Пограничный слой (538379), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Таким образом, рассмотренные в предыдущей лекции №2 уравнения (18) — (23) вместе с начальными и граничными условиями (1) — (5) отражают непосредственное влияние различных воздействий на осредненные параметры течения в пограничном слое, а, следовательно, на интенсивность теплоотдачи, трение, эффективность завесы.
Опосредованное влияние, имеющее место лишь при турбулентном режиме течения, проявляется через изменение величин р, Х,. При ламинарном режиме течения р,. = Х, = О. при у = 0: ц=О; ч = 0; (8) - в ядре потока при у= оо: ц= цоо(х). (9) Проинтегрируем уравнение движения (6) по у от у=О (стенка) до у=Ь, причем Ь выберем так, чтобы слой у=Ь лежал всюду вне пограничного слоя. В результате, с учетом уравнения Бернулли в дифференциальной форме с1цоо 1 с1р цоо — =- с1х р с1х получим: дц дц с1цоо 1 Ь д ц т„ 3(ц +ч -цоо ) с1У= — ~1с — с1У=- — . (10) 0 дх ду с1х р 0 ду р Поскольку о касательном напряжении на стенке т не было сделано никаких особых допущений, уравнение (10) можно применять как к ламинарным, так и к турбулентным течениям, если в последнем случае под ц и у понимать осредненные по времени составляющие скорости.
Далее, проинтегрировав уравнение неразрывности по у, находим поперечную скорость ч: у дц м= - 1 — с1у. О дх Подставив выражение для ч в уравнение (10), получим: Ь дц дц у дц с1цоо т„ 1(ц - )" — ау-цоо — )ау=-— о ~х ~у р с1х р Проинтегрировав по частям второй член в левой части (он подчеркнут), найдем Ьдц удц Ь дц Ь дц Ь дц Ь дц Ь дц 1( — 1 — с1у) с1у = ~0 — с1у) (1 — с1у) - Ь вЂ” с1у= ц 1 — с1у - ) ц — с1у 0 ду 0 дх 0 ду 0 дх О дх 0 дх 0 дх и уравнение (11) примет вид: Ь дц дц с1цоо т„ 1(2 ц — - цоо - цоо — ) с1у =- 0 дх дх с1х Р или Ь д с1цоо Ь т„ 1ц(цоо - ц)1 с1У + — 1(цоо - ц) с1У = (12) 0 дх с1х 0 Р Так как в обоих интегралах подынтегральные выражения вне пограничного слоя равны О, то в качестве верхнего предела интегрирования можно взять также Ь-+оэ . Кроме того, в первом интеграле можно переменить последова- гб (16) тельность дифференцирования по х и интегрирования по у, так как верхний предел не зависит от х.
Тогда выражение (12) приобретает вид: с1 о с1цоо 'о — ~М~оо- ц)1 с1У+ 1(цоо-ц) с1У. (13) р с1х О с1х О Ранее мы уже ввели определение толщины вытеснения о!, которая выражается посредством соотношения [в формуле (13) оно подчеркнуто]: б! цоо= 1(цоо - ц) с1у. у=о Введем также новую условную толщину - толщину потери импульса ог, которая выражается соотношением: бг цоо = 1ц(цоо - ц) с1у.
(15) у=о Тогда уравнение (13) приобретает вид: тв с1цоо (52 цоо ) + б1 цоо г р с1х с1х Уравнение (16) и называют уравнением импульсов для плоского несжимаемого пограничного слоя или интегральным соотношением Кармана. Как уже отмечалось ранее, поскольку о касательном напряжении на стенке т„не было сделано никаких особых допущений, уравнение (16) можно применять как к ламинарным, так и к турбулентным течениям. Теперь рассмотрим вывод интегрального уравнения энергии для ламинарного пограничного слоя при несжимаемом течении. Для этого умножим уравнение движения (6) на ц и затем проинтегрируем по у от у=О (стенка) до у=Ь>5(х).
Кроме того, вместо ч подставим выражение, полученное при интегрировании уравнения неразрывности (7): у дц ч= - 1' — ду. О дх В результате будем иметь: 1! дц дц у дц с1цоо 1! д ц р 1 1ц' — - ц — (! с1у) - ц цоо — 1с1у =1с ! ц — с1у . (17) Проинтегрировав второй (подчеркнутый) член выражения (17) по частям, получим: 1! дц у дц 1 Ь дц ! 1ц (1 — с1у)1с1у = — 1(цоо'- ц') 0 ду О дх 2 о дх Первый и третий члены левой части выражения (17) представим в сле- дующем виде: Ь ди сспоо 1 Ь с1 ] [и2 - и и ] с1у Ь (и2- иоо~) с1у.
