1612042158-90530c46b2b5f80327459be4208f8d97 (542303), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Из теоремы 16 следует, что, если существует криваяиз Λx,y длины d(x, y), то она является геодезической. Мы ограничимсяследующим локальным фактом.Теорема 17 Пусть γ геодезическая, проходящая через точку x0 . Существует такая окрестность x0 на γ, что для любых двух точек x1и x2 из этой окрестности кратчайшей кривой, соединяющей x1 и x2 ,является отрезок геодезической γ.Доказательство. Прежде всего докажем техническую лемму.Лемма 15 Пусть x0 точка на поверхности и γ геодезическая, проходящая через x. Тогда в окрестности x0 можно выбрать такие координаты u1 , u2 , что первая квадратичная форма принимает вид1 0(gij ) =0 Gи уравнение для γ примет вид u2 = 0. В этих координатах линии u2 =const будут геодезическими.Доказательство.
Выберем координаты y 1 , y 2 в окрестности x0 так,что x0 = (0, 0) и касательный вектор к γ в точке x0 равен (1, 0).Через каждую точку с координатами (0, s) проведем геодезическуюс начальным вектором скорости (1, 0). Тогда существует такая функцияϕ в окрестности x0 , что эти геодезические задаются уравнениями y 2 =ϕ(y 1 , s), и так как начальные данные для геодезических гладко зависятот s, то ϕ гладкая функция. Рассмотрим отображение (y 1 , s) → (y 1 , y 2 =ϕ(y 1 , s)). Его якобиан в точке x0 равен1 0∗ 1и по теореме об обратной функции оно обратимо около x0 .
Следовательно y 1 и s задают локальные координаты в окрестности x0 и кривыеs = const являются геодезическими.36В каждой точке из этой окрестности x0 возьмем касательный вектор w(y 1 , s) ортогональный кривой s = const и такой, что (w, w) = 1 и(w, rs ) > 0. Малая окрестность x0 расслаивается на траектории гладкого векторного поля — решения уравнения ẋ = w(x). Сопоставим каждойточке новые координаты (t, s), где точка (t, s) лежит на траектории, пересекающей кривую s = 0 в точке (t, 0). По отношению к координатам(t, s) первая квадратичная форма равна g̃11 = λ, g̃22 = µ, g̃12 = 0.Каждая кривая s = const является геодезической и следовательноΓ211 ≡ 0.
Значит ∂λ/∂s = 0 (см. задачу 10) и координатыZ tp1λ(τ ) dτ, u2 = su =0являются искомыми. Лемма 15 доказана.Координаты, даваемые этой леммой, называются полугеодезическими.Перейдем к доказательству теоремы. Введем в окрестности x0 полугеодезическую систему координат, связанную с x0 и γ как в лемме 15.Можно считать, что x0 = (0, 0). Выберем ε > 0 таким, что круг B ={|u| ≤ ε} полностью лежит в этой окрестности.
Пусть C = minx∈B G(x)и D = min{1, C}.Если x1 и x2 лежат круге B0 = {|u| ≤ ρε}, где ρ = D/(D + 2), то1) |u1 (x1 ) − u1 (x2 )| ≤ 2ρε;2) любая гладкая кривая, соединяющая x1 и x2 и выходящая в какойто момент из круга B, имеет длину ≥ 4ρε;3) длина гладкой кривой, соединяющей x1 и x2 и полностью лежащейв B, равнаZ qZ q2212(u̇ ) + G (u̇ ) dt ≥(u̇1 )2 ≥ |u1 (x1 ) − u1 (x2 )|.(19)Но в (19) равенство достигается в точности на отрезке γ.Теорема 17 доказана.Задача 14.
Доказать, что гауссова кривизна поверхности с полугеодезическими координатами (u1 , u2 ) равна√1 ∂2 GK = −√.G ∂u1 ∂u1Задача 15. Доказать, что, если гауссова кривизна K поверхности постоянна и K 6= 0, то первая квадратичная форма в полугеодезических координатах имеет вид!10√при K > 0,Ku10 sin23710sinh20√−Ku1при K < 0.§12.
Геодезическая кривизна и формула Гаусса–БоннеГеодезические являются естественным обобщением прямых на случай произвольных поверхностей (прямые являются геодезическими наплоскости: в этом случае Γijk = 0 в линейных координатах и уравнениегеодезических становится линейным üi = 0). Отклонение произвольнойкривой от геодезической описывается аналогом кривизны плоской кривой, а именно геодезической кривизной.Пусть γ : [a, b] → U ⊂ R2 натурально параметризованная кривая наповерхности r : U → R3 . Выберем в касательных плоскостях к поверхности ориентацию, считая базис (r1 , r2 ) положительно ориентированным.В каждой точке γ(l) кривой выберем ортонормированный положительно ориентированный базис (γ̇, n) в касательном пространстве.
