physics_saveliev_2 (535939), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Заменив в (8.10) оу через 4пйто и положив г= Я, по- лучим для напряженности поля вблизи заряженной сфе- рической поверхности Е(Е) =— е, 1ср. с формулой (8.9)). Используя принцип суперпозиции, легко показать, что поле двух концентрических сферических поверхностей (сферический конденсатор), .несущих одинаковые по величине и противоположные по знаку заряды +су и †, сосредоточено в зазоре между поверхностями, причем величина напряженности поля в этом зазоре определяется формулой (8.10).
5. Поле объемно заряженной сферы. Рассмотрим сферу радиуса Е, заряженную с постоянной объемной плотностью р. Поле такой сферы, очевидно, обладает центральной симметрией. Легко видеть, что для поля вне сферы получается тот же результат (в том числе н формула (8.10)), что и в случае поверхностно заряженной сферы. Однако для точек внутри сферы результат будет иным. В самом деле, сферическая поверхность радиуса г (г < Е) заключает в себе заряд, равный 4 р ° вЂ” иге. Следовательно, теорема Гаусса для такой зо поверхности запишется следующим образом: Е(г) ° 4пг = — р — нгз 4 з ез 3 откуда, заменяя р через 4 , получаем идз 3 Е(г) = — +и (ге 14), (8.12) 4иез тсз Таким образом, внутри сферы напряженность поля растет линейно с расстоянием и от центра сферы.
Вне сферы напряжеаность убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда. $ 9. Работа снл электростатнческого поля Легко сообразить, что сила, действующая на точечный заряд, находящийся в поле другого неподвижного точечного заряда, является центральной. Центральное поле снл, как известно нз механики (см. т. 1, 5 26), потенцнально. Убедимся в потенциальности снл электроста Г тнческого поля (т. е.
поля, со- здаваемого неподвижными за- 2 рядами) непосредственно. Для иг ,„ этого вычислим работу, котоl рая совершается силами поля неподвижного точечного заряда д над перемещающимся в и 'г этом поле точечным зарядом с1'. Работа на элементарном пути с!1 равна (рнс. 20) с(А =! с11 сова = — — Ж сова = — ' —,г(г 44' ! 44' 4яез ге 4ие, Рис. Ю (мы учли, что усова = с(г), Отсюда для работы на пути ! — 2 получается выражение Азт-~'„', ~ з =4- ( — ) (91) ! В геуссовои системс в втой формуле иет миожителя —.
4иез Полученный нами результат свидетельствует о том, что работа действительно не зависит от пути, по которому перемещался в электрическом поле заряд г(', а зависит лишь от начального и конечного положений этого заряда (от г~ и гз). Следовательно, силы, действующие на заряд д' в поле неподвижного заряда д, являются потенциальными. Этот вывод легко распространяется ца поле любой системы неподвижных зарядов. В самом деле, сила 1, действующая на точечный заряд д' в таком поле, может по принципу суперпознции быть представлена в виде где (; — сила, обусловленная 1-и зарядом создающей поле системы. Работа в этом случае равна, как известно, алгебраической сумме работ, совершаемых отдельнымн силами: Каждое из слагаемых в правой части этого выражения це зависит от пути.
Следовательно, не зависит от пути н работа А. Из механики известно, что работа потенциальных сил на замкнутом пути равна нулю. Работа, совершаемая силами поля над зарядом д' при обходе его по замкнутому контуру, может быть представлена как ~д'Е,Ж, где Е~ — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения сЛ (кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутому контуру). Приравняв выражающий работу интеграл нулю и сократив на постоянную величину д', придем к следующему соотношению: (9.2) которое должно выполняться для любого замкнутого контура. Следует иметь в виду, что формула (9,2) справедлива только для электростатического поля. Впоследствии будет показано, что поле движущихся зарядов (т.
