physics_saveliev_2 (535939), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В этом случае каждая линия наружу), либо минус единице (для линии, входящей внутрь). Таким образом, какова бы ни была форма замкнутой поверхности, охватывающей точечный заряд д, поток вектора Е сквозь эту поверхность оказывается равным д/еь. Пусть внутри некоторой замкнутой поверхности за. ключеио несколько точечных зарядов произвольных знаков: дь дз и т.
д. Поток вектора Е по определению ра- вен напряженности поля (создаваемого зарядами, расположенными вне поверхности) пересекает поверхность четное число раз, выходя наружу столько же раз, сколько и входя внутрь (рис. 12). В итоге вклад, вносимый в поток каждой из линий, будет равен нулю. Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью р '), теорема Гаусса должна быть записана следуюшим образом: ~ Е„г(5 = — ~ р с()г, (8. 4) Рис. 12. где интеграл справа берется по объему (г, охватываемому поверхностью 5.
В гауссовой системе в формулах (8.3) и (8.4) вл1есто 1/еч стоит множитель 4п. Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев найти напряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы (5.3) для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей. Продемонстрируем возможности теоремы Гаусса на нескольких полезных для дальнейшего примерах. ') Объемная плотность заряда определяется по аналогии с обычной плотностью следующим образом: р Ищ лр ар+о Л)г ' где Лд — заряд, заключенный внутри малого объема Л)г. Кроые объемной плотности зарида наи понадобятси в дальнейшем Ло поверхностная плотность и !нн — , ов+о Ло ' где Лд — заряд, находящийся на элементе поверхности ЛЯ, линейная плотность й !пп — , лд ю.+о Л! где Лд — заряд, находящийся на отрезке цилиндрического тела, имеющем длину Л!.
29 откуда а Е 2е, ' (8.5) Полученный нами результат не зависит от длины цилиндра. Таким образом, на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине. Картина линий напряженности выглядит так, как показано на рис. 14. Для отрицательно заряженной плоско- 1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости. Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной плоскостью, заряженной с постоянной поверхностной плотностью о; для определенности будем считать заряд положительным.
Из соображений симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление, перпендикулярное к плоскости. В самом деле, посколь- ку плоскость бесконечна н заря+а жена однородно (т. е, с постоянной плотностью), нет никаких оснований к тому, чтобы сила, действующая на пробный заряд, отклонялась в какую-либо сторону от нормали к плоскости, Далее очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля будет одинакова по величине и противоположна по направлению. Представим себе мысленно цилии; рическую поверхность с образующими, перпендикулярными,к плоскости, и основаниями величины ЬЯ, расположенными относительно плоскости симметрично (рнс.
13). Применим к этой поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку Е„ в каждой ее точке равна нулю. Для оснований Е„совпадает с Е. Следовательно, суммарный поток через поверхность будет равен 2ЕЛЗ. Внутри поверхности заключен заряд о 'ЬВ. Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие 2ЕЛЗ= —, озл сти результат будет таким же, лишь направление вектора Е и линий напряженности изменится на обратное. Если взять плоскость конечных размеров, например заряженную тонкую пластинку'), то полученный выше результат будет справедливым лишь для точек, расстояние которых от края пластинки значительно превышает расстояние от самой пластинки (нз рис. 16 область этих точек обведена пунктирной кривой).
По мере удаления от плоскости или приближения к ее краям поле будет Рис. )4. Рнс. )5. все больше отличаться от поля бесконечной заряженной плоскости. Характер поля на больших расстояниях легко представить, если учесть, что на расстояниях„ значи-. тельно превышающих размеры пластинки, создаваемое ею поле можно рассматривать как поле точечного заряда. 2. Поле двух разноименно заряженных плоскостей. Г1оле двух параллельных бесконечных плоскостей, заря>кенных разнонменно с одинаковой по величине постоянной поверхностной плотностью о, можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.
Легко видеть (рис, !6), что в области ') В случае пластинйи под а в формуле (8.5) следует понимать заряд, сосредоточенный иа ! мз пластинки по всей ее толщине. У металлических тел заряд распределяется по внешней поверхности. Следовательно, плотности и в формуле (8.5)' соответствует удвоенная величина плотности зарида на ограничивающих металлическую пластинку поверхностях. между плоскостями складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна Е= —. (8.6) В гауссовой системе эта формула имеет вид (8.7) Вне объема, ограниченного плоскостямн, складываемые поля имеют противоположные направления, таи что результирующая напряженность равна нулю. Таким, образом, поле оказывается сосредоточенным между плоскостями.
