1612042158-90530c46b2b5f80327459be4208f8d97 (542303), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Очевидно, что 3a2 =2a1 − c1 и мы выводим, чтоZZXK dσkg dl = 2πa2 − 2πa1 + πc1 + 2π(a0 − c0 ) +αj −γj41Vи, так как c0 = c1 , с помощью теоремы 19 мы получаемZZXK dσ =kg dl = 2π(a2 − a1 + a0 ) −(π − αj ) −γVj2π −Xj(π − αj ) −ZK dσ.VТеорема 20 доказана.Формула Гаусса–Бонне имеет ряд красивых следствий.Во-первых ее можно применить к замкнутым поверхностям в R3 ,т.е. к компактным поверхностям без края. Поверхность называется ориентируемой, если в касательном пространстве в каждой точке можновыбрать так ориентацию, чтобы она менялась непрерывно при движении точки по поверхности. Простейшими примерами таких поверхностейявляются тор и сфера.
Вырежем теперь из сферы и g кругов и получимсферу с g дырами. Возьмем g торов, из каждого из которых вырезанопо внутренности круга, и приклеим каждый из этих торов к сфере сдырами, отождествив граничные контуры. Мы получим сферу с g ручками. Известно, что каждая замкнутая ориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с ручками. Мы не будем вдаваться в топологическиедетали, отослав за ними к [2].Если ориентация на поверхности выбрана, то поверхность называетсяориентированной и по ней мы можем брать поверхностные интегралы([3]), в частности, интегралы от K dσ.Теорема 21 Пусть Σ замкнутая ориентированная поверхность в R3 .Тогда для любого ее симплициального разбиения ∆ZK dσ = 2πχ(∆).ΣДоказательство.
Всякое симплициальное разбиение можно так слегка пошевелить, что оно станет кусочно-гладким (это выводится из того,что любая функция на отрезке сколь угодно близко приближается полиномами). При этом числа вершин, ребер и треугольников не изменится.Предположим, что ∆ кусочно-гладкое разбиение и применим к каждому треугольнику из ∆ формулу Гаусса–Бонне (теорема 20). Просуммируем эти формулы и так как интегралы от kg по ребрам берутся дваждыс разными знаками, то получим в левой части нуль.
правая часть суммыравнаZ2πa2 − 3πa2 + 2πa0 −42K dσ,Σно 3a2 = 2a1 так как все ребра внутренние и мы в итоге получимZK dσ.2πχ(∆) =ΣТеорема 21 доказана.Следствие 4 Для замкнутой ориентируемой поверхности Σ эйлеровахарактеристика симплициального разбиения не зависит от разбиенияи определяется только поверхностью. Она называется эйлеровой характеристикой χ(Σ) поверхности Σ.Задача 16. Доказать, что эйлерова характеристика сферы с g ручкамиравна 2 − 2g и, в частности, эйлеровы характеристики сферы и тора равны 2и 0 соответственно.Другое замечательное применение формулы Гаусса–Бонне это формула для суммы углов треугольника. Область гомеоморфную треугольнику и ограниченную тремя отрезками геодезических называется геодезическим треугольником.Теорема 22 Сумма углов α1 , α2 , α3 геодезического треугольника △ наповерхности равнаZK dσ.α1 + α2 + α3 = π +△Доказательство теоремы немедленно следует из формулы Гаусса–Бонне с учетом того, что геодезическая кривизна сторон геодезическоготреугольника всюду равна нулю.
Из теоремы следует, что, если K положительна, то суммы углов треугольников больше π, а, если отрицательна, то меньше.§13. Минимальные поверхностиОбобщением геодезических на двумерный случай являются минимальные поверхности.На ориентируемой поверхности определена форма площадиqq2 du1 du2 .dσ = det (gij ) du1 du2 = g11 g22 − g12Выберем на поверхности Σ ⊂ R3 область W с компактным замыканиеми рассмотрим всевозможные однопараметрические гладкие деформации43Σε поверхности Σ = Σ0 такие, что часть поверхности, лежащая вне W , недеформируется. Площадь S(ε) деформируемой части Vε является гладкой функцией от параметра ε.
Поверхность называется минимальной,еслиdS(ε)=0dεε=0для любой такой деформации.Происхождение этого понятия довольно ясно: если мы имеем замкнутый контур γ в R3 и существует затягивающая его поверхность Σ такая,что она имеет наименьшую площадь среди всех поверхностей, ограниченных контуром γ, то эта поверхность Σ минимальна.В случае же геодезических мы рассматриваем 1-мерные объекты —кривые, минимизирующие 1-мерный объем — длину — среди всех кривых, ограниченных парой точек. Как и в случае геодезических минимальная поверхность, ограниченная контуром γ, не обязательно реализует минимум функционала площади — она лишь формально удовлетворяет уравнениям Эйлера–Лагранжа для этого функционала, которые мыи выведем.Теорема 23 Регулярная поверхность Σ, заданная отображением r :U → R3 , является минимальной, если и только если ее средняя кривизна всюду равна нулю:H = 0.Доказательство.
Пусть V подобласть U и γ граница V . Деформацияповерхности, сосредоточенная на V , имеет видrε (u1 , u2 ) = r(u1 , u2 ) + εϕm + O(ε2 ),где функция ϕ равна нулю вне V . Площадь продеформированной частиrε V равнаZ q(rε1 , rε1 ) (rε2 , rε2 ) − (rε1 , rε2 ) (rε1 , rε2 ) du1 du2 .S(ε) =VТак какrεk = rk + εϕmk + εϕk m + O(ε2 )и (r1 , m) = (r2 , m) = 0, мы выводимrεi , rεj = (ri , rj ) + εϕ ((ri , mj ) + (rj , mi )) + O(ε2 ).44Из (11) следует, что (ri , mj ) = −bij , и мы получаемS(ε) =Z sV1 − 2εϕS(0) − εZVb11 g22 + b22 g11 − b12 g21 − b21 g12+ O(ε2 ) dσ =2g11 g22 − g12b11 g22 + b22 g11 − b12 g21 − b21 g12ϕ dσ + O(ε2 ).2g11 g22 − g12Сумма корней k1 и k2 уравнения P (λ) = det(bij − λgij ) = 0 равна, каклегко проверить,k1 + k2 =b11 g22 + b22 g11 − b12 g21 − b21 g122g11 g22 − g12и по лемме 9 это в точности удвоенная средняя кривизна поверхности:2H = k1 + k2 .В итоге получаемZdHϕ dσ.S(ε)= −2dεVε=0Эта величина обращается в ноль при всех деформациях, т.е.
для любыхгладких функций ϕ равных нулю на границе V , если и только если H =0.Теорема 23 доказана.Задача 17. Доказать, что1) поверхности вращения (см. задачу 6), полученные вращением графиков функций f (x) = a cosh(x/a + b), где a 6= 0, минимальны (они называютсякатеноидами);2) если поверхность вращения минимальна, то она является катеноидом.45Список литературы[1] Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Москва, Наука, 1969.[2] Дубровин Б.
А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Москва: Наука, 1986.[3] Зорич В. А. Математический анализ. Москва: Наука, 1981.[4] Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. Москва: Наука, 1970.[5] Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. Москва, Наука,1969.[6] Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.Москва: Наука, 1969.46.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