е. поле, изменяющееся со временем) не является потенциальным; следовательно, условие (9.2) для него не выполняется. Выражение вида ~ А, о(1 называется циркуляцией вектора А по данному контуру. Таким образом, характерным для электростатического поля является то, что циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру равна нулю. $ !О. )Тотеициал Мы знаем из механики, что тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля. Следовательно, работа (9.!) может быть представлена как разность значений потенциальной энергии, которымн обладал заряд о!' в точках 1 и 2 поля заряда д; А„— — — — ' — = 1)г, — 1)о .. чд' !. дд' 4яео г, 4яео го Отсюда для потенциальной энергии заряда д' в поле заряда д получаем Иг = — — +сонэ(.
! Чч е 4иео Ях ! дч' 4яео (10.1) Воспользуемся зарядом д' в качестве пробного заряда для исследования поля. Согласно (10.1) потенциальная энергия, которой обладает пробный заряд, зависит не только от его величины д', но и от величин д и г, определяющих поле. Следовательно, эта энергия может быть использована для описания поля, подобно тому, как была использована для этой цели сила, действующая на пробный заряд. Разные пробные заряды д'„,, д" н т. д. будут обладать в одной и той же точке поля различной энергией Значение сопз( в выражении для потенциальной энергии обычно выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (г = ое) потенциальная энергия обращалась в нуль.
При этом условии получается, что 1Рл, !!Уя и т. д. Однако, как видно из (10Л), отношение !)г„~д р будет для всех зарядов одно и то же. Величина Ур %=, (10.2) называется потенциалом поля в данной точке и используется, наряду с напряженностью поля Е, для описания электрических полей. Как следует из (10.2), потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Подставляя в (10.2) значение потенциальной энергии (10.1), получаем для потенциала поля точечного заряда следующее выражение: ! е %= 4яао (10.3) Рассмотрим поле, создаваемое системой точечных зарядов дь г!т, ... Расстояния от каждого нз зарядов до данной точки поля обозначим г!, гм ... Работа, совер!паемая силами этого поля над зарядом д', будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности: А„= ~А,. Но согласно (9Л) каждая из работ А, равна где гг! — расстояние от заряда дг до начального положения заряда д', ггя — расстояние от дг до конечного положения заряда г)'.
Следовательно, ! ч его' ! ггч' 4яеа гп Сопоставляя это выражение с соотношением А!з = )ря! — йряь 39 В гауссоной системе потенциал поля точечного заряда я пустоте определяется формулой ф получаем для потенциальной энергии ззряда д' в поле системы зарядов выражение ! .х чяч' ят = —," — ' Р 4пее ы откуда (10 А) Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждьям из зарядов в отдельности. В то время как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически.
По этой причине вычисление потеициалоа оказывается обычно гораздо проще, чем вычисление напряженностей электрического поля. Из соотношения (!0,2) вытекает, что заряд д, находящийся в точке поля с потенциалом ц, обладает потенциальной энергией (10.5) Следовательно, работа сил поля над зарядом д может быть выражена через разность потенциалов: А и — — Ф'р, — 1)тре = ц (% — «ря). (10.6) Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Если заряд д из точки с потенциалом ц~ удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна А„= ур. (10.7) Отсюда следует, что потенциал численнд равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность.
Такую же по величине работу необходимо совершить против сил электрического поля для того, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля. Соотношение (10.7) можно использовать для установления единиц измерения потенциала. За единицу потенциала следует, очевидно, принять потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, за СИ-единицу потенциала, пазываез!ую вольтом (сокращенное обозначение — в), принимается потенциал в такой точке, для переме!цения в которую нз бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1 джоуль: 1дж=1к 1в, отсюда 1 дзг 1 в= —.
1 к (10.8) За абсолютную электростатнческую еднннцу потенциала (СГСЭ-ед. потенциала) прнннмается потенциал в такой точке, для перемещення в ноторую нз бесконечности заряда, равного + 1 едннице СГСЭ, необлоднмо совершить работу в 1 эрг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
