1612042158-90530c46b2b5f80327459be4208f8d97 (542303), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Оно аналогично доказательству теоремы 1. Так как(v(l), n(l), b(l)) ортонормированный базис при каждом l, то, в частности, длины этих векторов сохраняются, а, следовательно, производнаякаждого из этих векторов ортогональна ему и поэтому v0 a12 a13vd n  =  a21 0 a23   n  .dlba31 a32 0bОсталось заметить, чтоd(v, n)= a12 + a21 = 0,dld(n, b)= a23 + a32 = 0,dld(v, b)= a13 + a31 = 0.dlПо определению n мы имеем a12 = k и a13 = 0.

Полагая κ = a23 , мыприходим к уравнениям (5). Теорема 3 доказана.Величина κ, входящая в (5), называется кручением кривой γ. Этотвыбор термина так же имеет под собой веские основания:Задача 2. Пусть k > 0 и κпостоянны. Тогда винтовая кривая γ(l) =√(R cos(λl), R sin(λl), µl) при λ = k 2 + κ 2 , a = −κ/λ и R = k/λ2 натуральнопараметризована, ее кривизна тождественно равна k, а ее кручение тождественно равно κ.Имеет место и аналог теоремы 2:Теорема 4 1) Пусть k : [0, L] → R и κ : [0, L] → R гладкие функции,причем функция k положительна. Тогда существует гладкая криваяγ : [0, L] → R3 , кривизна которой равна k(l) и кручение которой равноκ(l).2) Пусть γ1 : [0, L] → R3 и γ2 : [0, L] → R3 натурально параметризованные бирегулярные кривые и их кривизны и кручения совпадают:k1 (l) = k2 (l), κ1 (l) = κ2 (l) для всех l ∈ [0, L].

Тогда существует такоедвижение ϕ : R3 → R3 , сохраняющее ориентацию, что γ2 (l) = ϕ(γ1 (l))для всех l ∈ [0, L].9Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 2.§4. Группа ортогональных преобразований как гладкоеподмногообразие евклидова пространстваУравнения Френе (3) и (5) выводились из того, что скалярные произведения между векторами, входящими в реперы Френе, сохраняются.Мы сделаем сейчас краткое отступление, посвященное ортогональнойгруппе и вывод этих уравнений с общей точки зрения.Линейные преобразования A : Rn → Rn векторного пространстваnR , сохраняющие скалярное произведение (1), называются ортогональными. Следующая лемма очевиднаЛемма 3 Множество ортогональных преобразований образует группу(ортогональную группу O(n)) относительно операции обычной композиции: A · B(v) = A(B(v)).Множество линейных преобразований A : Rn → Rn отождествим смножеством (n × n)-мерных матриц следующим образом: пусть e1 , .

. .,enортонормированный базис в Rn , тогда матрица A = (ajk )1≤j,k≤n взаимно однозначно отвечает преобразованию, действующему на базисныхвекторах по формулеnXajk ej .A ek =j=1Лемма 4 Линейное преобразование ортогонально, если итолько если задающая его матрица A удовлетворяет уравнениямA∗ · A = En ,(6)где A∗ — транспонированная матрица A (a∗jk = akj ) и En — единичная(n × n)-матрица.Доказательство. Запишем скалярное произведения (1) в виде произведения матриц (здесь мы записываем векторы как (n × 1)-матрицы):(v, w) = v ∗ · En · w.Тогда(Av, Aw) = (A · v)∗ · En · (A · w) = v ∗ · A∗ · En · A · w = v ∗ · (A∗ · A) · w10и A ортогонально, если и только еслиv ∗ · (A∗ · A) · w = v ∗ · En · w для всех v, w ∈ Rn ,что эквивалентно (6).

Лемма 4 доказана.Рассматривая матричные элементы ajk как координаты в n2 -мерномпространстве, отождествим пространство (n × n)-мерных матриц с n2 2мерным евклидовым пространством Rn . Ортогональная группа выделяется в нем n(n + 1)/2 полиномиальными уравнениями (6):Fjk (a11 , . . . , ann ) − δjk =nXm=1amj amk − δjk = 0,1 ≤ j ≤ k ≤ n.(7)Напомним теперь теорему о неявной функции (cм., например, [3]):Теорема о неявной функции Пусть F : U × V → Rn гладкое отображение прямого произведения областей U ⊂ Rn и V ⊂ Rk с координатами x и y, соответственно, в Rn . Пусть F (x0 , y0 ) = 0 и в (x0 , y0 ) ∈ U × Vматрица∂F j(8)J=∂xm 1≤j,m≤nобратима.

Тогда существует такая окрестность W ⊂ U × V точки (x0 , y0 )и такая окрестность V0 ⊂ V точки y0 ∈ Rk , что1) в V0 определены гладкие функции ψ1 , . . . , ψn ;2) F (x, y) = 0 для (x, y) ∈ W , если и только если x1 = ψ1 (y), . . . , xn =ψn (y).Из теоремы о неявной функции следует, что в окрестности точки(x0 , y0 ) множество нулей отображения F устроено как график отображения V0 ⊂ Rk → Rn и поэтому точки этого множества гладко параметризуются точками области из Rk .Теорема 5 Пусть M подмножество евклидова пространства Rn+k .Тогда следующие условия эквивалентны:1) в достаточно малой окрестности каждой своей точки M задается как график гладкого отображенияx1 = ψ1 (xn+1 , .

. . , xn+k ),(9)...nx = ψn (xn+1n+k,...,x)(после подходящего перенумерования координат x1 , . . . , xn+k );112) в достаточно малой окрестности каждой своей точки M задается как множество нулей гладкого отображения F : W ⊂ Rn+k → Rnтакого, что в этой окрестности матрица (8) обратима (после подходящего перенумерования координат x1 , . . .

