Пограничный слой (538379), страница 9
Текст из файла (страница 9)
СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА Из теории подобия мы знаем, что поля скоростей и температур, получаемые в результате решения системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, зависят в общем случае от 4-х безразмерных величин: числа Рейнольдса Ке, числа Прандтля Рг, числа Грасгофа бг и числа Эккерта Ес=поо /1ср (Т -Тоо)1, связанного с числом Маха М выражением Ес=ф.-1)М Тоо/(Т -Тоо). 49 (14) дцоо' д ц' + — ' > дх' ду" ди' ди' и' — + ч" = цоо дх' ду" дч" ди' (17) + =О, дх' ду" с граничными условиями: при у"=О: и"=~"=О; при у"=со: и'=иоо' В практических задачах в большей части случаев не требуется знать все особенности температурного и скоростных полей.
В отношении температурного поля обычно необходимо знать коэффициент теплоотдачи а или число Нуссельта 1Ч и=а//Х. В вынужденном конвективном течении существует примечательная связь между теплопередачей и сопротивлением трения в пограничном слое, на которую впервые указал О. Рейнольдс и которая поэтому названа аналогией Рейнольдса. Для получения математического выражения аналогии Рейнольдса рассмотрим уравнение пограничного слоя для стационарного плоского течения в безразмерном виде. Обозначим при этом безразмерные величины теми же буквами, как и размерные, но с добавлением штриха -' (как в 111). ди ди дцоо 1 д ц ц' — + ~>' = цоо — +— (13) дх' ду' дх' Ке ду' ди' дч' — + — =О, дх' ду' где Ке — число Рейнольдса, составленное для скорости набегающего потока и99 и для характерной длины 1.: Ке= и99 Ь/~. Граничными условиями являются: при у'= О: и'= ч'=О; при у = 'с: ц = поо .
Из уравнений (13) и (14) видно, что при заданной форме тела, а следовательно,при заданном потенциальном течении и09'(х'), развитие пограничного слоя зависит только от одного параметра В.е. Преобразуем уравнения (13) и (14) к такому виду, который не содержит числа Рейнольдса. Для этого введем: ч и00 1. у цсо 1- ч"= ~'"1 ~е =— и у"= у'~ Ге = —, (15) цоо Ь ч В результате получаем вместо уравнений (13) и (14) следующие выраже- 50 В полученных уравнениях число Ке отсутствует.
Это означает, что решения системы уравнений (16) и (17), то есть и'(х', у") и ч"(х', у"), также не зависят от числа Ке. Изменение от числа Ке влечет за собой только внешнее преобразование пограничного слоя, увеличивающее поперечную координату и скорость в поперечном направлении в 1/з/' Ке раз.
Другими словами, для заланного тела безразмерные состааляююие скорости н/ом и Го/оее/з' ГоееЦ/ т яаляютсн функциями безразмерных координат хб. и /уд./Г~гцее/-// т и зги функции не зависят больше от числа Ке: ц х у — = Г1(,— ~ Ке); (18) поо 1- 1- (20) (22) х — Г Ке=1'( —, Г Ке). (19) поо Ь Ь Практическое применение этого закона подобия относительно числа Ке состоит в том, что достаточно выполнить для заданного тела один только расчет пограничного слоя в указанных безразмерных переменных, чтобы сразу же получить картину развития пограничного слоя для всех чисел Ке, при которых течение еше остается ламинарным.
Пренебрегая теплом, возникающим вследствие сжатия и трения, и учитывая подобие профилей скорости и температуры в ламинарном пограничном слое, по аналогии можно указать форму всех решений дифференциального уравнения энергии: Т-Т„х у О = = Гз (, — ~Г Ке, Рг) .
Тоо - '1'„1. 1. На основании закона Фурье для плотности потока тепла с1 можно составить выражение: дТ х с1=-/с ( — )у=о = — (Т - Тоо) '4 Ке Гзф(, Рг), (21) ду 1. Ь где обозначена Гзф функция 6 при у=О. Следовательно, местным числом Нуссельта Хи будет выражение: с1 1. х Хи= Ке 1зф (, Рг). р- (1 - Тоо) 1. Это выражение показывает, что если пренебречь теплом, возникающим вследствие сжатия и трения, то для всех ламинарных пограничных слоев число Хи пропорционально з~ Ке.
