1612042158-90530c46b2b5f80327459be4208f8d97 (542303)
Текст из файла
И. А. ТАЙМАНОВЛЕКЦИИ ПОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙГЕОМЕТРИИI. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИИ. А. ТаймановЛекции по дифференциальной геометрии.I. Кривые и поверхности.Учебное пособиеНовосибирск2005Тайманов И. А. Лекции по дифференциальной геометрии. I. Кривые и поверхности: Учеб. пособие.Данное пособие содержит введение в дифференциальную геометриюкривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Оноосновано на лекциях автора по дифференциальной геометрии, прочитанных на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета в весенних семестрах 1997 и 1998 годов иохватывает большую часть курса.Эти лекции были изданы в НГУ в 1998 г.
В данном тексте исправленыопечатки и некоторые неточности.Глава 1. Теория кривых§1. Основные определенияПусть Rn евклидово пространство размерности n с координатамиx1 , . . . , xn . Расстояние ρ(x, y) между точками x = (x1 , . . . , xn ) и y =(y 1 , . . . , y n ) определяется по формулеpρ(x, y) = (x1 − y 1 )2 + . . . + (xn − y n )2 .Для краткости n-мерное векторное пространство над полем R мытакже будем обозначать через Rn , считая, что каждый раз понятно изконтекста о чем именно идет речь.
Через (v, w) будем обозначать стандартное скалярное произведение в векторном пространстве Rn :(v, w) = v 1 w1 + . . . + v n wn .(1)Под словом “гладкий” мы будем понимать “дифференцируемый столько раз, сколько нужно”. Любой желающий может восстановить оценкиминимально допустимой гладкости во всех утверждениях или понимать“гладкий” как “дифференцируемый бесконечное число раз”.Кривой в евклидовом пространстве Rn называется отображениеγ : [a, b] ⊂ R → Rn .При этом определении под точкой P кривой γ понимается образ точкивместе со значением параметра t ∈ [a, b]:P = (γ(t) ∈ Rn , t ∈ [a, b]).Мы ограничимся изучением регулярных кривых:— кривая γ называется гладкой, если отображение γ является гладким.— гладкая кривая γ называется регулярной, если во всех внутреннихточках интервала [a, b] производная γ по параметру t не равна нулю:dγ(s) 6= 0 при a < s < bdtи существуют ненулевые пределы производных справа и слева в конечных точках a и b соответственно.Наше определение регулярной кривой несколько отличается от других (см.
например [5]): ради краткости мы исключаем возможность появления особых точек, в которых dγ/dt = 0.3Естественно отождествлять кривые, получающиеся прохождениемодной и той же кривой с разными скоростями:регулярные кривыеγ1 : [a1 , b1 ] → Rn и γ2 : [a2 , b2 ] → Rnназываются эквивалентными, если существует отображениеϕ : [a1 , b1 ] → [a2 , b2 ]такое, что ϕ обратимо, отображения ϕ и ϕ−1 являются гладкими и выполняется соотношениеγ1 (t) = γ2 (ϕ(t)) при t ∈ [a1 , b1 ].Мы будем отождествлять эквивалентные кривые, а t и s = ϕ(t) рассматривать как разные параметры на одной и той же кривой.В качестве длины кривой естественно выбрать такую величину, чтобы она не зависела от выбора параметра, была аддитивна и для отрезков, задаваемых линейными отображениями, совпадала бы с расстоянием между концевыми точками.
