Пограничный слой (538379), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Два жидких объема, один из слоя (у~-Р), а другой из слоя (у~+Р), попадают в слой у1 и располагаются в нем один за другим так, что быстро перемещающийся объем (у1+1*) оказывается позади медленно перемещающегося объема (у1-Р). В таком случае оба объема сталкиваются со скоростью 2и'и получают при этом боковое отклонение, в результате чего возникает поперечное движение, направленное в обе стороны от слоя уь Если же впереди оказывается быстро перемещающийся объем, то они удаляются один от другого со скоростью 2и'. В этом случае образующееся между обоими объемами промежуточное пространство заполняется окружающей жидкостью, вследствие чего возникает поперечное движение, направленное с обеих сторон к слою уь Из этих рассуждений следует, что величина поперечной скорости ч' имеет такой же порядок, как и величина продольной скорости и'.
Поскольку предполагается, что касательное напряжение турбулентного трения т, пропорцонально произведению осредненных скоростей ц' и ч' ~т, — и' ч'), то это напряжение можно выразить зависимостью: д и ! (12) ду д и Р() (11) ф ф так как при изменении знака производной Й и/Йу должен меняться и знак касательного напряжения т,. Для ламинарного течения касательное напряжение т выражается, как известно, уравнением закона трения Ньютона: й~ Чтобы выражение касательного напряжения при турбулентном течении имело вид, аналогичный ламинарному течению, был введен коэффициент турбулентного переноса количества движения р, который, как видно из сопоставления формул (11) и (12), равен Й н р =р(1*) ! !. (13) с1у Рассуждения аналогичного характера относительно турбулентного переноса теплоты приводят к получению выражения для турбулентного теплового потока с1, й и й Т с1, = - р с„(1*) (14) йу ду Для ламинарного течения тепловой поток с1 выражается, как известно, уравнением закона Фурье: дТ Ч= ~ (15) ф Чтобы выражение теплового потока при турбулентном течении имело вид, аналогичный ламинарному течению, был введен коэффициент турбулентного переноса теплоты Х„который, как видно из сопоставления формул (14) и (15), равен д и Х, = р с„(Р*)' ! (16) оу Из сравнения формул (13) и (16) видно, что коэффициенты Х, и р, связаны выражением Х„= срц,.
Коэффициенты Х, и р не являются физическими параметрами среды. Они зависят от параметров процесса и, следовательно, могут изменяться в рассматриваемом пространстве. Обычно полагают, что коэффициенты Х, и р, за- 21 висят от тех же факторов (переменных), от которых зависят поля осредненных скорости Ж и температуры Т . Чтобы иметь замкнутую систему дифференциальных уравнений турбулентного течения, необходимо установить связь между длиной пути перемешивания 1' и характерными длинами в рассматриваемом течении.
В пристенной области турбулентного течения масштаб турбулентности 1", как и турбулентный перенос количества движения и теплоты, должен уменьшаться по мере приближения к стенке из-за воздействия последней. Согласно Г1рандтлю Р=ж у. (17) Гипотеза Прандтля (17) вполне уместна, так как на стенке турбулентное касательное напряжение равно О, поскольку здесь пульсационное движение исчезает. Как показывают измерения и расчеты, в пристенной области турбулентного течения безразмерную величину ж можно считать равной 0,4.
Таким образом, используя модель турбулентного течения, предложенную Прандтлем, можно на основе системы дифференциальных уравнений (5)-(10) пограничного слоя л,ля ламинарного течения получить систему дифференциальных уравнений пограничного слоя для турбулентного течения (для упрощения записи верхняя черта осреднения у параметров и, ч, тч, р - опущена): - уравнение движения: дп дп ди др д ди р( — +ы — +ч — )=- — + — ~(р+р ) — 1+рд Р(Т-Тоо) (18) дт дх ду дх ду ду - уравнение энергии: дТ дТ дТ д дТ дц др др р ср( — +и — +ч — ) = — [(Х+Х,) — ]+(р+р,„) ( — ) + +и —; (19) дт дх ду ду ду ду дт дх - уравнение неразрывности: др д(рп) д(рч) — + + =0; (20) дт дх ду - уравнение массообмена: дш; дш; д~ь,; р(и +ч — )=- —, (21) дх ду ду где гп; — относительная массовая концентрация 1-го компонента, равная отношению местной концентрации данного 1-го компонента смеси р; к плотности смеси р;)~; — поперечная составляющая плотности потока массы 1-го компонента смеси, равная для турбулентного течения: - зависимости, связывающие теплофизические характеристики жидкости или газа с температурой Т: ~л =~А (Т) ~ ср ср(Т) ~ Х Х (Т) (23) В общем случае турбулентное течение характеризуют также такими величинами, как кинетическая энергия турбулентного течения Е и степень турбулентности Ти: Е=О,5р( и'~+ ч'~+ ю'2); Ти— (25) % р2 ~2 р2 где и', ч', ч' — дисперсии пульсационных составляющих скорости в какой- либо точке турбулентного потока; % — осредненное во времени значение скорости в рассматриваемой точке.
