physics_saveliev_2 (535939), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В гауссовой системе эта единица специального названия не имеет. В СИ единица напряженности электрического поля имеет название в о л ь т н а и е т р и обозначается а(м !см. формулу (! 1.8)). Согласно (6.3) заряд в 1 к создает в пустоте на расстоянии 1 и вапряженность Е 1 1 1 1з — 9 ° !оз е/м. 4я ° 9 1Оз Та же напряженность в гауссовой системе равна д 3 10з Š— — 3 !оз СГСЭ.единиц. ,з июз Сопоставляя оба результата, находим, что 1 СГСЗ-единица напряженности поля=а ° 1О' е/м. Согласно (5,2) сила, действующая на пробный заряд. равна т= 5„Е.
Очевидно, что на всякий точечный заряд а ') в точке поля с напряженностью Е будет действовать сила з =д ° Е. (5.5) Если заряд 5' положителен, направление силы совпадает с направлением вектора Е. В случае отрицательного а направления векторов г и Е противоположны. й 6. Суперпозиция полей. Поле диполя Опыт показывает, что сила, с которой система зарядов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности. Отсюда вытекает, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждьзй из зарядов системы в отдельности: Е=Е,+Ее+ .. ° =ХЕи (5.() Последнее утверждение носит название п р и н ци и а суперпозиции (наложения) электрических полей, Принцип суперпознции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов.
Разбивая протяженные заряды па достаточно малые дали Щ любую систему зарядов можно свести к совокупности точечных зарядов. Вклад каждого из таких зарядов в результирующее поле вычисляется по формуле (5.3). Воспользуемся принципом суперпозиции для нахождения напряженности поля электрического диполя. Электрическим ди пол ем называется система днух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов: +д и — д, расстояние между которыми ( ') В формуле (5.31 д означает зарнд, обусловливаюпзий поле. В формуле (5.5) через д обозначен заряд, испытывающий в точке с напряженностью В действие силы и значительно меньше, чем расстояние до тех точек, в которых определяется поле системы.
Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Найдем напряженность поля на оси диполя, а также на прямой, проходяшей через центр диполя и перпендикулярной к Рес. 4. его осн (рис. 4). Положение точек на этих прямых будем характеризовать их расстоянием г от центра диполя. Напомним, что в соответствии с определением диполя должно выполняться условие: г » й Поле в каждой точке будет представлять собой суперпозицию полей Е+ и Е, создаваемых точечными зарядами +д и — д. На оси диполя векторы Еэ и Е имеют противоположные направления.
Поэтому результирующая напряженность Е1 будет равна по модулю разности модулей векторов Е+ и Е: Пренебрегая в знаменателе 1/2 по сравнению с г, получаем Е1 ! 241 1 2р (б.2) 4яео ге 4лее где через р обозначено произведение ф, называемое электр и ч ее к и м моментом диполя. 21 Для точек на прямой, перпендикулярной к оси, Е+ и Е имеют одинаковые модули, равные ! д 1 + 4лее а+/1)е 4лео гт ' 12) Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на отрезок ! и на вектор Ех (рис.
4), следует, что Заменив в атом соотношении Е+ его значением (6.3), получим ! ч1 ! р Ех = — — = —— 4леа г~ 4лее га ' (6,4) Можно показать, что напряженность поля диполя в произвольной точке определяется формулой е — 'хуттг и (6.5) 4леце ге где а — угол между осью диполя и направлением на данную точку (рис. 5). Подстановка в (6.5) а = 0 (или л) и а, д приводит к формулам (6.2) и (6.4), Рис. 6. Рис, 6. В гауссоеой системе е формулах (6.2), (6.4) и (6.6) отсут.
1 стеует множитель —, 4лее Характерным для напряженности поля диполя является то, что она определяется ие величиной образующих диполь зарядов, а моментом диполя р 4. С рас- -У т ! 1 4 — —.о а) -а ! 1 ! !-М- т-.а(''у ы. о' еК з) стоянием от днпаля напряженность убывает как 1/гз, т. е, быстрее, чем напряженность поли точечного заряда (убывающая как ! /г'), Напряженность показанной на рис. 6, а системы зарядов, называемой к в адруполем, убывает с расстоянием еще быстрее — как !/г~.
Напряженность окту поля (рис. 6,б) убывает как 11г', Общим для диполя, квадруполя и октуполя является то, что алгебраическая сум- Р ма образующих их зарядов равна нулю. г Отметим, что помимо д и ! для полного определения диполя необходима Рнс т. задать еще и ориентацию оси диполя в пространстве. В соответствии с этим момент диполя следует рассматривать как вектор р. Этому вектору приписывается направление от отрицательного заряда к положительному (рис.
7). Если ввести радиус-вектор 1, проведенный от — д к +д, то момент диполя можно представить в виде (6.6) р = д1. 5 7. Линия напряженности. Поток вектора напряженности Электрическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора Е. Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля (ср. с полем вектора скорости, т. 1, $64). Поле вектора скорости можно, как мы знаем, представить очень наглядно с помощью линий тока.
Аналогично электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности, которые мы будем называть сокращенно линиями Е. Линии напряженности проводятся таким образом, чтобы касательная к ннм в каждой точке совпадала с направлением вектора Е. Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности перпендикуляррой к линиям площадки, было равно численному значению вектора Е. Тогда по картине линий напряженности можно судить о направлении и величине вектора Е в разных точках пространства (рис.