Данные условия приводят к следующемуопределению:длиной (параметризованной) кривой γ : [a, b] → Rn , где −∞ < a <b < +∞, называется значение интегралаZ b dγ(t) (2)length(γ) = dt dt =as n 2Z b 1 2dx (t)dx (t)+ ... +dt,dtdtaгде γ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)).Верна следующая лемма.Лемма 1 Длина кривой не зависит от выбора параметра на кривой.Доказательство. Пусть γ1 : [a1 , b1 ] → Rn и γ2 : [a2 , b2 ] → Rn задаютодну и ту же кривую и параметры t ∈ [a1 , b1 ] и s ∈ [a2 , b2 ] связаны монотонным отображением s = s(t) таким, что производная ds/dt существуети положительна. Тогда из теорем о производной сложной функции и замены переменной интегрирования следует, чтоZ b1 Z b1 Z b2 Z b1 dγ2 ds dγ2 ds dγ2 dγ1 dt = dt = dt = ds dt ds dt ds ds. dt a1a1a2a14Лемма 1 доказана.Очевидно, что данное определение длины удовлетворяет и другимуказанным выше естественным требованиям.С понятием длины связано понятие натурального параметра — такого параметра l, что длина участка кривой, отвечающего изменениюпараметра l от a1 до b1 > a1 равна (b1 − a1 ).Имеет место следующая лемма.Лемма 2 1) Если параметр l ∈ [a, b] на кривой γ : [a, b] → Rn натурален, то dγ =1 dl в гладких точках.2) На каждой регулярной кривой существует натуральный параметр.Доказательство.
Утверждение 1 немедленно следует из определениядлины кривой.Пусть γ : [a, b] → Rn кривая с параметром t. Рассмотрим дифференциальное уравнение dl dγ =.dt dt Так как его правая часть является гладкой функцией, то существует иединственно решение этого уравнения с начальными данными l(a) = 0(см. [6]). Очевидно, что l(b) = length(γ). Возьмем функцию, обратнуюк l: t = t(l) : [0, length(γ)] → [a, b], и определим l как параметр на γ поформулеγ0 (l) = γ(t(l)).Очевидно, что dγ0 dγ dt dl = dt dl = 1.Следовательно, l натуральный параметр на γ. Лемма 2 доказана.§2.
Кривые на плоскостиПусть γ : [a, b] → R2 регулярная кривая на двумерной плоскости.Предположим, что на ней выбран натуральный параметр l. Считая плоскость ориентированной, выберем в каждой точке кривой базис векторовv, n такой, что51) v = dγ/dl и, в частности, так как параметр l натурален, то |v| = 1;2) вектор n ортогонален v, имеет единичную длину и базис (v, n)положительно ориентирован.Этими условиями реперы (v, n) определяются однозначно и они называются реперами Френе.Теорема 1 При изменении натурального параметра l вдоль плоскойкривой γ репер Френе деформируется согласно уравнениям dv0 kv=.(3)−k 0ndl nДоказательство. Так как (v, v) ≡ (n, n) ≡ 1, тоdvd(v, v)=2, v = 0,dldldnd(n, n)=2, n = 0.dldlСледовательно v ⊥ dv/dl и n ⊥ dn/dl.
Так как (v, n) ортонормированныйбазис в R2 , то существуют такие функции α(l) и β(l), чтоdndv= αn,= βv.dldlНо (v, n) ≡ 0 и поэтомуd(v, n)=dl dvdn, n + v,= α + β = 0.dldlПоложим k = α = −β. Теорема 1 доказана.Мы пришли к двум важным понятиям:— уравнения (3) называются уравнениями Френе для плоской кривой;— коэффициент k, входящий в (3), называется кривизной (плоской)кривой.Более того, радиусом кривизны кривой называется величина R =−1|k| . Этот термин подтверждается следующим фактом:Задача 1.
Если кривизна k плоской кривой γ постоянна и не равна нулю, то γ является дугой окружности радиуса |k|−1 . Если кривизна k плоскойкривой γ всюду равна нулю, то γ является участком прямой (отрезком, лучомили всей прямой).Для решения этой задачи достаточно найти решения уравнения (3)с постоянными коэффициентами.Кривизна кривой определяет кривую с точностью до движений R2 .6Теорема 2 1) Пусть k : [0, L] → R гладкая функция. Тогда существует гладкая кривая γ : [0, L] → R2 , кривизна которой равна k(l).2) Пусть γ1 : [0, L] → R2 и γ2 : [0, L] → R2 натурально параметризованные регулярные кривые и их кривизны совпадают: k1 (l) = k2 (l)для всех l ∈ [0, L].
