУ» + ЬХ 2) Указание: 2 — ((-+з~ — = ~ — — — )-, (»»)Ь 1а! аУзьУз У- Х« ьУ-ьХ аУ»(1-а») ьХ(з-ь') аУ'-аХ Ь)з+Ь-Уз аХ(1-а) Ь У(Ь+!) «Га-а Уь «Га — а Хь аХ вЂ” а Хь аУ вЂ” а Уь 4) — и= 1-4а Ь «»Го+а Х Гь 1-а ХЬ)з а '+а УЬХ У(-ь) .Х(-ь) ( Х,Х) ( Х ЬХ),д а-Уз У* ЬУ») аХ(аХььХ) 82.
1) Указание: са«рвтптс;цзобь на (им)б . 2) Указание: сократите дробь на (зу) ' . 3), 4) Указании воспользтйтесь формйчой разности квадратов. Глава!. Действительные числа !№!Ь 83-88) 83. 1) угь'Гт) = ат'"78 "гт) = а' ' = ~)гг 1- 75 11-т)51 3-тГ5 2) Указаииш— 1ьт)5 -4 2 3) )а"" '! . Решенно: по формуле суммы кубов получаем: (!Г2т)/3$Г4-Й+т4)9)=(чГ2) +(т~)3) =5,значит (и"г'К') =и'. 4) Уыпанис: воспользуйтесь формулой разности кубов. 84. 1) 5 * =5'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
