1612042158-90530c46b2b5f80327459be4208f8d97 (542303), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Теорема Гаусса при этом имеет глубокийсмысл — гауссова кривизна является (в отличие от второй квадратичнойформы) объектом внутренней геометрии.Если на подмногообразии евклидова пространства задана билинейная операция на векторных полях и для нее выполняются утверждения1 и 2 леммы 10, то говорят, что на подмногообразии задана аффиннаясвязность. Связность определяется величинами Γkij . Построенная намисвязность удовлетворяет двум дополнительным условиям: она симметрична, т.е. для нее выполняется утверждение 4 леммы 10, и совместна сметрикой, т.е. для нее выполняется утверждение 5 леммы 10. Мы укажем без доказательства следующий факт: симметричная и совместная сметрикой аффинная связность единственна и определяется по метрикеgij формулой (12).Понятие ковариантного дифференцирования приводит к понятиюпараллельного переноса: векторное поле v(t) вдоль кривой γ параллельно, если ковариантная производная v вдоль γ всюду равна нулю: idvDvi j k=+ Γjk v u̇ ri = 0.(13)∂tdtТеперь по аналогии с евклидовой плоскостью определим аналог прямойлинии: кривая γ называется геодезической, если ее вектор скорости параллелен вдоль кривой:Dγ̇= 0.∂tВажнейшие свойства геодезических описываются следующей леммой.Лемма 11 1) Геодезические — это кривые, удовлетворяющие уравнению(14)üi + Γijk u̇j u̇k = 0.2) Если γ(t) геодезическая и C ∈ R, то кривая γC (t) = γ(Ct) тожегеодезическая.3) Гладкая кривая γ на поверхности Σ ⊂ R3 является геодезической,если и только если в каждой точке кривой вектор нормали к кривойколлинеарен вектору нормали к поверхности.30Доказательство леммы 11 состоит в элементарных вычислениях.
Теперь укажем на одно важное следствие теоремы о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения ([6]).Лемма 12 Пусть x0 точка на регулярной поверхности Σ, v0 касательный вектор к Σ в точке x0 и γ кривая, проходящая через x0 : γ(0) = x0 .Тогда1) существует и притом единственное параллельное векторное поле v(t) вдоль γ такое, что v(0) = v0 ;2) для любого достаточно малого ε > 0 существует и притом единственная геодезическая γ : [−ε, ε] → Σ такая, чтоγ(0) = x0 , γ̇(0) = v0 .Доказательство.1) Уравнение (13) является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка и его решение полностью определяется начальными данными, т.е.
значением v в нуле: v(0) = v0 .2) Уравнение (14) является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, но на множестве пар вида (x, v), где x ∈ M, v ∈Tx Σ. В окрестности x0 такие пары параметризуются точками (u1 , u2 , v 1 ,v 2 ) ∈ R4 : x = r(u1 , u2 ), v = v 1 r1 + v 2 r2 .
Уравнение (14) принимает видu̇i = v i ,v̇ i = Γijk (u1 , u2 ) v j v k ,i = 1, 2.Теперь утверждение 2, как и утверждение 1, следует из теоремы о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения.Лемма 12 доказана.Пространство, образованное парами (x, v), где x ∈ Σ и v ∈ Tx Σ,называется касательным расслоением и обозначается T Σ.Лемма 13 Пусть Σ двумерное подмногообразие R3 . Тогда T Σ четырехмерное подмногообразие R6 .Доказательство.
Пусть (x0 , v0 ) ∈ T Σ. Мы можем считать, что в окрестности точки x0 поверхность Σ задается уравнением F (x) = 0 и(∂F/∂x1 , ∂F/∂x2 , ∂F/∂x3 ) 6= 0 в окрестности x0 . Без ограничения общности можем считать, что в этой окрестности ∂F/∂x1 6= 0. Тогда вокрестности (x0 , v0 ) касательное пространство выделяется в R6 уравнениями3X∂F jv =0F (x, v) = 0, G(x, v) =∂xjj=131(см.
