zvalich-gdz-7-2003 (542438), страница 21
Текст из файла (страница 21)
– стоит блокнот, 3х р. –стоит открытка. Тогда:; х + х + 300 + 3х = 600;5х = 300; х = 60 (р.) – стоит конверт;60 + 300 = 360 (р.) – стоит блокнот;3 · 60 = 180 (р.) – стоит открытка.5. (a – x) (a + x) – b (b + 2x) – (a – b – x) (a + b + x) = 0;a2 – x2 – b2 – 2bx – (a – (b + x)) (a + (b + x)) = a2 – x2 – b2 – 2bx – a2 ++ (b + x) 2 = a2 – x2 – b2 – 2bx – a2 + b2 + 2bx + x2 = 0.1876.
Речь идет о точке (а; –а) , которая лежит на прямой у = –3х + 10, т.е.–а = –3а + 10; 2а = 10; а = 5 (5; –5);Ответ: (5; –5) .ВАРИАНТ 4ИК – 21. а) –7х4у7 · (3ху2) = –21х5у9; б) (–2a5b) 3 = –8 · a15 · b3 = –8a15b3.2. 2 (3 – 2х) = 3х – 4 (1 + 3х); 6 – 4х = 3х – 4 – 12х; 5х = –10; х = –2.3. а) 2х2у + 4ху2 = 2ху (х + 2у);б) 100а – а3 = а (100 – а2) = а (10 – а) (10 + а).4. Пусть х деталей изготовила первая бригада, тогда (х + 5) деталей изготовила вторая бригада и (х + 5 – 15) деталей изготовила третья. Тогда:х + х + 5 + х – 10 = 100;3х = 105; х = 35 (деталей) – изготовила первая бригада;35 + 5 = 40 (деталей) – изготовила вторая;35 – 10 = 25 (деталей) – изготовила третья.5. (р + х) (р – х) – (р – х + с) (р + х – с) – с (с – 2х) = 0;р2 – х2 – (р – (х – с)) (р + (х – с)) – с2 + 2сх = р2 – х2 – р2 + (х – с) 2 –– с2 + 2сх = р2 – х2 – р2 + х2 – 2сх + с2 – с2 + 2сх = 0.6.
Речь идет о точке (а; а) , которая лежит на прямой у = –2х + 15,т.е. а = –2а + 15; 3а = 15; а = 5; (5; 5). Ответ: (5; 5).ЗАДАНИЯ ДЛЯ ШКОЛЬНЫХ ОЛИМПИАДОСЕННЯЯ ОЛИМПИАДАВАРИАНТ 11. Достаточно узнать, какой цифрой оканчивается каждый квадрат, инайти последнюю цифру суммы простым подсчетом.а) 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92;1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 = 2 (1 + 4 + 9 + 6) + 5 = 45 –оканчивается пятеркой. Ответ: 5.б) 942 + … + 1942 = 942 + (1902 + 1912 + … + 1942 + 952 + … + 992) ++ (1002 + 1012 + … + 1092) + … + (1802 + … + 1892).Каждое выражение в скобках оканчивается той же цифрой, что исумма в задании а) , т.е.
пятеркой. Выражений в скобках 10 штук, т.е.их сумма оканчивается нулем (10 · 5 = 50) . 942 оканчивается 6.Значит, вся сумма оканчивается 6 + 0 = 6 шестеркой. Ответ: 6.2. 2 $ 89 центов – это 289 центов. 289 = 17 · 17 = 289 · 1Пусть n сувениров и каждый стоит k центов.Т.е. n · k = 289 = 17 · 17 = 289 · 1;188По условию n и k – натуральные и n, k > 1.
