1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Пусть скорость одного электрона равна е (если имеется несколько электронов, то следует просто просуммировать по всем электронам), и предположим, что линейные размеры атомной системы пренебрежнмо малы но сравнению с длиной волны А=йл~й. Тогда энергия взаимодействия будет равна (приложение 24) Н'= — -и А(0)= — — и А (О)= — -о у3~2созЬ с с в с с ' ' с Теперь применим теорию переходов, изложенную в црпложении 27.
Для этого мы должны образовать матричный элемент между начальным и конечным. состояниями; Н; = — — Ч2(о,д)сгсозЬ= — с )/2о 4„„.созЬ, где а н Ь означают два состояния атомной системы, а п и л'— два состояния осциллятора д, представляющего излучение. Далее, ось=х ь сьсьхсь> где Ьа ь 2л(Ес — Еь), а хсь есть матричный элемент координаты электрона. Следователъно, Щ' = — ф3/Ъ х, 4'„„сон Ь. Применим это к случаю испускания излучения, предположив, что начальное состояние 1 атома есть возбужденное состояние а, причем фотоны отсутствуют (все и 0), а конечное состояние 1". атома есть его основное состояние, причем присутствует несколъко фотоноЪ, или, что то же самое, один из осцилляторов, представляющих излученне, возбужден.
Но так как матричные элементы а,„, осциллятора всегда равны нулю, за исключением тех, у которых л' л~1, в нашем случае нужно рассмотреть только матрнчный элемент дм, соответствующий испусканию одного фотона. В приложенин 15 мы нашли, что А ЙФ ! Ч О 1 ! 4~иве Уе ' где использовано полученное выше значение т.
Прежде чем подставить это в выражение для Нц вспомним, что для любого направления распространения имеются два перйендикулярных к нему направления поляризации; в нашем случае волна двнжется вдоль оси з, так что должны происходить х- и у-колебания Следовательно, мы получаем ! Н~г ! ~ = -р- им~ (! «м | ~+ | р в ! ~) -р- сов~ Ь. Для вычисления вероятности перехода в единицу времени это выражение следует умножить на 4тРр(т~ь) РР, где р(т) означает плотность колебаний в интервале частот.
Вероятность перехода в единицу времени теперь равна 4яз, ~дР Р,~ — — — «г- ! Н |з р = ц,, Ф ( ! «„|з-+ | у, |з) созз Ь. Так как положение атома (начало координат) произвольно, мы должны провести усреднение по всем фазам Ь; тогда множитель созтб становится равным 'Й. Лалее, мы должны усредннть по всем ориентацпям атома н, следовательно, заменить «,ь!'+ |у,ъ!' на Цз|гаь!', где г есть радиус-вектор электрона. - После этого- интенсивность излуления испускаемого в секунду, можно получить; умножив найденйое выражение на Ьо,ъ йзъ,ь!йп: = к ~а и4э! гщ ! . что совпадает с формулой, выведенной нз соображений, опиравшихся на принцип соответствн» (гл. У, и 7).
Если предположить, что в началъном состоянии прпсутствует излучение, содержащее и фотонов определенного сорта (направленая, частоты), то выражение для Нюг будет иным: оно бу. дет содержать матричный элемент дч, +~. Но формулы приложения 15 указывают, что !Ч . |*=(и+1)|у.!'. следовательно, первоначальное выражение для Нц оказывается умноженным на и+1, или, другими словами, кроме спонтанного излучения, вычисленного выше, имеется вынужденное излучение, пропорциональное а, т. е. интенспвиости присутствующего (вынуждающего) излучения.
Ж Квантовое теорие иааревеое Случай поглощения можно получить, рассмотрев начальное состояние т', в котором атом находится на низшем энергетическом уровне Ь н присутствуют и квантов, и конечное состояняе 1, в котором атом находится на более высоком уровне а, ноприсутствуют только л — 1 квантов. Соответственно нужно рас- Ф СМОтрЕтЬ МатрИЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ Ие, -т=йе-Ь е. Н МЫ ПОЛуЧНМ ! )е..-аГ=Л!М'.
Подстановка этого выражения в вероятность перехода вместо ~йа1~т сразу дает коэффициент поглощения. Мы не будем приводить его точное выражение, но рассмотрим случай теплового равновесия между излучением и атомамн, когда в среднем происходит одинаковое число актов испускания и актов поглощения. Пусть и р<М вЂ” число волн в малом интервале частот бт, а й=Ха — полное число фотонов в бе; тогда, согласно только что полученным результатам, отношение полных чисел актов испускания н актов поглощения в интервале Ич равно (й+л): и.
