1612042158-90530c46b2b5f80327459be4208f8d97 (542303), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Тогда малая окрестность точки x лежитпо одну сторону от касательной плоскости Tx M : действительно, Tx Mразделяет пространство на два полупространства и нормали всех нормальных сечений направлены в одно и то же полупространство — околоточки x поверхность выглядит как “шапочка” ;б) K < 0 в точке x ∈ Σ. Тогда кривизны двух нормальных сеченийравны нулю (их касательные направления называются асимптотическими), а нормали сечений, отвечающих главным кривизнам, направлены в разные полупространства относительно Tx M — около точки xповерхность выглядит как “седло”.22§8. Деривационные уравнения и теорема БоннеАналогом уравнений Френе для поверхностей являются уравнения,описывающие деформацию базиса r1 , r2 , m вдоль поверхности.

Деформации r1 и r2 описываются уравнениями Гаусса, выражающими векторыrjk = ∂ 2 r/∂uj ∂uk через базисные векторы:r11 = Γ111 r1 + Γ211 r2 + b11 m,r12 = Γ112 r1 + Γ212 r2 + b12 m,(10)r22 = Γ122 r1 + Γ222 r2 + b22 m.Символы Γijk называются символами Кристоффеля и легко заметить,что bjk — коэффициенты второй квадратичной формы:L = b11 , M = b12 = b21 , N = b22 .Прежде, чем выводить уравнения деформации m мы введем два соглашения:1) если формуле один и тот же индекс повторяется дважды — одинраз сверху и один раз снизу, то подразумевается, что по этому индексупроводится суммирование:Xaj bj ;aj bj :=j2) матрицу, обратную к матрице aij , будем обозначать через akl , считая по определению1, если i = k,ijia ajk = δk =0, если i 6= k.Так как (m, m) ≡ 1, то (mj , m) = 0 и следовательно mj = ∂m/∂ujвыражается в виде линейной комбинации r1 и r2 .

Далее выводим∂(m, rj )= (mk , rj ) + (m, rjk ) = 0.∂ukВведем коэффициенты ajk какmk = a1k r1 + a2k r2 = ajk rj ,23(11)обозначим через gjk = (rj , rk ) коэффициенты первой квадратичной формы:E = g11 , F = g12 = g21 , G = g22 ,и перепишем (11) какa11 g11 + a21 g12 = −b11 , a11 g12 + a21 g22 = −b12 ,a12 g11 + a22 g12 = −b21 , a12 g12 + a22 g22 = −b22 .Полученные уравнения распадаются на две системы уравнений относительно a11 , a21 и a12 , a22 , которые могут быть записаны в видеaki gjk = −bij .Так как матрица gjk обратима, то в итоге получаем следующие уравнения.Теорема 10 (Уравнения Вейнгартена)mi = −bij gjk rk .Вместе с уравнениями Гаусса эти уравнения образуют полный набордеривационных уравнений.

Как и уравнения Френе мы можем записатьих в видеrr1∂  1 r2= Aj  r2  ,∂ujmmгдеb11Γ211Γ111b12  ,Γ212A1 =  Γ112j1j2−b1j g−b1j g0Γ121Γ221b21A2 =  Γ122b22 Γ222j1j2−b2j g−b2j g0и символы Кристоффеля симметричны по определению: Γijk = Γikj . Вотличие от уравнений Френе в данном случае возникают нетривиальныеусловия совместности:rr∂ ∂  1 ∂ ∂  1 r2r2=,∂u1 ∂u2∂u2 ∂u1mm24что эквивалентно следующей системе уравнений∂∂A2 − 2 A1 = A1 A2 − A2 A1 ,∂u1∂uкоторые называются уравнениями Гаусса–Петерсона–Кодацци.Другая зависимость между величинами, входящими в (10), и первойквадратичной формой выражается следующими формулами и являетсяследствием уравнений Гаусса.Теорема 11Γkij =1 lkg2∂gjl ∂gij∂gil+−∂uj∂ui∂ul.(12)Доказательство.