§4, задача 3). Теперь лемма следует из теоремы о неявной функции,так как определитель матрицы ∂F/∂x10∂F/∂x1 ∂F/∂v 1=∂G/∂x1 ∂G/∂v 1∗∂F/∂x1отличен от нуля в окрестности (p, v). Лемма 13 доказана.Согласно лемме 12 на T Σ задан поток, т.е. задана система обыкновенных дифференциальных уравнений и все пространство расслаиваетсяна траектории этой системы. Укажем почти очевидный первый интегралпотока, т. е. величину, сохраняющуюся вдоль траекторий.Лемма 14 Если γ геодезическая, тоd(γ̇, γ̇) = 0.dtДоказательство.
Из утверждения 5 леммы 10 следует, что DDDd(γ̇, γ̇) =γ̇, γ̇ + γ̇, γ̇ = 2γ̇, γ̇ .dt∂t∂t∂tНо по определению геодезических Dγ̇/∂t = 0. Лемма 14 доказана.Задача 13. Геодезический поток на поверхностях вращения (см. задачи6 и 11) имеет еще один первый интеграл f 2 v̇. Рассмотрим меридианы, образованные сечениями поверхности вращения плоскостями ортогональными осивращения, и обозначим через ϕ угол между вектором скорости геодезическойи меридианом.
Через R(x) обозначим расстояние от точки x ∈ Σ до оси вращения. Тогда I = f 2 v̇/|γ̇| = R cos ϕ (так как |γ̇| первый интеграл (лемма 14),то I тоже первый интеграл: он называется интегралом Клеро).§11. Уравнения Эйлера–Лагранжа и экстремальные свойствагеодезическихПусть на касательном расслоении к поверхности Σ, заданной отображениемr : U → R3 ,задана гладкая функцияL : T Σ → R.Обозначим через u1 , u2 координаты в области U ⊂ R2 и рассмотрим ихкак координаты на поверхности.32Выберем две точки x, y ∈ Σ и рассмотрим множество Λ всех параметризованных (т.е. с фиксированным параметром) гладких кривыхγ : [a, b] → Σтаких, чтоγ(a) = x, γ(b) = y,т.е. эти кривые являются гладкими путями из x в y.
На Λ определенфункционал действияZ bL(γ(t), γ̇(t)) dt.S : Λ → R, S(γ) =aМногие задачи механики и физики сводятся к нахождению пути изΛ, на котором функционал S принимает минимальное значение. Болееобщей задачей является описание критических точек функционала S.Объясним, что это значит.Гладкой вариацией пути γ называется такое однопараметрическое семейство путей γε (γε (t) = γ(t, ε)), что1) γ : [a, b] × (−ε0 , ε0 ) → Σ является гладкой функцией и по t ∈ [a, b]и по ε ∈ (−ε0 , ε0 );2) γ(a, ε) = x и γ(b, ε) = y для всех ε ∈ (−ε0 , ε0 );3) γ(t, 0) = γ(t) для всех t ∈ [a, b].Полем вариации W (t) называется векторное поле вдоль γ вида∂γ(t, ε) .W (t) =∂ε ε=0Поле вариаций являются естественным аналогом касательного векторак Λ в точке γ.Кривая γ ∈ Λ называется экстремалью функционала S, еслиdS(γε ) =0dε ε=0для любой гладкой вариации γε пути γ.
Очевидно, что, если на γ функционал S достигает минимума, то γ является экстремалью. Обратноене верно: как и в случае функций на конечномерном пространстве некаждый экстремум является минимумом.Теорема 14 Если γ экстремаль функционала S, то она удовлетворяетуравнениямd ∂L∂L=.(15)∂uidt ∂ u̇i33Доказательство.Пусть γ экстремаль, γε (t) = (u1 (t, ε), u2 (t, ε)) ее вариация и W (t) полевариации.
