Пограничный слой (538379), страница 7
Текст из файла (страница 7)
и 71 = ч. у/ч, можно представить закон степени 1/7 для распределения скоростей в виде: 1Р = 8,7471 Решив уравнение (5) относительно ч.„, получаем: ч. =0,150 и"~( — ) "8. У Тогда ч. У Уравнение (5) можно обобщить и на другие показатели степени, придав ему вид ц ч. у — = С(п) ( )"" . ч. ч Значения коэффициента С(п) при различных и предствлены в табл. 1. Таблица 1 36 ч 0 0~25 7~4( )п4 (б) К В соответствии с результатами экспериментальных исследований мы имеем: и.„у при и= < 5 — чисто ламинарное трение; У ~*~ у при 5<п= < 70 — ламинарно-турбулентное трение; ч (7) ч.„, у при и= > 70 — чисто турбулентное трение; ч Отсюда следует, что для гладкой стенки толщина вязкого подслоя б, =5И ъ.„.
ПРОФИЛИ СКОРОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ Обратимся снова к уже известной нам гипотезе Прандтля, в соответствии с которой при турбулентном течении вблизи стенки длина пути перемешивания пропорциональна расстоянию у от стенки, то есть Р=ж у, где ж - безразмерная величина, определяемая опытным путем и равная 0,4. В этом случае касательное напряжение турбулентного трения т, можно выразить зависимостью: Й~ т,=р(жу) ( )2 оу Далее предположим, что касательное напряжение постоянно, то есть т,=т„.
Тогда, с учетом динамической скорости ч,„, можно записать: дп йи ч. ч. =ж у ( ), откуда с1у йу ж у Проинтегрировав это уравнение, получаем Ч'д и= — 1пу+С. (8) ж Постоянная интегрирования С должна быть определена из условия на стенке. Это даст возможность сомкнуть распределение скоростей в турбулент- 37 ном ядре и в вязком подслое. Если подставить в последнее уравнение условие: при у=О о=О, то С=О, а далее при у-+О получается абсурдный результат: и-+ос. Поэтому необходимо учесть силы вязкости (ламинарное касательное напряжение), которые велики непосредственно у стенки. Учитывая только силы вязкости, уравнение движения можно представить в виде й и/йу =О, откуда следует, что ди/оу=сопз1 и и=с~ у+с2, т.е в вязком под- 2 2 слое имеет место линейное изменение скорости.
С учетом динамической скорости ч. можно записать й~ т =и =ц =рч. ~1у плач где и,- — скорость на внешней границе вязкого подслоя, то есть при у=5„ Отсюда, 2 У~~ Определим постоянную С уравнения (8) из условия: при у=о„и=и,. В результате получим: Ч,~и~ ч.„ч и„ С= ц,. - 1п б„, = и, - 1и ( — ).
2 ж ж ч. Подставляя значение С в формулу (8), получаем: и 1 уч. — = — 1п + ~3, (9) ч,.„ж У где ~3 - безразмерная постоянная, зависящая от свойств стенки, равная цг 1 цг ~3 = — - — 1п и определяемая экспериментально ч.„ ж ч.„ Используя известные безразмерные параметры <р и ц, запишем логарифмический закон в сокращенном виде: ~р(т)) = А, 1пп+ В,, где А~ = 1/ ж =2,5; О1 = 13. С учетом результатов экспериментов можно утверждать, что при больших числах Рейнольдса (Ке=10'... 3,4 10 ) универсальный логарифмический закон распределения скоростей в гладких трубах имеет вид: у=2,51пц+5,5 или у=5,7518з1+5,5. (10) При обтекании пластины логарифмический закон распределения скоростей имеет вид: у=2,54 1п~1+ 5,56 или у = 5,85 1щ+ 5,56.
38 Еще раз отметим, что универсальный логарифмический закон распределения скоростей выведен для такого турбулентного течения, в котором за исключением тонкого слоя в непосредственной близости от стенок учитывается только турбулентное касательное напряжение. Ламинарное же трение в расчет не принимается.
Такое допущение оправдывается при очень больших числах Рейнольдса. В непосредственной близости от стенки, где турбулентное касательное напряжение близко к нулю, а ламинарное касательное напряжение играет существенную роль (в вязком подслое),имеет место отклонение от закона (10). При течении в вязком подслое получено линейное изменение скорости ц уу ~р или р = 11. При очень больших числах Рейнольдса (Ке=10'... 3,4-10 ) коэффициент сопротивления Х определяется из выражения универсального закона Прандтля для гладких труб: 1 = 2,01 1я(Ке сГТ) - 0,8.
При меньших числах Рейнольдса (Ке(10 ) ламинарное трение необходимо учитывать не только в очень тонком пристеночном слое, но и во всем течении. В результате мы получили известный степенной закон распределения скоростей: ц ч.,„у — = С(п) ( )"" или с учетом принятых обозначений ч. 5=57 цоо Для круглой трубы при ламинарном течении (при Ке<2300) закон сопротивления имеет вид: Х =64/ Ке.
(13) ЧКЧ) = С(п) т1 (11) При ламинарном течении распределение скоростей в пограничном слое толщиной б удобно выразить уравнением кубической параболы: и 3 у 1 у — = — ( )- — ( — )', (12) цоо 2 б 2 б где б — толщина динамического пограничного слоя, которая связана с продольной координатой х выражением ПРОФИЛИ ТЕМПЕРАТУРЫ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ б,= ГБ„з ГР Для капельных жидкостей, как правило„Рг>1, и, следовательно, б, <б.