Напряженность поля во всех точках б Е. ти, Е, Рис. 17. этой области одинакова по величине и по направлению. Поле, обладающее такими свойствами, называется однородным. Линии напряженности однородного поля представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих прямых. Полученный нами результат приближенно справедлив и в случае плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостямн значительно меньше их линейных размеров (плоскнй конденсатор). В этом случае заметные отклонения поля от однородности н величины напряженности от а/ео наблюдаются только вблизи краев пластин (рис. 17), 3.
Поле бесконечного заряженного цилиндра, Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса Я, заряженной с постоянной поверхностной плотностью о. Из соображений симметрии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, а величина напряженности может зависеть лишь от расстояния г от оси цилиндра, Представим себе мысленно коаксиальную с заряженной поверхностью замкнутую цилиндрическую Рис.
18. поверхность радиуса г и высоты Ь (рис, 18). Для оснований этого цилиндра Е„ . О, для боковой поверхности Е„= Е(г) (заряд считаем положительным). Следовательно, поток линий Е через эту замкнутую поверхность будет равен Е(г) ° 2нгй. Если г) И, внутрь поверхносаи попадает заряд д = Лй, где Л вЂ” линейная плотность заряда. Применяя теорему Гаусса, получаем Е(г) ° 2пгй = —, Лй ер ' откуда 2 (8.8) 2яер г Если г (Я, рассматриваемая замкнутая поверхностЬ ие содержит внутри зарядов, вследствие чего Е(г) = 6. Таким образом, внутри заряженной цилиндрбческой поверхности бесконечной длины поле отсутствует. Напряженность поля вне поверхности определяется лишь 3 И.
В. Савельев, а. 11 линейной плотностью заряда )с') и расстоянием г от оси цилиндра. Поле отрицательно заряженного цилиндра отличается от поля цилиндра, заряженного положительно, только направлением вектора Е. Из формулы (8.8) следует, что, уменьшая радиус цилиндра гс (при неизменной линейной плотности заряда Х), вблизи поверхности цилиндра можно получить очень сильное поле, т. е.
по- у~ ле с очень большой напряг~ ' женностью Е. Учтя, что а = 2п)сп, для напряженности в непосредственной близости от по+ г' + верхности (г = Я) в соот+ + ветствии с (8.8) получаем Е(Р) = —. (8.9) С помощью принципа суперпозиции легко найти рнс, !9. поле двух коаксиальных цилиндрических поверхностей,, заряженных с одинаковой по величине, но отличающейся знаком линейной плотностью Х (рис. 19). Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле отсутствует.
В за~ воре между цилиндрами величина напряженности поля определяется формулой (8.8). Это справедливо и для цилиндрических поверхностей конечной длины, если зазор между поверхностями значительно меньше их длины (цнлиндрический конденсатор).
Заметные отступления от поля поверхностей бесконечной длины будут наблюдаться только вблизи краев цилиндров. 4. Поле заряженной сферической поверхности. Поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса )с, за ряженной с постоянной поверхностной плотностью о, будет, очевидно, отличаться центральной симметрией. Это означает, что направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а величина напряженности является функцией расстояния г от центра сферы.
Вообразим сферическую поверхность радиуса г. Для ') Предполагается, что заряд распределен равномерно не толь. ко вдоль оси цилиндра, но н по его поверхности (и = сопз1). всех точек этой поверхности Е„= Е(г). Если г > )с, внутрь поверхности попадает весь заряд о1, создающий рассматриваемое поле. Следовательнр, Е(г) ° 4ягт = т ео ' откуда Е(г) 4 * (г~~ м)' (8.10) 4иео ! В гауссавой системе в этой формуле нет множителв —.
4иео Сферическая поверхность радиуса г, меньшего, чем 1с, не будет содержать зарядов, вследствие чего для г < Е получается Е(г) = О. Таким образом, внутри сферической- поверхности, заряженной с постоянной поверхностной плотностью о, поле отсутствует. Вне этой поверхности поле имеет та- кой же вид, как поле точечного заряда той же величины, помещенного в центре сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
