1612042158-90530c46b2b5f80327459be4208f8d97 (542303), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. .2!n!задает гладкий путь в O(n).Глава 2. Теория поверхностей§5. Регулярные поверхности и первая квадратичная формаРегулярной поверхностью в R3 называется двумерное гладкое подмногообразие R3 .С помощью теоремы о неявной функции уточним это определение:1) Σ ⊂ R3 называется регулярной поверхностью, если в достаточномалой окрестности каждой своей точки оно выделяется как множествонулей гладкой функции F (x1 , x2 , x3 ) такой, что в этой окрестности∂F6= 0∂x314после подходящего перенумерования координат x1 , x2 , x3 ;2) Σ ⊂ R3 называется регулярной поверхностью, если в достаточномалой окрестности каждой своей точки оно задается как график гладкого отображенияx3 = ψ(x1 , x2 )после подходящего перенумерования координат x1 , x2 , x3 ;3) Σ ⊂ R3 называется регулярной поверхностью, если в достаточномалой окрестности каждой своей точки оно задается как образ гладкогоотображенияr : U ⊂ R2 → R3 ,где U — область на плоскости с координатами u1 , u2 , причем во всехточках этой области векторы r1 = ∂r/∂u1 и r2 = ∂r/∂u2 линейно независимы.Лемма 6 Определения 1 - 3 регулярной поверхности эквивалентны.Доказательство.
Эквивалентность определений 1 и 2 уже была намиустановлена в §4 в наиболее общем виде — для гладких подмногообразийRN . Для доказательства леммы достаточно доказать эквивалентностьопределений 2 и 3.Очевидно, что из 2) следует 3): достаточно рассмотреть отображение1r(u , u2 ) = (u1 , u2 , ψ(u1 , u2 )). Для доказательства того, что из 3) следует2) применим следующее следствие теоремы о неявной функции:Теорема об обратной функции Пусть F : U ⊂ RN → RN гладкое отображение области из RN в RN и в точке x0 ∈ U якобиан этогоотображения обратим: j∂F6= 0.det∂xk 1≤j,k≤NТогда в окрестности V точки F (x0 ) определено гладкое отображениеG : V → RN обратное к F : G ◦ F (x) ≡ x в области G(V ) ⊂ U .Для доказательства этой теоремы достаточно применить теорему обобратной функции к отображению Ψ : U × RN → RN вида Ψ(x, y) =y − F (x).Покажем теперь, что 3) влечет 2).
Пусть x ∈ Σ. Без ограниченияобщности можно считать, что в точке x матрица∂x1 /∂u1 ∂x1 /∂u2∂x2 /∂u1 ∂x2 /∂u215обратима и потому по теореме об обратной функции в окрестности x параметры u1 и u2 однозначно выражаются как функции от x1 и x2 : отображение (u1 , u2 ) → (x1 (u1 , u2 ), x2 (u1 , u2 )) обратимо. Теперь заметим, чтов окрестности x поверхность задается как график гладкого отображенияx3 = x3 (u1 (x1 , x2 ), u2 (x1 , x2 )).Лемма 6 доказана.Хотя все три определения эквивалентны, мы в дальнейшем будемпользоваться третьим, так как оно вводит понятие локальных координат(u1 , u2 ) ∈ U ⊂ R2 , т. е.
таких величин, которые в окрестности каждойточки задают координаты на поверхности.Особенно это удобно при рассмотрении кривых на поверхности —не надо задавать кривую в R3 и накладывать на нее аналитическиеусловия, чтобы она лежала на поверхности, а достаточно задать кривуюγ : [a, b] → U ⊂ R2как гладкое отображение в область U . Если кривая не лежит в окрестности, описываемой одними и теми же локальными координатами, то оназадается как семейство отображений в такие области, причем эти отображения склеиваются в тех областях, которые описываются несколькими системами координат, чтобы корректно задать кривую и ее векторыскорости (которые разные в разных системах координат). Это требуетвведения тензоров и мы пока оставим это в стороне, ограничиваясь повозможности участками поверхностей, покрываемыми одной системойкоординат.Теорема 7 Пусть гладкое отображение r : U → R3 задает регулярнуюповерхность Σ с локальными координатами (u1 , u2 ) ∈ U .
Тогда1) в каждой точке r(u1 , u2 ) векторы r1 и r2 задают базис в касательной плоскости к Σ;2) длина регулярной кривой γ : [a, b] → U на поверхности равнаZ bpI(γ̇, γ̇)dt,length(γ) =aгдеI(v, w) =v1v2·E FF G 1 w·w2симметричная билинейная форма на векторном пространстве R2 , зависящая от точки поверхности и определяемая формуламиE = (r1 , r1 ), F = (r1 , r2 ), G = (r2 , r2 ),16и γ̇ = dγ/dt = (u̇1 , u̇2 ) — вектор скорости в локальных координатах.Доказательство.