дт; дщ дт; Ь;=- р  — - р е,— =- р(Р+83) ду ду ду где  — коэффициент молекулярной диффузии одного компонента относительно другого или коэффициент диффузии; е„— коэффициент турбулентного переноса вещества; - уравнение состояния (уравнение Клапейрона) — для газов р=рЖТ или зависимости плотности от температуры для капельной жидкости р=р(Т). (22) ЛЕКЦИЯ №3 УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ Для полного математического описания конкретно рассматриваемого процесса в пограничном слое необходимо к системе дифференциальных уравнений пограничного слоя присоединить условия однозначности или краевые условия, включающие геометрические, физические, начальные и граничные условия.
Геометрическими условиями задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс. Физическими условиями задаются теплофизические характеристики тела. В нашем случае это рассмотренные на предыдущей лекции №2 зависимости теплофизических характеристик от температуры (10) или (23). Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения скорости, температуры и концентрации активного компонента смеси в начальный момент времени, т.е. при т=О: и= по(х, у); Т= То (х, у); тп; =пт;о(х, у); (1) Граничные условия могут быть заданы следующим образом. Для т>0: - на поверхности тела при х = 0: и = и (у, т); Т = Т (у, т); пт; = т; (х, т); (2) при у=О: в=О; ъ=ч„(х, т); Т = Т„(х, т); пт;=пт;„(х, т) или при у=О: в=О; ~ =~ (х, т); дТ/ду=- ц„/Х; т;=ш;„(х, т); — в ядре потока при у=со: и= иоо'Т= Тоо пт; =т;оо 'ди/ду=О ' дТ/ду=О' дт;/ду =О.
(3) (4) (5) Давление р, а также скорость поо, температура Тоо и концентрация активного компонента смеси гп;оо за пределами пограничного слоя определяются в результате расчета невязкого идеального течения в ядре потока. Поэтому в задаче расчета пограничного слоя эти параметры считаются известными для каждого сечения х и каждого момента времени т. Для потока с переменным составом теплофизические свойства, зависящие не только от температуры, но и от состава смеси, определяются на основе термодинамического расчета состава и свойств по известным методам.
Граничные условия для уравнения энергии [лекция №2- формула (19)] записаны в двух формах: в виде условий (3) и (4). Условия (3), (4) используются при расчете пограничного слоя на охлаждаемой (или подогреваемой) поверхности, в результате которого могут быть определены коэффициенты 24 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Для получения решения системы интегральных уравнений пограничного слоя с достаточной точностью и при умеренной затрате времени необходимо отказаться от требования, чтобы дифференциальные уравнения удовлетворялись для каждой частицы жидкости,и ограничиться: 1) выполнением граничных условий на стенке и при переходе к внешнему течению; 2) выполнением только суммарного соотношения, получаемого из дифференциальных уравнений пограничного слоя как некоторое среднее по толщине слоя.
Такое среднее суммарное соотношение дает уравнение импульсов, получающееся из уравнением движения посредством интегрирования по толщине пограничного слоя. Уравнение импульсов часто называют также интегральным соотношением Кармана. Сначала выведем это соотношение для случая стационарного плоского течения несжимаемой жидкости, а затем, используя опробованный способ, получим интегральные соотношения и для нестационарных пограничных слоев.
Для случая стационарного плоского течения несжимаемой жидкости исходными дифференциальными уравнениями являются: - уравнение движения ди ди 1 др д и п +ч =- — +ч (б) дх ду р дх ду - уравнение неразрывности ди д~ — + — =О, дх ду а граничными условиями являются соотношения: - на поверхности тела (7) теплоотдачи. Условие (4) используется также при расчете пограничного слоя на теплоизолированной (адиабатной) поверхности (в этом случае ц =О; дТЯу=О), в результате которого могут быть определены адиабатная температура стенки и эффективность газовой (или тепловой) завесы в различных сечениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