О дх с1х 2 О с1х Таким образом, левая часть выражения (17) представляет собой р Ь с1 дп р Ь с1 — — (и2 - поо2)+(п2 поо2) ] с1у ] [ и (и2 - иоо2)]с1у. (18) 2 О с1х дх 2 О с1х Прежде чем интегрировать по частям правую часть выражения (17), про- дифференцируем исходное уравнение движения (6) по у применительно к ус- ловиям стенки, т.е. при У=О . В результате мы получим, что д~и ( — ) =о.
ду Тогда, Ь д~п Ь ди И Ь вЂ” ду= - И 1( — )' ду. (19) о ду' О ду Приравнивая правые части выражений (18) и (19), а также, как и прежде, во-первых, заменяя верхний предел интегрирования У=В на у=со на том осно- вании, что в обоих интегралах подынтегральные выражения вне пограничного слоя равны О, а, во-вторых, меняя в первом интеграле последовательность дифференцирования по х и интегрирования по у, так как верхний предел не за- висит от х, получим следующее выражение уравнения энергии: р с1 со ди — — ] [и (поо'- и') ] с1У = 1с [( )' с1У. (20) 2 с1х О О ду В формуле (20) величина сс(дп/ду) представляет собой энергию единицы объема, преобразующуюся в течение единицы времени вследствие трения в те- пло — энергию диссипации.
г г Величина р(иоо - и )/2 означает механическую энергию (сумму энергии давления и кинетической энергии), теряемую в пограничном слое вследствие понижения скорости течения в нем по сравнению со скоростью потенциально- го течения. Следовательно, величина р со г ] 2 о является потоком потери энергии, а вся левая часть равенства (20) является изменением потока потери энергии на единицу длины в направлении х. (22) Рис.3.1. Пограничный слой с линейным распределением скоростей." б- толщина пограничного слоя; 51 - толщина вытеснения; бз - толщина потери импульса; бз - толщина потери энергии х В результате подстановки распределения скоростей и в формулы (14), (15), (21) получаем следующие значения: толщина вытеснения б~ = (1/2) б, толщина потери импульса бз= (1/6) б, толщина потери энергии бз= (1/4) б.
Для теплового пограничного слоя интегральное уравнение нотока тепла при ламинарном стационарном течении несжимаемой жидкости получается по аналогии с динамическим пограничным слоем в результате интегрирования по у от у=О до у=ос дифференциального уравнения энергии (8), полученного на предыдущей лекции №2.
При этом теплом, возникающим вследствие трения и сжатия, пренебрегаем. В результате интегральное уравнение потока тепла имеет вид: Введем еще одну условную толщину — толщину потери энергии бз, определяемую соотношением: бз поо'=1п(поо' - и') ду. (21) у=О Тогда выражение (20) принимает вид: с1 м> дц — (бз поо ) = 2 з' 1( — ) ду. дх о ду Соотношение (22) является интегральным уравнением энергии для ламинарного пограничного слоя при несжимаемом течении. Для турбулентного течения интегральное уравнение энергии имеет следующий вид: о т дп — (бз поо ) = 2 1( — ) ( — ) с1у (23) дх о р ду Для более наглядного представления о толщине вытеснения б„толщине потери импульса бз и толщине потери энергии бз вычислим эти условные толщины для линейного распределения скоростей и= (поо/5)у в пограничном слое (рис.3.1).
и со дТ вЂ” [ [и (Т - Тоо ) 1 ду = - а ( )г~, (24) йх 0 ду где а — коэффициент температуропроводности, а=1/(рср). Уравнение (24), соответствующее уравнению импульсов (16) для динамического пограничного слоя, иногда также называют интегральным уравнением энергии.
Однако не нужно его смешивать с интегральным уравнением энергии (22). Для получения интегральных уравнений пограничного слоя при стационарном плоском течении сжимаемой жидкости введем понятия условных толщин (толщина динамического пограничного слоя, как и раньше, обозначена через 5): - толщина вытеснения 51 о ри 5,= 1'(1 - ) ду. 0 и (25) (27) Роо оо - толщина потери импульса 5г о ри и 5г=1 (1- — ) ду. (26) 0 роо поо поо - толщина потери энергии 5з о ри и г (1- ) "у. г 0 Роо цоо поо - толщина увеличения энтальпии 5„ о ри ( — -1) ду. (28) 0 Роо поо 1оо - толщина потери скорости 5„ а 5„= 1"(1 - ) ду, (29) 0 поо где 1, [оо — значения местной энтальпии и энтальпии на внешней границе пограничного слоя соответственно.
Как видно, по сравнению с несжимаемой жидкостью мы ввели два новых понятия - толщину увеличения энтальпии 5„и толщину потери скорости 5„. Кроме того, формулы (25) — (29) учитывают, что жидкость сжимаема, т.е. р~сопз1. Поэтому эти формулы включают отношение местной плотности р к плотности на внешней границе пограничного слоя роо, а вид формулы (29) для толщины потери скорости сжимаемой жидкости и формулы (14) для толщины вытеснения несжимаемой жидкости, по существу, одинаков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