, xn+k ).Доказательство. Из теоремы о неявной функции следует, что условие2 влечет условие 1. Обратное тоже верно: зададим F формулами F 1 (x) =x1 − ψ1 (xn+1 , . . . , xn+k ), . . . , F n (x) = xn − ψn (xn+1 , . . . , xn+k ). Теорема 5доказана.Подмножество M , для которого выполнено любое из двух эквивалентных условий из теоремы 5, называется k-мерным гладким подмногообразием (без края) Rn+k .Пусть в окрестности точки x ∈ M подмногообразие M задается какграфик отображения (9). Тогда y 1 = xn+1 , . . . , y k = xn+k задают локальные координаты в окрестности x и функция f на M называется гладкойв точке x, если она является гладкой как функция от локальных координат: f (y 1 , . .

. , y k ). Аналогично вводится понятие гладкости и для другихобъектов на подмногообразиях и, в частности, для векторных полей.Пусть M является k-мерным подмногообразием Rn+k и x ∈ M . Рассмотрим множество всех гладких путей на M , проходящих через точкуx и лежащих в ее окрестности, задаваемой формулами (9). Каждому такому пути γ сопоставим его вектор скорости в точке x: v = dγ(t0 )/dt, гдеγ(t0 ) = x. Множество таких векторов образует касательное пространство к подмногообразию M в точке x.Лемма 5 Касательное пространство к k-мерному подмногообразиюM ⊂ Rn+k в любой его точке является k-мерным векторным пространством.Доказательство.

Любой путь γ на M , проходящий через x, являетсяподнятием пути γ0 : [a, b] → Rk с помощью (9). Поэтому вектор скоростиdγ/dt имеет вид dγ0dγ0dγ0dγ=B= Ψ∗,,dtdtdtdtгде Ψ∗ — дифференциал отображения Ψ = (ψ1 , . . . , ψn ). Линейное отображение B имеет максимальный ранг k и потому является изоморфизмом на образ: оно задает изоморфизм векторного пространства Rk иTx M . Лемма 5 доказана.12Существует и иное, эквивалентное, определение касательного пространства:Задача 3.

Если подмногообразие M ⊂ Rn+k определено в окрестности Wточки x ∈ M как множество нулей отображения F : W → Rn , то касательноепространство к M в точке x совпадает с ядром линейного отображенияF∗ : Rn+k → Rn : F∗ (v) = limε→0F (x + εv) − F (x).εКрасивым примером гладкого подмногообразия является ортогональная группа:Теорема 6 Ортогональная группа O(n) является n(n − 1)/2-мернымгладким подмногообразием n2 -мерного евклидова пространства, образованного (n × n)-матрицами. Касательное пространство TE O(n) к единице группы при этом совпадает с пространством кососимметричныхматриц.Доказательство.

Тождественное преобразование, задаваемое единичной матрицей En , является единицей группы O(n). В окрестности En ∈O(n) разделим переменные ajk на две группы: x отвечает j ≤ k, y отвечает j > k. Рассмотрим отображение2F : Rn → Rn(n+1)/2 ,задаваемое полиномами (7). Легко подсчитать, что в точке En ∈ Rnпри j ≤ k, r ≤ s 2 при j = r, k = s∂Fjk= 1 при j = r, k = s, j 6= k∂ars0 в противном случае.22Следовательно в окрестности En ∈ Rn матрица (8) обратима и так какO(n) выделяется уравнениями F = 0, то в окрестности En по теореме онеявной функции O(n) — гладкое подмногообразие.Если A ∈ O(n), то определим отображение FA по формуле FA (X) =F (X · A−1 ) и так как O(n) — группа, то O(n) также определяется уравнениями FA = 0.

Из определения FA следует, что ранг якобиана отображения FA в точке A совпадает с рангом якобиана отображения F вточке En и, следовательно, равен n(n + 1)/2. Отсюда заключаем, чтоO(n) является гладким подмногообразием в окрестности любой своейточки.13Так как n2 − n(n + 1)/2 = n(n − 1)/2, то O(n) — n(n − 1)/2-мерноеподмногообразие.Пусть γ гладкий путь в O(n), проходящий через En . Можно считать,чтоγ(ε) = En + Xε + O(ε2 ),где X ∈ TE O(n) — касательная матрица. Из (6) следуетγ(ε)∗ · γ(ε) = (En + (X ∗ + X)ε + O(ε2 )) ≡ En .Значит матрица X кососимметрична (X ∗ + X = 0) и так как размерность пространства кососимметричных матриц совпадает с размерностью O(n), то отсюда следует, что TE O(n) совпадает с пространствомкососимметричных матриц.

Теорема 6 доказана.Теперь вернемся к уравнениям Френе. Обозначим через R(l) реперФрене, отвечающий значению параметра l на кривой γ. Переход от R(0)к R(l) задается ортогональным преобразованием A(l), так как все этиреперы ортонормированы. Значит мы имеем гладкий путь A(l) в группеO(n) и столбцы матриц A(l) задают разложения векторов из R(l) побазису R(0). Уравнения Френе имеют видA(l + ε) · A−1 (l) − EndA(l)= lim· A(l) = B(l) · A(l),ε→0dlεгде матрица B(l) кососимметрична, так как она касательна к единицегруппы O(n).Задача 4. Пусть A кососимметричная (n × n)-матрица. Тогда абсолютносходящийся при всех t ∈ R рядexp(At) = En + At +1 2 21A t + . . . + An tn + .

Характеристики

Список файлов лекций