ТогдаZ bdL(γ(t, ε), γ̇(t, ε)) dS(γε ) =dt =dε ε=0dεaε=0Z ba∂L(γ(t), γ̇(t)) ∂ui (t, 0) ∂L(γ(t), γ̇(t)) ∂ 2 ui (t, 0)+∂ui∂ε∂ u̇i∂ε ∂tdtи, интегрируя последнюю формулу по частям и принимая во внимание,что∂ui (b, 0)∂ui (a, 0)= 0, W (b) == 0,(16)W (a) =∂ε∂εполучаемZ bdS(γε ) ∂Ld ∂L=−W i (t) dt = 0.(17)dε ε=0∂ui dt ∂ u̇iaТак как очевидно любое гладкое векторное поле W (t) вдоль γ, удовлетворяющее (16), является полем гладкой вариации, то из уравнения (17)вытекают уравнения (15). Теорема 14 доказана.Уравнения (15) называются уравнениями Эйлера–Лагранжа для вариационной задачи, которая отвечает функции Лагранжа (или, как тожеговорят, лагранжиану) L(x, ẋ).Примером уравнений Эйлера–Лагранжа являются уравнения геодезических (14).Теорема 15 Если L(u, u̇) = |u̇|2 = gij u̇i u̇j , то уравнениями Эйлера–Лагранжа для этого лагранжиана будут уравнения геодезических (14).Доказательство.
Просто выпишем аккуратно уравнения Эйлера–Лагранжа:∂gjk j k ∂L∂L=u̇ u̇ ,= 2gij u̇j ,i∂u∂ui∂ u̇i∂gij∂gij j kd ∂L∂gikj+= 2 k u̇ u̇ + 2gij ü =u̇j u̇k + 2gij üj .dt ∂ u̇i∂u∂uk∂ujУравнения Эйлера–Лагранжа принимают вид∂gjk1 ∂gij∂gikjgij ü ++−u̇j u̇k = 0,2 ∂uk∂uj∂ui34что переписывается как1üm + gmi2∂gjk∂gij∂gik+−∂uk∂uj∂uiu̇j u̇k = 0.Подставляя в последнюю формулу выражение для символов Кристоффеля (12), получаем уравнение геодезическихj küm + Γmjk u̇ u̇ = 0.Теорема 15 доказана.Рассмотрим вариационную задачу для лагранжианаqL0 (u, u̇) = |u̇| = gij u̇i u̇j .Функционалом действия для него будет длина кривой. Лагранжиан недифференцируем в точках, где u̇ = 0.
Но значение S не зависит от выбора параметризации на кривой: оно одинаково для эквивалентных кривых(см. лемму 1: мы ограничились регулярными кривыми, но легко показать, что в этом случае это ограничение несущественно). Поэтому, есликривая, является экстремалью функционала длины, то эквивалентнаяей кривая с параметром пропорциональным натуральному (|u̇| = const)тоже является экстремалью функционала длины.Теорема 16 Экстремали функционала длины с точностью до эквивалентности совпадают с геодезическими.Доказательство.
Уравнение Эйлера–Лагранжа для функционала длины имеет вид!∂gjk j kd11ppu̇ u̇ =(18)gij u̇j .dt2 glm u̇l u̇m ∂uiglm u̇l u̇mПараметр на геодезических пропорционален натуральному (лемма14). Полагая glm u̇l u̇m = const 6= 0 в (18) мы получаем уравнения геодезических (14) и следовательно геодезические являются экстремалямифункционала длины.На каждой экстремали функционала длины мы можем положить параметр пропорциональным натуральному. По отношению к этому параметру экстремаль описывается уравнениями (14) и следовательно является геодезической.Теорема 16 доказана.35Введем на поверхности расстояние между точками:d(x, y) = inf length(γ).γ∈Λx,yТак как длина не зависит от выбора параметра, то здесь под точкамииз Λx,y можно понимать кривые с параметром t ∈ [0, 1] пропорциональным натуральному.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
