physics_saveliev_2 (535939), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Выражая в соотношеннн (10.8) 1 дж н 1 к через еднннцы СГСЭ, найдем соотношение между вольтом н СГСЭ-ед. потенциала: 1 дж 10' эрг 1 1 э-— 1 к 3 1О' СГСЭ 300 — СГСЭ-ед. потенциала. Таким образолг, одна СГСЭ-едннпца потепппала равна 300 а. Используются также кратные электронвольту еди. ницы: 1 кэв (килоэлектронвольт) = 10т эв, 1 Мэв(мегаэлектронвольт) = !Оа эв, 1 Гэв (гигаэлектронвольт) = 10' эв. Отметим, что величина ЙТ, характеризующая среднюю энергию теплового движения молекул, равна при комнатной температуре 1 33 ГΠ— 23 300 з 1 вТ= ' ~25 10 эв — эв. 1,8 10 гз 40 41 В физике часто пользуются единицей работы и энергии, называемой электроивольтом (эв).
Под электрон- вольтом подразумевается работа, совершаемая силами поля над зарядом, равным заряду электрона (т. е. над элементарным зарядом е) при прохождении им разности потенциалов в 1 в: 1 эв=1,60 10 "к 1 в=1,60 ° 10 шдж=!,60 10 'з эре. й 11. Связь между напряженностью электрического поля н потенциалом В предыдущих параграфах было выяснено, что электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины Е, либо с помощью скалярной величины ф. Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Если учесть, что В пропорционально силе, действующей на заряд, а ~р — потенциальной энергии заряда, легко сообразить, что эта связь должна быть аналогична связи между потенпиальной энергией и силой.
Действительно, работа сил поля над зарядом д на отрезке пути с(1 может быть представлена, с одной стороны, как дЕ1г(1, с другой же стороны — как убыль потенциальной энергии заряда, т. е. как — с((д<р) — д †с. Приравнивая эти выражедф д) ния, получим дЕ,Ж= — д — Ж, дф дг откуда находим, что Е = — — ') дф д! (!1,1) где через ! обозначено произвольно выбранное направление в пространстве.
В частности, Š— — х- Е = — — Š— — (!1.2) дф дф дк ' а др ' * да ' откуда Е =1Еа+)Еа+(гЕ, — '(( дх +1 д +й д д<р . де дф'1 Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом скал яр а ф (обозначается йтас)гр)а), Используя обозначение градиента, можно написатгя Б = — пгабгр.
(11.3) ') Умножив обе части этого равенства на д, мы приходим н со. отношению дага 6--— д) (см. формулу (28.5), т. Ц. ') Для обозначения градиента применяется таюне символ Ч (набла): Рр а адЧ Таким образом, напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком. Градиент некоторой скалярной функции ф(х, у, г) есть векторная величина, обладающая следующими свойствами. Направление градиента совпадает с направлением и, в котором при смещении из данной точки функция ф, возрастая по величине, изменяется с наи. большей скоростью. Величина производной — по этому дф да направлению дает модуль градиента.
Частные производные —, —, — представляют собой проекции гра. дф дф дф дк ' ду ' дг диента на координатные оси х, у, г. Аналогично производная — , взятая по произвольному направлению 1„ дф будет проекцией градиента на это направление. Проекция градиента на перпендикулярное к нему направление т, очевидно, равна нулю: — = (). дф дт Поясним соотношение между напряженностью поля и потенциалом на примере поля точечного заряда. Потенциал этого поля выражается функцией [см.
(10.3)) ! ч ф= 4че, г +!г Рассмотрим точку поля 1, положение которой определяется радиусом- вектором г (рис. 21 выполнен в предположении, что д положителен). Очевидно, что при смещении из этой точки в разных направлениях на одинаковый по величине малый отрезок Ж наибольшее положительное прнрашение ф получается для направления от точки ! к заряду д, если заряд положителен, и для направления от заряда д к точке 1, если заряд отрицателен.
Следовательно, направление градиента и может быть представлено в виде е и=ч-— г (11»4) где знак « †» соответствует случаю положительного заряда, знак «+» — отрицательного. Проекция пгаб ф на направление г равна (агадир) = — = —— де 1 д дг 4лее гг ' (! 1,5) Знак « — » в этом выражении указывает на то,что пгаб<р в случае положительного заряда имеет направление, противоположное г, а в случае отрицательного заряда— совпадающее с г. Модуль йтаг(г!!, очевидно, равен модулю выражения (11.5), Поэтому, принимая во внимание (!1.4), можно написать ! ч г дгад<р = — — —— 4аее г' г (1 1.6) [легко убедиться в том, что условие (11.4) учитывается такой загщсью автоматически).