Значит, n = k = 17;Ответ: 17 сувениров.3. V1 = 600 : 6 = 100 (м/мин) – скорость Васи;V2 = 600 : 3 = 200 (м/мин) – скорость Коли;а) Пусть они встретились через t минут.Тогда: 100t + 200t = 600; 300t = 600; t = 2 (мин);Ответ: через 2 минуты.б) Вася будет на старте снова через 6 мин., а Коля за эти 6 мин. пробежит 2 круга и окажется на старте, значит, они встретятся в этот момент. Ответ: через 6 мин.4. а) Можно. Ответ изображен на рисунке.б) можно. На каждой соответственной клетке второй доски запишемчисло, которой в сумме с первым дает 101;1 – 100;2 – 99;3 – 98;…….50 – 51;51 – 50;…….99 – 2;100 – 1.5. Например: Юлий Макарович Кенапрычев.ВАРИАНТ 21.
а) 12 + … + 92 – оканчивается 5.Смотрите доказательство в 1–ом варианте.б) 972 + … + 1972 = 972 + (1902 + … + 1972 + 982 + 992) + (1002 ++ … 1092) + (1102 + … + 1192) + … + (1802 + … + 1892)189Каждое выражение в скобках оканчивается той же цифрой, что исумма в задании а) , т.е. пятеркой. Всего таких выражений 10 штук,значит, их сумма оканчивается нулем (5 · 10 = 50) . 972 оканчивается 9.Т.е. вся сумма оканчивается 9 + 0 = 9 девяткой.Ответ: 9.2.
Пусть у Пети n друзей и каждому он подарил k марок.Т.е. n · k = 361 = 19 · 19 = 361 · 1По условию n и k – натуральные числа, n < 200, и n > 1Значит, n = k = 19Ответ: 19 друзей.3. а) Видно, что у Коли скорость в 2 раза больше, чем у Васи. Следовательно, Коля догонит Васю. Через 2 мин. Коля пробежит целый круг, аВася полкруга. Значит, через 4 мин. они встретятся в первый раз настарте, при этом Вася пробежит 1 круг, а Коля 2 круга.Ответ: Коля догонит Васю через 4 мин.б) Из а) следует, что через каждый 4 минуты после старта Коля сВасей будут встречаться на старте. Если первой встречей считать, когдаребята находились на старте в момент отсчета времени, то 10-ая встречапроизойдет через 36 мин.:2 встреча через 4 мин;3 – через 8 мин;………10 через 36 мин.Ответ: через 36 мин.4.
а) Нельзя. Если бы было можно, то в этих 28 фишках 28 белых и 28черных клеток, но мы из доски удалили 8 клеток одного цвета, поэтомучерных и белых клеток осталось неодинаковое количество, значит,нельзя вырезать 28 фишек.б) Можно. На каждой соответственной клетке второй доски запишем число, которое в сумме с первым дает 651 – 64;2 – 63;3 – 62;……30 – 35;……32 – 33;33 – 32;……64 – 1.5. Например:Девежова Федора Геннадьевна.190ВЕСЕННЯЯ ОЛИМПИАДА.ВАРИАНТ 11. На первое место в двузначном числе мы можем поставить 8 чисел(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) , кроме нуля и единицы.
На второе место можем поставить 9 чисел, любая, кроме единицы. Значит, таких чисел существует (двузначных) : 8 · 9 = 72;Ответ: 72 числа.2. а) (х + 1) (х14 – х13 + х12 – х11 + … + х2 – х + 1) = х15 + х14 – х14 – х13 ++ х13 + х12 + … – х + х + 1 = х15 + 1;б) Пусть х = 1989, тогда из а) имеем:198915 + 1 = (1989 + 1) (198914 – … + 1) = 1990 · (198914 – … + 1) , но1990 делится на 995, 1990 = 2 · 995.3.