Утверждение 1 очевидно следует из определения касательного пространства. Утверждение 2 выводится из (2). Действительно, по определениюZ b sd(r ◦ γ) d(r ◦ γ),dtlength(γ) =dtdtaи мы получаем прямыми вычислениямиd(r ◦ γ) d(r ◦ γ),= (r1 u̇1 + r2 u̇2 , r1 u̇1 + r2 u̇2 ) =dtdtE u̇12+ 2F u̇1 u̇2 + G u̇22.Теорема 7 доказана.Согласно теореме 7, в касательном пространстве в каждой точке задано скалярное произведение, определяемое первой квадратичной формой I и естественным образом задающее углы ϕv,w между векторами vи w и длины |v| векторов v:|v| =pI(v, v),cos ϕv,w =I(v, w)при v 6= 0 и w 6= 0.|v||w|Следующее определение площади части поверхности, как и определение длины, вполне естественно, аддитивно и совпадает с обычным дляплоских поверхностей:если V ⊂ U , то площадь части r(V ) поверхности Σ равнаZ Z pEG − F 2 du1 du2 .V§6.
Вторая квадратичная форма и кривизны нормальныхсеченийОбозначим через m(u1 , u2 ) такую нормаль к регулярной поверхностив точке r(u1 , u2 ), что (r1 , r2 , m) положительно ориентированный репер вR3 . Она находится явно по формулеm=[r1 × r2 ].|[r1 × r2 ]|Через rjk обозначим ∂ 2 r/∂uj ∂uk .17Пустьγ : [a, b] → U ⊂ R2 → R3rрегулярная кривая с параметром t и пусть l натуральный параметр наγ.
Согласно (4),d2 (r ◦ γ)= k n,dl2где k — кривизна кривой, а n — нормаль к кривой. Изpдоказательствалеммы 2 мы также знаем, что dl/dt = |d(r ◦ γ)(t)/dt| = I(γ̇, γ̇).Теорема 8 (Теорема Менье)влетворяет уравнениюКривизна кривой на поверхности удо-k cos θ = k(m, n) =II(γ̇, γ̇),I(γ̇, γ̇)где θ — угол между n и m, нормалями к кривой и к поверхности, аформа II имеет вид 1 L Mw12II(v, w) = v v··,w2M NгдеL = (r11 , m), M = (r12 , m), N = (r22 , m).Доказательство. Прямыми вычислениями получимd2 (r ◦ γ)d2 dt1 dt= kn =+ r2 u̇r1 u̇=dl2dldldl dt 22 2121 21 2+ r1 ü + r2 ü+ 2r12 u̇ u̇ + r22 u̇r11 u̇+dld2 tdl2и, так как r1 и r2 ортогональны m, выводим(r1 u̇1 + r2 u̇2 )k(n, m) =(r11 , m) u̇1 21 2+ 2(r12 , m)u̇ u̇ + (r22 , m) u̇2 2 dt 2dl.Осталось только заметить, что (dt/dl)2 = (dl/dt)−2 = I(γ̇, γ̇)−1 .
Теорема8 доказана.18Пусть v касательный вектор к поверхности в точке r(u1 , u2 ) и m вектор нормали в этой же точке. Проведем через точку r(u1 , u2 ) двумернуюплоскость, натянутую на векторы m и v. Пересечение этой плоскостии поверхности — кривая γu1 ,u2 ,v — называется нормальным сечением,отвечающим точке r(u1 , u2 ) и касательному вектору v. Из теоремы 8вытекаетСледствие 1 Кривизна нормального сечения γu1 ,u2 ,v равнаk=±II(v, v).I(v, v)Причем правая часть берется с положительным знаком, если нормалик поверхности и к нормальному сечению совпадают и с отрицательным знаком в противном случае.Возникшая в этих вычислениях билинейная форма II называетсявторой квадратичной формой поверхности.Задача 5.
Пусть поверхность задана как график функции:x1 = u1 , x2 = u2 , x3 = f (u1 , u2 ).Тогда первая квадратичная форма имеет видE = 1 + f12 , F = f1 f2 , G = 1 + f22 ,вектор нормали к поверхности задается формулой1(−f1 , −f2 , 1)m= p1 + f12 + f22и вторая квадратичная форма имеет видf12f22f11, M=p, N=p,L= p22221 + f1 + f21 + f1 + f21 + f12 + f22где через fj1 ...jk мы обозначаем ∂ k f /∂uj1 . . . ∂ujk .Задача 6. Пусть задана функция f (x).