Геодезической кривизной называется величинаkg = (∇γ̇ γ̇, n),т.е. прямой аналог кривизны плоской кривой (3). Из леммы 11 следует, что гладкая кривая является геодезической, если и только если еегеодезическая кривизна всюду равна нулю.Пусть W малая окрестность точки поверхности, в которой введеныполугеодезические координаты (u, v) := (u1 , u2 ).Пусть γ = γ1 ∪ . . . ∪ γn кусочно-гладкий замкнутый контур (т. е.семейство последовательно пройденных регулярных кривых: конец γjсовпадает с началом γj+1 и мы положим при этом γn+1 = γ1 ). Пустьконтур γ не имеет точек самопересечения и ограничивает область V ⊂W.Обозначим через αj угол между γj и γj+1 , направленный внутрь V ,и через dσ форму площади на поверхностиq2 du1 du2 .dσ = g11 g22 − g12Теорема 18 (Формула Гаусса–Бонне)ZγZnXK dσ.(π − αj ) −kg dl = 2π −j=138V(20)Доказательство.В полугеодезических координатах (u, v) := (u1 , u2 ) первая квадратичная форма имеет вид g11 = 1, g12 = 0, g22 = G и символы Кристоффеля принимают вид (см.
задачу 10)111Γ122 = − Gu , Γ212 =Gu , Γ222 =Gv ,22G2Gостальные символы Кристоффеля равны нулю. Вектор нормали к кривой тоже вычисляется явно1n = √ (−Gv̇r1 + u̇r2 )G(напомним, что под точкой понимается дифференцирование по натуральному параметру l: |γ̇| = 1). Теперь подставим эти выражения вформулу для геодезической кривизны и получим√111322Gv u̇v̇ .kg = G −üv̇ + u̇v̈ + Gu v̇ + Gu u̇ v̇ +2G2GТак как |γ̇|2 = u̇2 + Gv̇ 2 = 1, то√ !√1d1Gv̇22= G −üv̇ + u̇v̈ +arctanGu u̇ v̇ +Gv u̇v̇dlu̇2G2Gи√ √1122 Gu v̇32√ = GG v̇ = u̇ + Gv̇Gu v̇ +Gu u̇ v̇ .u22G2 GОтсюда следует√ ! √ Gv̇G v̇ dl.+kg dl = d arctanu̇uПо формуле Стокса ([3])Z √ Z √ Z √ GG v̇ dl =G dv =γuuγVuudu dvи, принимая во внимание формулу для гауссовой кривизны в полугеодезических координатах (см.
задачу 14), выводимZ √ ZG v̇ dl = −K dσ.γuV39Заметим теперь, что уголarctan√Gv̇u̇!равен (с точностью до π) углу ϕ между γ̇ и r1 . Если контур γ гладкий,тоZdϕ = 2π,γесли же последовательные участки γj примыкают друг к другу под ненулевыми углами, то легко заметить, чтоZXdϕ = 2π −(π − αj ).γnТеорема 18 доказана.Покажем, что формула Гаусса–Бонне верна и для больших областейV , гомеоморфных кругу. Прежде всего определим понятие симплициального разбиения.Пусть V либо замкнутая область (замыкание открытого множества)на плоскости с кусочно-гладкой границей, либо компактная поверхностьв R3 .
Симплициальным разбиением V называется такое представлениеее в виде конечного объединения треугольниковV = ∪j δj ,что1) внутренность каждого треугольника δj является областью в V изамыкание этой области гомеоморфно треугольнику2) на границе каждого треугольника отмечены три вершины и участки границы между ними называются ребрами ;3) два различных треугольника могут пересекаться только по одному общему ребру и два различных ребра могут пересекаться только поодной общей вершине.Если границы треугольников являются кусочно-гладкими контурами, то разбиение называется кусочно-гладким.Пусть ∆ симплициальное разбиение V . Обозначим через a0 числовершин, через a1 число ребер и через a2 число треугольников. Величинаχ(∆) = a0 − a1 + a2называется эйлеровой характеристикой разбиения.40Теорема 19 (Теорема Эйлера) Если V гомеоморфна кругу на плоскости, то эйлерова характеристика любого симплициального разбиенияV равна единице.Доказательство.
Проведем его индукцией по a2 . При a2 = 1 утверждение очевидно. Пусть оно верно при a2 ≤ k.Возьмем произвольное разбиение ∆ замкнутой области V с a2 = k+1.Выберем треугольник δj , примыкающий к границе по ребру γ ∗ . Удалимребро γ ∗ и внутренность δj из V , получив в итоге новую замкнутуюобласть V ′ с разбиением ∆ \ δj . Возможна одна из двух ситуаций:1) замкнутая область V ′ гомеоморфна кругу;2) замкнутая область V ′ гомеоморфна объединению двух замкнутыхобластей V1 и V2 , на которых заданы разбиения ∆1 и ∆2 и эти областипересекаются по общей вершине.В первом случае очевидно, что χ(∆) = χ(∆′ ) = 1.
В втором случаеχ(∆) = χ(∆′ ) = χ(∆1 ) + χ(∆2 ) − 1 = 1.Теорема 19 доказана.Докажем теперь формулу Гаусса–Бонне для больших областей.Теорема 20 Если V гомеоморфная кругу замкнутая область с кусочно-гладкой границей на поверхности, то для нее верна формула Гаусса–Бонне (20).Доказательство. Выберем кусочно-гладкое симплициальное разбиение области V на маленькие треугольники δk , каждый из которых лежит в области с полугеодезическими координатами. Обозначим через c0число вершин, лежащих на границе V , и через c1 число ребер, лежащихна границе. Так как граница гомеоморфна окружности, c0 = c1 .Выпишем для каждого треугольника δk формулу (20) и просуммируем их. Так как интегралы от kg по внутренним Rребрам берутся дваждыс разными знаками, сумма левых частей равна γ kg dl, где γ граница V .Справа мы получимZXK dσ,2πa2 − 3πa2 + 2π(a0 − c0 ) +αj −jVгде αj углы между гладкими участками границы V .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