Использовав соотношение (11.3), получаем нз (11.6) для напряженности поля точечного заряда уже известную иам формулу (5.3). Формула (11.3) позволяет по нзвестнь!и значениям гр найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т. е. по заданным значениям В в каждой точке найти разность потенпиалов между двумя произвольными точками поля. Для этого учтем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом г! при перемещении его из точки ! в точку 2, молсет быть вычислена как Ам= ) пЕ!Л. ! Вместе с тем в соответствии с (10.6) та же работа может быть представлена в виде А „= ц йв, — <р,). Приравнивая друг другу эти два выражения и сокращая на г1, получаем !г! !ге = ) Егг(! (1 1.7) 1 Интеграл в правой части можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру !р! *= ~рз и формула (11.7) переходит в уже знакомое нам соотношение (9.2).
Используем формулу (11,7) для вычисления разности потенциалов между двумя бесконечными разно- +Д' именно заряженными плоскостямн. Напряженность поля между плоскостями, как мы установили в $ 8, всюду равна о/еи и направлена перпендикулярно к плоскостям. Соединим Рис. 22. Рис. 23. точки ! н 2, взятые произвольным образом на разных плоскостях, линией 1 — 1' — 2, как показано на рис. 22. Согласно формуле (11.7), 2 !' 2 <р,— <р,=) Е!Й=) Е!Ж+) Е!Ж. ! !' На участке ! — !' Е! — — 0; поэтому первое слагаемое в правой части равно нулю (отсюда следует, что потенциал точек 1 и 1' один и тот же).
На участке 1' — 2 Е! = Е = сопз1, следовательно, )' Е!Л=Е)' Й=Ес(, !' !' где с( — расстояние между плоскостями. Таким образом, <р! — !еи = Ег!. (11.8) Очевидно, что зтот результат справедлив для разности потенциалов между двумя точками, взятыми в однородном поле напряженности Е, причем под !( следует понимать в зтом случае проекцию расстояния 1!и между точками 1 н 2 на направление вектора Е (рис. 23). й 12. Эквипотенциальные поверхности Для наглядного изображения поля можно вместо линий напряженности воспользоваться поверхностями равногв потенциала или эквипотенцнальными поверхностями.
Как следует нз ее названия, эх вин отен ци альп а я п о в е р х н о с т ь — это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Если потенциал задан как функция х, у и г, уравнение эквнпотенциальной поверхности имеет вид ф(х, у, г) = сопз1. Направление нормали к эквнпотенциальной поверхности будет совпадать с направлением вектора Е Рис. 24. в той же точке.
Чтобы убедиться в этом, проведем в некоторой точке касательную т к поверхности 1рис. 24). При смещении вдоль т на бесконечно малую величину с1т потенциал ~р не изменится, так что — равно нулю. Но д~р ат — с точностью до знака равно проекции вектора Е на дч дт направление т. Следовательно, тангенциальная составляющая Е равна нулю, откуда вытекает, что вектор Е направлен по нормали к поверхности.
Учтя, что вектор Е вместе с тем направлен по касательной к линии Е, легко сообразить, что ливии напряженности в каждой точке ортогональны эквнпотенциальным поверхностям. Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть построено бесконечное множество.
Уславливаются, однако, проводить поверхности таким образом, ятобы разность потенциалов <рз+~ — щ для двух соседних поверхностей была всюду одна и та же. 'Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля. Действительно, чем гуще располагаются эквнпотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется потенциал прн перемещении вдоль нормали к поверхности. Следовательно, тем больше в данном месте нга4)у, а значит и Е. На рис.
25 показаны эквипотенциальные поверхности (точнее, их пересечения с плоскостью чертежа) для поля точечного заряда. В соответствии с характером изменения Е эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду становятся гуще. Для однородного поля эквипотенциальные поверхности, очевидно, представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению поля. Рис. 26. Рис. 25. На рис. 26 изображены эквипотенциальные поверхности и линии напряженности для поля диполя. Из рис,25 и 26 видно, что при одновременном использовании и эквипотенциальных поверхностей, и линий напряженности картина поля получается особенно наглядной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