Для газов число Прандтля изменяется в пределах от 0,6 до 1,и в практических расчетах различием б, и б можно пренебречь. В случае б, »б, что имеет место для жидких металлов, пользоваться зависимостью (14) нельзя. Вернемся к тепловому подслою в турбулентном пограничном слое. Поскольку в этом подслое перенос теплоты определяется теплопроводностью, изменение температуры по его толщине описывается уравнением прямой, как для плоской стенки. Распределение температуры в ламинарном подслое б„„может быть представлено в виде: О=Ргп, (15) Аналогично вязкому подслою непосредственно у стенки можно выделить тепловой подслой.
Он характеризуется преобладанием переноса теплоты теплопроводностью над турбулентным переносом. Совпадение толщин вязкого подслоя б,, и теплового подслоя б„„имеет место при Рг=1. При Рг>1 имеем, что 5„„>5, . Последнее неравенство равносильно утверждению, что в части подслоя от у=б„„ до у=б, теплота переносится не только теплопроводностью, но и пульсациями. Пульсации, проникающие в подслой, оказываются существенными для теплового переноса, но не дают значительного вклада в перенос количества движения по сравнению с молекулярным вязкостным переносом. Такой характер течения в особености должен проявляться для очень вязких жидкостей, имеющих Рг»1.
Для малотеплопроводных .очень вязких сред тепловой подслой является основным термическим сопротивлением. Для сред, имеющих Рг«1, должна иметь место обратная картина. В обычных условиях из-за интенсивного турбулентного переноса толщины теплового 5, и динамического б пограничных слоев практически совпадают. Для ламинарного течения при условии Рг=1 толщины теплового б, и динамического б пограничных слоев связаны соотношением б, 1 (14) б 'ГГ а с учетом зависимости для динамического пограничного слоя 5 при ламинарном течении толщина теплового пограничного слоя б, определяется выражением: 5х 4О где 0 — безразмерная температура, представляющая собой отношение О=О/О.„; Π— разность температур О = Т - Т„; О.,„— температура, соответствующая выра- жению О.„.=с1Дрсрч. ); с1, — турбулентный тепловой поток, определяемый в со- ответствии с гипотезой Прандтля выражением Йп ЙТ Ч, = - Р с,(1*)' ~ ф оу Распределение температуры в зоне логарифмического распределения скорости можно описать логарифмическим законом: Рг, 0= (16) 1п 11+ ся(Рг), =0= ТОО Т %ю В общем случае при сжимаемом течении (русопят), зависимость температуры от скорости определяется выражением, которое выводится из системы дифференциальных уравнений неразрывности, движения, энергии, состояния и зависимостей, связывающих теплофизические характеристики жидкости с температурой 1лекция №2, формулы (5)-(8) и (10)1 в стационарном состоянии и при условии пренебрежения архимедовой подъемной силой: г (при Рг=1) (17) Т(п)=- +С1п+Сг, 2ср где С1 и С вЂ” постоянные интегрирования, которые должны быть определены из граничных условий.
(18) яе где сц(Рг) — функция числа Рг, учитывающая изменение температуры, связанное с неравенством толщин подслоев б„„и б„,; Рг, — турбулентное число Прандтля, Рг,= р„с,й,. Знание распределений скорости и температуры в пограничном слое позволяет рассчитать теплоотдачу с помощью интегральных уравнений теплового потока и импульса 1лекция №3- формулы (24) и (16)1. При ламинарном течении вдоль плоской пластины профили скоростей и профили температур, если не учитывать тепло, возникающее вследствие трения, и если число Прандтля равно 1, тождественно совпадают. То же самое имеет место и при турбулентном обтекании плоской пластины при условии, что кроме равенства Рг=1 выполняется также равенство Рг,=1.
Это означает, что для обмена импульсов и теплообмена предполагается один и тот же механизм. В случае несжимаемой жидкости (р=сопа1), то есть при малых скоростях течения, мы имеем: Т-Т„ и 41 В случае теплоизоированной стенки при йр/Ох~О граничными усло- виями являются: 1)при у — +со ц=ц00 и Т=Т00, 2) при у=О ц=О и (дТ/ду)=0, то есть поток тепла от стенки к жидкости отсутствует. Для осуществления это- го условия наружный слой тела должен быть полностью непроницаем для теп- ла. Тогда тепло, возникающее вследствие трения в протекающей мимо жидкости, будет до тех пор нагревать стенку, пока не установится состоя- ние (дТ/ду) о=О. В результате температура стенки Т„станет выше температуры жидкости, находящейся на достаточно большом расстоянии от стенки Т00.
Эта температура Т, называется равновесной температурой стенки. Условие (дТ/ду) 0=0 легко преобразовать в (ЙТ/йц) 0=0, умножив и раз- делив на дц (дц/ду~О). Тогда из второго граничного условия мы получаем, что С1=0, и распределение температур в ламинарном пограничном слое определя- ется выражением: 1 (цоо -ц) 2 2 (21) Тоо Т(ц)= Тоо + 2ср откуда при ц=О найдем равновесную температуру стенки Т=Т;. 2 ц00 Те= ТОО + (20) 2ср Введя число Маха М= ц00/а00, где а00~=(ф-1) ср Т00, перепишем соотношение (20) в виде: 1с-1 Т„= Т00 (1+ — М ) (при Рг=1). 2 Разность (Т, - Т00) представляет собой повышение температуры тепло- изолированной стенки„вызываемое теплом, возникающим вследствие трения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