Тогда существует такое движение ϕ : R2 → R2 ,сохраняющее ориентацию, что γ2 (l) = ϕ(γ1 (l)) для всех l ∈ [0, L].Доказательство.1) Выберем какой-то положительно ориентированный ортонормированный базис (v0 , n0 ) в R2 и рассмотрим решение уравнения (3) с начальными условиями v(0) = v0 , n(0) = n0 . Это — обыкновенное дифференциальное уравнение в R4 , правая часть которого гладкая. Поэтомутакое решение существует и единственно ([6]). Скалярные произведениявекторов v и n удовлетворяют системе уравненийd(n, n)d(v, n)d(v, v)= −2k(v, n),= 2k(v, n),= k(n, n) − k(v, v),dldldlрешение которой с начальными данными (v0 , v0 ) = (n0 , n0 ) = 1, (v0 , n0 ) =0 тоже единственно, и заметим, что оно постоянно. Поэтому при любомl векторы v(l) и n(l) составляют ортонормированный базис в R2 .
Теперьопределим кривую γ по формулеγ(l) =Zlv(s)ds.0Легко заметить, что l — натуральный параметр на кривой, v — векторскорости по отношению к данному параметру и так как (v, n) ортонормированный базис и dv/dl = kn, то k — кривизна кривой γ.2) Прежде всего напомним, что группа движений евклидова пространства R2 , сохраняющих ориентацию, порождена сдвигами Ta : x →r + a, и вращениями Ω : R2 → R2 вокруг неподвижной точки ([1]).Реперы Френе кривых γ1 и γ2 обозначим через (v1 , n1 ) и (v2 , n2 ) соответственно.
Определим движение ϕ как последовательную композициюсдвига Ta и вращения Ω : R2 → R2 вокруг точки γ2 (0)ϕ = Ω ◦ Ta : R2 → R2 ,гдеa = γ2 (0) − γ1 (0), Ωv1 (0) = v2 (0).7Репер Френе кривой ϕ(γ1 (l)) имеет вид (Ωv1 , Ωn1 ). Так как (v1 , n1 ) и(v2 , n2 ) удовлетворяют одному и тому же уравнению (3) и dΩv1Ω 00 kv1==0 Ω−k 0n1dl Ωn1 0 kΩ 0v10 kΩv1=,−k 00 Ωn1−k 0Ωn1то (Ωv1 , Ωn1 ) удовлетворяет тому же самому уравнению.
Более того(Ωv1 (0), Ωn1 (0)) = (v2 (0), n2 (0)) согласно выбору Ω и из единственностирешения уравнения (3) с заданными начальными данными следует:(Ωv1 (l), Ωn1 (l)) ≡ (v2 (l), n2 (l)).Из выбора Ta вытекаетγ2 (l) = γ2 (0) +Zlv2 (t)dt = ϕ(γ1 (l)).0Теорема 2 доказана.§3. Кривые в трехмерном пространствеВ случае пространственных кривых нормаль к кривой может бытьопределена бесконечным числом способов. Поэтому мы будем рассматривать лишь бирегулярные кривые:1) натурально параметризованная регулярная кривая γ : [a, b] → R3называется бирегулярной, если d2 γ/dl2 6= 0 всюду;2) нормалью бирегулярной кривой называется векторd2 γ d2 γ n = 2 / 2 ,dldlа кривизной (пространственной) кривой называется величина 2 d γ k = 2 .dl(4)Чтобы получить репер Френе кривой в R3 дополним v = dγ/dl и nтретьим вектором — бинормальюb = [v × n]до ортонормированного базиса в R3 .Заметим, что при этом определении кривизна всегда положительнав отличие от случая плоских кривых.8Теорема 3 Если γ бирегулярная кривая в R3 , то при изменении натурального параметра l репер Френе деформируется согласно уравнениямФрене для пространственной кривой v0k0vd n = −k 0 κ n .(5)dlb0 −κ 0bДоказательство.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