51 (24) (2б) 81 Я.е Рг р ср иоо то уравнение (27) принимает еще более короткий вид 1 8г„= сг„. (28) 2 Выражение аналогии Рейнольдса получено применительно к ламинарным несжимаемым течениям при постоянной температуре стенки и при пренебрежении теплом, возникающем вследствие трения. Однако полученные результаты можно распространить также на другие случаи, например, на обтека- На основании соотношения (18) местное касательное напряжение трения на стенке т равно ди Р х т =-р ( — );-о = — иоо 'Г Ке Г1* ( — ), (23) ду Ь Ь следовательно, местный безразмерный коэффициент сопротивления трения равен 2т„2 х сг= = 11*( — ) . р иапо~ ~Г Ке Ь Разделив (22) на (24), получаем: 1 х Ми= — сг Ке Г( —, Рг) .
(25) 2 Ь Уравнение (25) является математическим выражением аналогии Рейнольдса в наиболее общей форме, которая имеет место для всех ламинарных пограничных слоев. Если ввести местное число Нуссельта Хы„составленное для координаты х, а не для характерного размера 1., то выражение (25) приобретает вид: 1 Ми,= — с~„Ке„Г (Рг) . 2 Для продольно обтекаемой пластины при Рг=1: Г(Рг)=1 и в результате получается простейшая аналогия Рейнольдса между коэффициентом теплоотдачи и коэффициентом трения: 1 Хи„= са Ке„. (27) 2 Если использовать число Стантона 81, которое связано с другими критериями соотношением: Хи а (32) сг= Ке 5 Ке 0,445 А с~= (33) (1п К.е) ' Ке где А — постоянная, определяемая положением точки перехода ламинарной формы течения в турбулентную, т.е. зависящая от Ке, „р.
Значения величин А можно определить из табл.1. Таблица 1 10 310 3.10' 510 Ке, „р А 1050 8700 1700 3300 Приведем зависимости стандартных законов тенлообмена при различных условиях ламинарного течения согласно Г. Шлнхтингу: 1) Тепло, возникающее вследствие трения, не учитывается. Хп,.=0,564 ~ Рг 1 Ке, при Рг-+О, ние пластины с учетом тепла, возникающего и вследствие трения,н вследствие сжатия.
Для продольно обтекаемой пластины при ламинарном течении, то есть для Ке<10, зависимостью стандартного закона трения — закона Блазиуса- 5 является выражение: сг=1,328 Ке '". (29) При турбулентном течении для 510 <Ке<10 зависимостью стан- 5 7 дартного закона трения является: сг=0,074 Ке '", (30) а для Ке>10: 0,445 с~= (31) (1п Ке) ' Формулы (30) н (31) справедливы при условии, что пограничный слой турбулентен, начиная от передней кромки пластины. Однако в действительности пограничный слой вблизи передней кромки пластины остается ламинарным и становится турбулентным только на некотором расстоянии от передней кромки. Положение точки перехода определяется критическим числом Рейнольдса Кех„„, которое, в зависимости от степени турбулентности внешнего течения, может меняться в пределах от 3 10 до 3 1О .
Наличие лами- 5 6 парного участка на передней части пластины уменьшает сопротивление. С учетом существования ламинарного участка течения в передней части пластины формулы (30) н (31) стандартного закона трения преобразуются в следующие зависимости: 0074 А 53 (Зб) Хи„= (при Рг,=1), 1+ (ыг / ц„) (Рг-1) где иР— скорость на внешней границе ламинарного подслоя.
В действительности переход от одного слоя к другому происходит непрерывно и, следовательно, существует промежуточный слой, в котором молекулярный и турбулентный обмены одинаковы по порядку своей величины. Т.Карман, учтя это обстоятельство, вывел для связи между коэффициентом теплоотдачи и коэффициентом трения следующее уравнение: (сг„ /2) Рг Ке„ На„— (при Рг,=1). (37) 1+ 5М (аг„72) (Рг-1-';1а(1+(516) (Рг-1))) В предыдущих выражениях принималось, что Рг,=1. Между тем измерения показывают, что Рг, отклоняется от 1.