Если Ме и Фа — число атомов в состояниях а и Ь соответственно, то условие статистического равновесия имеет. очевидно, внд М (та+ й) =Жаа, откуда лФа Исппльзуем теперь основной закон статистической механики, называемый теоремой Болъцмана (гл. 1, 5 6), устанавливающий, что в статистическом равновесии -л аг Фе в -ат ~аг Иа в -айаг где Т означает абсолютную температуру, а й есть постоянная Больцмана. Отсюда видно, что среднее число и световых квантов данной частоты ч, которые могут быть яспущены ялн поглощены атомами йфи температуре Т, равно л= В= а )аг 1 Если предположить существование атомных систем со столь болъшнм числом уровней энергнн, что присутствуют практически все частоты е, то формула будет представлять усредненное распределение фотонов, находящихся в тепловом равновесия с веществом.
Энергия излучения и,бч в интервале частот нлн Е(Я) = ч-Я(Я вЂ” 1)-у . з 4' Разннца в электростатической энергын между ядром (Е+ 1, А) ы его „зеркальным ядром' (Е, А) равна поэтому И~ =Е(2+1) — Е(о) =-гХ вЂ”. 30. Твараа а-распада Пусть а-частица ыспускается ядром с атомным номером Е ы, следовательно, находится в поле остаточного ядра 2-2, нмеюшего потенциал У(г). На большых расстояныях этот потенциал — кулоновскпй, т. е. )~(г)- '" —,"" д г > гэ..
для г<гэ выд У(г) неызвестен, но конкретные предположения о нем ы не нужны, за исключением того, что он должен быть кратерообразного типа, изображенного на фпг. 72, стр. 237, Согласно Лауэ, выражение для частоты испускаемой волны Х можяо разложить на два множителя. Мы представляем себе а-частпцу осциллирующей в кратере, так что она ударяется о стенку н раз в секунду. Прп каждом столкновении пмеется оп- ределенная вероятность р того, что а-частица пройдет сквозь потенциальную стенку, Поэтому А=ар. По порядку величины число л мы можем прынять равным э~2гь где о — скорость а-частыцы; последнюю в свою очередь можно определить, взяв длныу связанной с частицей волны де- Бройля Ь/шч равной 2гм Таким образом л азию у, Для вычисления р мы должны найти подходящее решение уравнення Шредингера ч-„г — — з-+(Е )Г(г))ф О Прп г< гэ функция ф будет тем плп пиым образом осцнллировать; в области, большпх г, она будет расходящейся волной.
Еслн энергия и-частыцы равна Е, то это последнее со- И. Осноеноо ооотояооо сейтрооа чаем окончательное приближение -ЬоЧ -Х-+ ~1 — (У(У-'Ч)Н х-2 Г УИ 1 Хо 1 ь ! Следовательно, постоянная распада Х дается выражением т н ио — ь 16 У-~т — о —, нли численно 1п Х = 20,46 — 1,191 ° 10о:.+ 4,084 ° 10о 3/(.У вЂ” 2)го, здесь А измеряется в сек ' н связана с периодом полураспада уравнением !и 2 0,6931 т= —— Полученный таким образом закон отлнчается от эмпирической формулы Гейгера и Нуттала тем, что дает линейную зависи-' мость 1иХ от 1~о, кроме зависимости от о н го; однако ввиду того что область пзменения н ограничена сравнительно узкими пределами (от о 1,4 10' см~сек до о 2,0 ° !Оо см(сел), а изменения Е и го пренебрежимо малы для элементов радиоактивных рядов, различие в формулах слабое.
Из-за большого множителя при втором члене, который и содержит зависимость от и, диапазон изменения постоянных распада чрезвычайно широк. 81. Основное соснзояние дейгярояа а. Центральные силы Волновое уравнение для относительного движения двух нуклонов в дейтроне имеет внд TФ-)- 4„'Ф М(Š— )Г(г)И О, где г'(г) — центральный потенциал, М вЂ” средняя масса нуклонов, а (У= — Е ' энергия связи. Как н в тексте, предполагается, что зависимость у(г) от г имеет вид прямоугольной ямы )Г(г)= — 1/о пРн г<а, (г(г)=0 при г>а. Ширина ямы а выбирается порядка о9шсз на основании экспериментальных данных по рассеянию нуклонов.
Так как потенциал (Г(г) сферически симметричен, то основным состоянием будет 8-состояние. После подстановки в них ф(г) и(г)/г волновые уравнения в двух областях изменения г примут вид Ев 4*М -~ и, + — «г-(1~в — Щи, О для г < а; Ф 4иРМ -я:г из — «в 11гиз = О дла г > а. В качестве граничных условий для и~, из выступают требования и,-»О прн г-»О, — -»О при г-»оо ау г вместе с условиями непрерывности, которые должны удовлетворяться при г=а. Решениями будут функции и,=Аз1пйг, из = Ве-", где а А и  — произвольные постоянные. Используя условия непрерывности можно получить простое соотношение между двумя параметрами Уе н а, именно й с1К йа — — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