Согласно (10) мы имеем∂gij∂(ri , rj )== Γlik glj + Γljk gli .k∂u∂ukОтсюда следует, что∂gjl∂gil ∂gij+−= 2 Γmij gml ,i∂u∂uj∂ulчто влечетglkgml Γmij=kδmΓmij=Γkij1= glk2∂gil ∂gjl ∂gij+−.∂uj∂ui∂ulТеорема 11 доказана.Теперь мы можем сформулировать аналог теорем 2 и 4 для поверхностей.Теорема 12 (Теорема Бонне) Пустьb11b12g11g12иb21 (= b12 ) b22g21 (= g12 ) g22гладкие квадратичные формы в области U гомеоморфной внутренностикруга, причем первая из них положительно определена и коэффициентыэтих форм удовлетворяют уравнениям Гаусса–Петерсона–Кодацци.Тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в R3 , для которой эти формы являются первойи второй квадратичными формами.25Доказательство.

Мы ограничимся наброском доказательства, указав лишь принципиальное отличие от доказательств теорем 2 и 4 —необходимость выполнения условий совместности (уравнений Гаусса–Петерсона–Кодацци).Пусть u0 = (u10 , u20 ) ∈ U . Выберем такие векторы a0 , b0 , c0 , что(a0 , a0 ) = g11 (u0 ), (a0 , b0 ) = g12 (u0 ), (b0 , b0 ) = g22 (u0 ),(a0 , c0 ) = (b0 , c0 ) = 0, (c0 , c0 ) = 1,как начальные данные для уравнений Гаусса–Вейнгартена:r1 (u0 ) = a0 , r2 (u0 ) = b0 , m(u0 ) = c0 .Так как коэффициенты форм удовлетворяют уравнениям Гаусса–Петерсона–Кодацци, то построенные по этим формам уравнения Гаусса–Вейнгартена совместны и имеют единственное решение a, b, c с заданными начальными данными в точке u0 .Так как ∂a/∂u2 = ∂b/∂u1 и область U гомеоморфна внутренностикруга, то существует отображение r : U → R3 такое, что a = r1 , b = r2 .Это отображение задает поверхность, для которой определим первую ивторую квадратичную формы.Как и при доказательстве теоремы 4, анализируя уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты этих форм, докажем, что эти формы совпадают с исходными.

Однозначность поверхности с точностьюдо движений в R3 доказывается как и однозначность искомой кривой сточностью до движений в плоскости в теореме 2.Теорема 12 доказана.Задача 10. Пусть первая квадратичная форма диагональна:g11 = λ(u1 , u2 ), g12 = 0, g22 = µ(u1 , u2 ).Тогда символы Кристоффеля имеют видΓ111 =1 ∂λ1 ∂µ1 ∂λ, Γ112 =, Γ122 = −,2λ ∂u12λ ∂u22λ ∂u1Γ211 = −1 ∂µ1 ∂µ1 ∂λ, Γ212 =, Γ222 =.2µ ∂u22µ ∂u12µ ∂u2Задача 11. Доказать, что для поверхности вращения (см.

задачу 6) символы Кристоффеля имеют видΓ111 =f ′ f ′′f′ff′21,Γ=, Γ112 = Γ211 = Γ222 = 0,,Γ=−12221 + f ′2f1 + f ′2где (u1 , u2 ) := (u, v).26§9. Теорема ГауссаВыдающимся открытием Гаусса явилось установление того, что гауссова кривизна полностью определяется первой квадратичной формой.Это следует из выведенной им формулы, которая входит в систему уравнений Гаусса–Петерсона–Кодацци.Теорема 13 (Теорема Гаусса)K=12g11 g22 − g12b11 b22 − b2122 =g11 g22 − g12Γk12 Γl12 − Γk11 Γl22 gkl +!1 ∂ 2 g111 ∂ 2 g22∂ 2 g12−−.∂u1 ∂u2 2 ∂u2 ∂u2 2 ∂u1 ∂u1Доказательство.

Из (10) очевидно следует, что(r11 , r22 ) − (r12 , r12 ) = b11 b22 − b212 + Γk11 Γl22 gkl − Γk12 Γl12 gkl .Но(r11 , r22 ) − (r12 , r12 ) =что вытекает из соотношения∂ 2 g121 ∂ 2 g111 ∂ 2 g22−−,∂u1 ∂u2 2 ∂u2 ∂u2 2 ∂u1 ∂u1∂ 2 gij∂ 2 (ri , rj )== (rik , rjl ) + (ril , rjk ) + (ri , rjkl ) + (rikl , rj ).∂uk ∂ul∂uk ∂ulОсталось сравнить выражения для (r11 , r22 )−(r12 , r12 ), чтобы завершитьдоказательство. Теорема 13 доказана.Из теорем 11 и 13 вытекаетСледствие 2 Гауссова кривизна выражается через коэффициенты первой квадратичной формы и их первые и вторые производные.Регулярные поверхности r : U → R3 и r̃ : U → R3 называютсяизометричными, если для любой регулярной кривой γ : [a, b] → U длиныкривых r◦γ и r̃◦γ совпадают. Это эквивалентно тому, что во всех точкахсовпадают значения первых квадратичных форм:(ri , rj ) = (r̃i , r̃j ).Следствие 2 может теперь быть переформулировано следующим образом.27Следствие 3 Если две поверхности r : U → R3 и r̃ : U → R3 изометричны, то их гауссовы кривизны совпадают для каждой пары точекr(u1 , u2 ) и r̃(u1 , u2 ).Задача 12.