Г. Райхардт получил для числа Нуссельта формулу: (сь /2) Рг Ке„ (38) Хи„— Рг, -г '( (аа 12) ((Рг- Рг,) а аА) Хп„=0,332 Ч Рг )' Ке, при О,б<Ргс10,) (34) Ми,= 0,339 з (' Рг )(' Ке„при Рг-+()() . Выражение для среднего числа Нуссельта Хи,р получается посредством интегрирования: Хи,,/~Г Ке~ = 2 Хц,/~Г Ке„. (35) 2) Тепло, возникающее вследствие трения, учитывается. В этом случае используются те же формулы (34) и (35), только число Нуссельта относится к разности температур (Т„- Т,), а не (Т„- Топ). Условием перехода тепла от стенки к жидкости является неравенство г цоо (Т„- Т,)>~ Рг 2с Отметим, что указанные зависимости (34) и (35) пригодны и для соответствующих сжимаемых течений.
Однако наиболее существенно то, что аналогия Рейнольдса находит применение также при турбулентных течениях и играет там важную роль при расчете теплопередачи. Если при турбулентном обтекании плоской пластины, кроме равенства Рг=1 выполняется также равенство Рг,=1, то, вследствие совпадения профилей скоростей и температур, соблюдается аналогия Рейнольдса (27) или (28). Л. Прандтль, сделав предположение о существовании резкой границы между турбулентным ядром и вязким подслоем (без переходной области), вывел, как и Дж.И.Тэйлор, зависимость, обобщающую аналогию Рейнольдса при любом числе Прандтля, в частности при Рг~1: (сР, /2) Рг К.е, где А — величина, являющаяся функцией числа Рг„которую можно определить выражением А=4(1- Рг,); а — величина, учитывающая теплопроводность в ла- минарном подслое и зависящая от отношения чисел Прандтля Рг/Рг,.
Значения величины а можно определить из табл. 2. Таблица 2 Рг/Рг, 1,44 0,5 0,72 2,0 10 20 5,0 30 100 200 1000 10,22 8,25 3 61 247 1,98 9,55 5,05 4,10 7,66 6.04 1,17 Экспериментальные исследования показали, что на распределение температуры и на теплопередачу влияют главным образом значения Рг, вблизи стенки. Влияние значений на более далеких расстояниях от стенки не столь существенно. При использовании уравнения (38) можно считать, что Рг, =0,9. Приведем зависимости стандартных законов теплообмена при турбулентном течении: ?Чц„= 0,0296 Ке,о'8 Рг о' з (Рг /Рг,) ' (39) (40) Выражения стандартных законов трения и теплообмена в виде зависимостей от числа Рейнольдса Кезз, построенного по толщине потери энергии оз, имеют вид: 1) для ламинарного пограничного слоя сг.
/2 =0,22 (Кезз) 1; 8го=0 22 (Кезз) Рг '; (41) 2) для турбулентного пограничного слоя сг„ /2 = 0,0143 (Ке з) о ~'; 810=0 0143 (Кев) а2' Рг а7' (42) где Яо — число Стантона, приведенное к стандартным условиям — безградиентному изотермическому движению несжимаемой жидкости. 55 ЛЕКЦИЯ №6 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ, ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА КУТАТЕЛАДЗЕ - ЛЕОНТЬЕВА Турбулентный пограничный слой, как уже установлено, имеет вязкий подслой. По мере роста числа Ке толщина вязкого подслоя убывает быстрее, чем толщина всего турбулентного слоя.
С уменьшением вязкости, при прочих равных условиях, динамический пограничный слой становится все тоньше, а поток приобретает характерные черты течения идеальной жидкости. Для общего рассмотрения этой проблемы введено понятие жидкости с исчезающей вязкостью. Характерной особенностью такой модельной жидкости является то, что ее вязкость и-+О, но никогда строго в 0 не обращается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