Рассмотрим поверхность вращения графика этой функции:r(u, v) = (u, f (u) cos v, f (u) sin v).Тогда первая квадратичная форма имеет видE = 1 + f ′2 , F = 0, G = f 2 ,19вектор нормали к поверхности задается формулой1m= p(f ′ , cos v, sin v)1 + f ′2и вторая квадратичная форма имеет видff ′′, M = 0, N = p.L = −p′21+f1 + f ′2§7.
Гауссова кривизнаОтношение II(v, v)/I(v, v) называется нормальной кривизной поверхности в направлении v.Лемма 7 Пусть на векторном пространстве RN заданы две симметричные билинейные формы I и II, причем форма I положительно определена. Тогда в RN существует такой базис e1 , . . . , eN , что в этомбазисе формы принимают видI(v, w) = v 1 w1 + . . . + v N wN , II(v, w) = λ1 v 1 w1 + . .
. + λN v N wN(т.е. форма I задается единичной матрицей, а форма II — диагональной).Доказательство этой леммы из линейной алгебры несложно. Рассмотрим форму I как скалярное произведение на RN и с помощью ортогонализации Грама–Шмидта найдем ортонормированный базис в RN .Теперь рассмотрим II как симметричную билинейную форму на RN сскалярным произведением I. Известно, что любая такая форма диагонализируется в каком-то ортонормированном базисе ([4]).
Лемма 7 доказана.Обозначим теперь через Tx Σ касательную плоскость к поверхностиΣ в точке x. На ней заданы квадратичные формы I и II. Применим вэтой ситуации лемму 7 и получим, чтоЛемма 8 В Tx Σ можно выбрать базис e1 , e2 , в котором формы I иII одновременно диагонализируются: I(v, w) = v 1 w1 + v 2 w2 и II(v, w) =k1 v 1 w1 + k2 v 2 w2 .20Направления векторов e1 и e2 называются главными направлениямии они определены однозначно, если k1 6= k2 .
Значения k1 и k2 нормальных кривизн вдоль главных направлений называются главными кривизнами. Они являются экстремальными значениями для нормальныхкривизн в точке, что следует из теперь очевидного утверждения:Теорема 9 (Формула Эйлера)II(v, v)= k1 cos2 ϕ + k2 sin2 ϕ,I(v, v)где ϕ — угол между векторами e1 и v.Главные кривизны не зависят от выбора базиса в касательном пространстве, а являются инвариантами пары квадратичных форм I и II:Лемма 9 Пусть симметричные (2 × 2)-матрицы I и II задают одноименные квадратичные формы поверхности. Тогда главные кривизны k1и k2 являются корнями уравненияP (λ) = det(II − λI) = 0.Доказательство.
Легко вывести, что, если в базисе e1 , e2 квадратичная форма J задается симметричной одноименной матрицей J: 1 w12·J ·J(v, w) = v v,w2и координаты v ′ в новом базисе e′1 , e′2 связаны с старыми уравнениемv = Av ′ , то в новом базисе форма J задается матрицей A∗ JA.Мы знаем, что в каком-то базисе k1 и k2 являются корнями уравненияdet(II − λI) = 0.Но так какdet(A∗ IIA − λA∗ IA) = det A∗ · det A · det(II − λI)и det A∗ = det A 6= 0, то в любом другом базисе аналогичное уравнениебудет иметь те же самые корни.
Лемма 9 доказана.Из леммы 9 следует, что произведение и сумма главных кривизн вточке поверхности являются геометрическими инвариантами:21— произведение главных кривизн в точке называется гауссовой кривизной поверхности в этой точке:det IILN − M=;det IEG − F 2— полусумма главных кривизн в точке называется средней кривизнойповерхности в этой точке:K = k1 k2 =H=k1 + k2.2Задача 7. В условиях задачи 5 гауссова кривизна имеет видK=2f11 f22 − f12.22(1 + f1 + f2 )2Задача 8. Для поверхности вращения (см. задачу 6) главные кривизныимеют видk1 = −гауссова кривизна равнаf ′′1,, k2 = p(1 + f ′2 )3/2f 1 + f ′2K=−f ′′f (1 + f ′2 )2и средняя кривизна равнаH=1 + f ′2 − f f ′′.2f (1 + f ′2 )3/2Задача 9. Гауссова кривизна гиперболического параболоида z = xy всюдуотрицательна и равна1K=−,2(1 + x + y 2 )2а гауссова кривизна круглой сферы x2 + y 2 + z 2 = R2 радиуса R всюду положительна и равна K = R−2 .Задача 9 проясняет геометрический смысл знака гауссовой кривизны:а) K > 0 в точке x ∈ Σ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