Доказать, что гауссова кривизна конуса x2 + y 2 = z 2 в точке(x, y, z) 6= (0, 0, 0) равна нулю.§10. Ковариантное дифференцирование и геодезическиеПусть r : U → R3 задает регулярную поверхность, γ : [a, b] → Uрегулярная кривая на поверхности и v гладкое векторное поле вдолькривой γ:1) для каждого t ∈ [a, b] вектор v(t) лежит в касательном пространстве к поверхности в точке γ(t);2) векторы v(t) гладко зависят от t.Разлагая v(t) по базисам в касательных плоскостях, запишем векторное поле какv(t) = v i (t)ri (t).Производная векторного поля вдоль кривой имеет видv̇ =dv idv iri + v i ṙi =ri + v i u̇j rij ,dtdtгде γ̇ = u̇1 , u̇2 .

Разложим правую часть последнего равенства на дваслагаемых, одно из которых касательно к поверхности, а другое — ортогонально: idvi j kri + Γjk v u̇ ri + v j u̇k bjk m.v̇ =dtКовариантной производной ∇γ̇ v векторного поля v вдоль кривой γна поверхности в R3 называется ортогональная проекция производнойполя v вдоль кривой на касательную плоскость к поверхности: iDvdv=+ Γijk v j u̇k ri .∂tdtПредположим теперь, что векторное поле v задано не только на кривой,но и в целой области поверхности. Тогда мы можем рассматривать ковариантные производные поля вдоль различных кривых и формула дляковариантной производной поля v в направлении вектора w примет вид i∂vi j+ Γjk v wk ri ,∇w v =∂uk28где w касательный вектор к поверхности.

Эта операция обладает рядомзамечательных свойств.Лемма 10 1) Отображение (w, v) → ∇w v линейно по v и w:∇α1 w1 +α2 w2 v = α1 ∇w1 v + α2 ∇w2 v,∇w (α1 v1 + α2 v2 ) = α1 ∇w v1 + α2 ∇w v2 , α1 , α2 ∈ R;2) если f : U → R гладкая функция, то∇f w v = f ∇w v,∇w f v = Dw f v + f ∇w v,гдефункции f в направлении вектора w: Dw f =P Dw f —j производнаяjj (∂f /∂u )w ;3)∇ri rj = Γkij rk ;4)Γkij = Γkji;5) производная скалярного произведения векторных полей вычисляется по формулеDw (v1 , v2 ) = (∇w v1 , v2 ) + (v1 , ∇w v2 ).Доказательство. Утверждения 1–3 вытекают немедленно из определения ковариантного дифференцирования.

Утверждение 4 вытекает изданного нами определения символов Кристоффеля и так же выводитсяиз Теоремы 11.Утверждение 5 доказывается прямыми вычислениями:∂ Dw (ri , rj )v1i v2j = wk k (ri , rj )v1i v2j =∂u!j∂v1i jki jki ∂v2w ((rik , rj ) + (ri , rjk )) v1 v2 + w (ri , rj )v + v1 k =∂uk 2∂u i jmw k Γmik (rm , rj ) + Γjk (ri , rm ) v1 v2 +!j∂v1i ji ∂v2kv + v1 k =w (ri , rj )∂uk 2∂u! i∂v2j∂v1jjimmkk+ Γmk v1 (ri , rj )v2 + w+ Γmk v2 (ri , rj )v1i =w∂uk∂uk29(∇w v1 , v2 ) + (v1 , ∇w v2 ).Лемма 10 доказана.Взятие проекции на касательную плоскость при определении ковариантного дифференцирования ведет к рассмотрению внутренней геометрии поверхности, при котором мы забываем про внешнее объемлющее пространство и строим всю геометрию только исходя из метрики —первой квадратичной формы.

Характеристики

Список файлов лекций