8). Линии Е точечного заряда, очевидно, представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если ои отрицателен (рис. 9). Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность, В самом деле, полное число У линий, пересекающих сферическую по- верхность произвольного радиуса 2 г, будет равно произведению густоты линий на поверхность сферы 4яге. Густота линий по усло- 1 е вию численно равна Е = — —, 4яее г' Следовательно, М численно равно Рис, 8 — —,4пг = —, (7Л) 1 4иее г' ее ' т. е. число линий на любом расстоянии от заряда будет одно и то же. Отсюда и вытекает, что линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются; они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность (заряд положителен), либо„приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде (заряд отрицателен).
Это свойство Рис. Ц линий Е является общим для всех электростатических полей, т. е. полей, создаваемых любой системой неподвижных зарядов: линии напряженности могут начинаться или заканчиваться лишь на зарядах либо уходить в бесконечность. Ниже, на рис. 26, показана картина линий Е поля диполя. 24 Поскольку густота линий Е выбирается равной численному значению Е, количество линий, пронизывающих площадку п5, перпендикулярную к вектору .
Е, будет численно равно Е Н5. Если площадка д5 ориентирована так, что нормаль к ней образует с вектором Е угол а, то количество линий, пронизывающих площадку, будет численно равно (ср, с формулой (82.12), т. 1): Еп5 сов п = Е„д5, (7.2) где Š— составляющая вектора Е по направлению нормали к площадке. Отсюда для количества линий Е, пронизывающих произвольную поверхность, получается следующее выражение: М численно равно ) Е„И5.
(7.3) Если имеется поле некоторого вектора А, то выраже- ние Ф= ~ Л„(5, (7.4) где А„— составляющая вектора А по направлению нормали к Н5, называется потоком вектора А через поверхность 5. В зависимости от природы вектора А выражение (7,4) имеет различный физический смысл. Так, например, поток вектора плотности потока энергии равен, как известно, потоку энергии через соответствующую поверхность (см. т.
1, $82). Предоставляем читателю самому убедиться в том, что поток вектора скорости дает объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность 5. Из формулы (7.3) следует, что поток вектора Е Ф= ) Епп5 (7.3) численно равен количеству линий Е, пронизывающих по. верхность 5. Как мы увидим в дальнейшем, понятие потока вектора напряженности поля играет большую роль в учении об электричестве н магнетизме. Заметим, что ноток (7.5) есть алгебраическая величина, причем знак его зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность 5 при вычислении Ф. Изменение направления нормали на тб' противоположное изменяет знак у Е„ а следовательно н знак у потока Ф. В случае замкнутых поверхно- стей принято вычислять поток, вы- Е ходящий из охнатываемой поверхностью области наружу. Соответственно под нормалью к гт5 в даЛьнейшем будет всегда подразумен заться обращенная наружу, т.
е. Рис. 1О. внешняя, нормаль. Поэтому в тех местах, где вектор Е направлен наружу (т. е. линия Е выходит из объема, охватываемого поверхностью), Е н соответственно сгФ будут, положительны; в тех же местах, где вектор Е направлен внутрь (т. е. линия Е входит в объем, охватываемый поверхностью), Е„ и ЫФ будут отрицательны (рнс. !О). $ 8. Теорема Гаусса В предыдущем параграфе было показано (см. формулу (7.1)), что окружающую точечный заряд д сферическую поверхность любого радиуса г пересекает д/ве линий Е'). Отсюда вытекает, что из.точечного заряда выходит (либо к нему сходится) д/ве линий (в гауссовой системе это число равно 4пд). В соответствии с формулой (7.3) поток вектора Е через некоторую поверхность численно равен количеству линий Е, пересекающих эту поверхность.
Следовательно, поток вектора Е через охватывающую заряд ') Разумеется, количество линий Е лишь численно равно д(еь Количество линий — безразмерная величина, выражение же д/ее имеет размерность. Однако мы для краткости будем условно говорить, что число линий равно Сфгав сферическую поверхность равен д/ео'). Знак потока совпадает со знаком заряда. Покажем, что и для поверхности любой другой формы, если она замкнута и заключает внутри себя точечный заряд д, поток вектора Е также будет равен ~у(ео. Для поверхности, не имеющей «морщин» (рис.
11, а), это утверждение является очевидным. Действительно, такая поверхность, как и поверхность сферы, пересекается каждой линией Е только б/ а! Рис. Ы. один раз. Поэтому число пересечений равно количеству линий, выходящих из заряда, т. е, фио. При вычислении потока через поверхность с «морщинами» (см.
рис. 11,6, на котором показана только одна из д/ео линий Е) нужно учесть, что число пересечений данной линии Е с поверхностью может быть в рассматриваемом случае только нечетным, причем эти пересечения будут вносить в общий поток попеременно то положительный, то отрицательный вклад. В итоге, сколько бы раз данная линия не пересекала поверхность, результирующий вклад в поток будет равен либо плюс единице (для линии, выходящей в конечном счете '1 В данном случае идет речь не только о численном раненстее. Размерность потока вектора В равна размерности Ч(еа. бг = ~ Е'» йЕ (8, 1) (крум<ок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутой поверхности).
В силу принципа суперпозиции полей Е„= Е„, + Е„, + ... = ~ Е»ь (8.2) Подставив (8.2) в выражение для потока, получим ~ Е„й5 = ~ ('~ Е„,) аЯ ~~~' ~ Е»1 аЯ, где Е т — нормальная составляющая напряженности поля, создаваемого 1-м зарядом в отдельности. Но, как было показано выше, ~Е„,й5 = —. Следовательно, Е„йЯ= — ~~) дь (8.3) Доказанное нами утверждение носит название теор е м ы Г а у с с а. Эта теорема может быть сформулирована следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на зь В частности, если внутри поверхности заряды отсутствуют, поток равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