8 бубликов и 7 пирожных, либо;5 бубликов и 8 пирожных, значит,3 бублика стоят как одно пирожное.Следовательно, Петя смог бы купить 8 + 7 · 3 = 29 бубликов.4. а) На каждой стороне квадрата расположено 16 таких точек, значит,всего на 4 сторонах точек 16 · 4 = 64;б) Внутри: (1; 1) … (1; 15).(2; 1) … (2; 15);…………(15; 1) … (15; 15);Т.е. всего 15 · 15 = 225 точек.в) 4 точки: (0; 0) ; (1; 2) ; (2; 4) ; (3; 6);Напишем уравнение прямой, содержащей отрезок ОР, т.е.
прямаяпроходит через О (0; 0) и Р (3; 6);⎧0 = k ⋅ 0 + b ;⎨6 = 3k + b⎩⎧b = 0 ; у = 2х;⎨k = 2⎩Точки, которые указаны выше, лежат на у = 2х и никакие другие сцелыми координатами не лежат, т.к. 0 ≤ х ≤ 3.г) Напишем уравнение прямой, содержащей отрезок ОМ⎧0 = k ⋅ 0 + b ;⎨61 = 31k + b⎩⎧⎪b = 061x;⎨k = 61 , т.е. y =31⎪⎩31Рассмотрим точку (a; b) , где а и b – целые числа, которая лежит нанашей прямой, причем 0 ≤ а ≤ 31 (чтобы точка лежала на ОМ) .Значит: b =61a;31НОD (61, 31) = 1, 31 – простое число. Видим, что а и b могут бытьлибо а = 0, b = 0, либо а = 31, b = 61;Ответ: 2 точки, (0; 0) , либо (31; 61) .191ВАРИАНТ 21.
На первое место в двузначном числе мы можем поставить 5 чисел(1, 3, 5, 7, 9) , на второе тоже 5 (те же числа) . Значит, таких двузначныхчисел существует 5 · 5 = 25.Ответ: 25.2. а) (х – 1) (х14 + х13 + … + 1) = х15 – х14 + х14 – х13 + … – х + х – 1=х15 – 1б) Пусть в задании а) х = 1989, тогда:198915 – 1 = (1989 – 1) (198914 + … + 1) = 1988 · (198914 + … + 1) , но1988 кратно 994, т.к. 1988 = 2 · 994.3. 7 бубликов и 3 пирожка, либо;5 бубликов и 4 пирожка, значит;2 бублика стоят столько же, сколько 1 пирожок, т.е. бублики в 2 разадешевле пирожка, т.е. бублик составляет половину цены пирожка, значит, цена бублика составляет 50% цены пирожка.4.
а) у = 100Будем рассматривать точки (2р; 100) , где р – простое число. Этиточки лежат на прямой у = 100 и удовлетворяют условию (HOD (2р;100) = 2) , если р > 5.Т.к. простых чисел бесконечно много, то и таких точек бесконечномного.Ответ: бесконечно много.б) Точка, принадлежащая прямой у = 5х, имеет координаты (х; 5х) .Если х – натуральное число, то наибольший общий делитель чисел х и5х равен х.
Известно, что наибольший общий делитель равен 2.Значит, условию задачи удовлетворяет только точка (2; 10) .Ответ: одна точка.в) Рассмотрим точки (х; у) , удовлетворяющие условию.х = 2, то у = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14;х = 4, то у = 2, 6, 10, 14;х = 6, то у = 2, 4, 8, 10, 14;х = 8, то у = 2, 6, 10, 14;х = 10, то у = 2, 4, 6, 8, 12, 14;х = 12, то у = 2, 10, 14;х = 14, то у = 2, 4, 6, 8, 10, 12;Подсчитаем: всего точек 35.Ответ: 35.г) Если выполнить четвертое задание в первом варианте, то на отрезке ОМ лежат только две точки с целыми координатами, это (0; 0) и(31; 61) .
Но так как в нашей задаче координаты должны быть натуральными числами, HOD которых равен 2, то (0; 0) и (31; 61) не подходят. Поэтому таких точек нет на отрезке ОМ.Ответ: таких точек нет.192.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
