1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 87
Текст из файла (страница 87)
е. закон смещения Вина, как он был приведен в тексте, 84. Поалотцемнв осцнл хипором Приведем доказательство формулы 1 яФ ЬЖ=-й. — и„, использованной в тексте для вычисления работы, совершаемой полем излучения за секунду над осциллятором. Мы задаем поле излучения, устанавливая-связь между электрической напряженностью Е н временем. Ради сходимости интегралов предположим, что поле излучения существует только с момента 1=0 до момента $=Т; впоследствии легко будет перейти к предельному случаю Т-~со. Выразим теперь одну из компонент, например Е„через ее спектр (разложим ее в интеграл Фурье): Е Я = ~ ~(ч)вззьч Йч, ОЗ где амплитуды У(ч) определяются соотношением т ~(ч)=~Е (г) е-™ч'Я, о причем Е,(1) равна нулю вне интервала (О, Т); поскольку Еа вещественна, комплексно сопряженная величина удовлетворяет уравнению '1'(ч)=$( — ч).
Ж Повлощвнов оояиввятооом Аналогичные соотношения справедливы н для двух других компонент. Согласно законам электродинамики, полная плотность энергнн поля излучения тогда равна и =~- (Е'-т- тт."1= ~~ Ев = —,,Ев, причем последнее нз равенств следует из соображений сим- метрия. Черта над снмволом означает усреднение по вре- мени. Далее, т т +с~ 1зз,=~ ~ Ев вй=-)т ) Е вй ~ ~(ч)емм™йч, в в ОВ если заменить один множитель разложеннем Фурье. Если те- перь изменить порядок интегрирования, то, поскольку значе- ние нового интеграла по т равно ~'(ч), мы немедленно полу- чнм +со т В~~ = — ~ ~( )ач,~Е„ез""аЕ= +м ФО / 1(ч)~'(ч)ач=-~-. ) и (ч)1вач, Ф в нбо 1~(ч)(в=~(ч)~( — ч) = ц~( — ч)~в.
Таким образом, для полной плотностк энергии излучения мы получаем выражение и= ~ и„ач=ч(„-у ~ ~~(ч)~все, в в а для спектрального распределения имеем поэтому и„=~„-~~~(ч)~з. Теперь после этих предварительных замечаний о поле излучения перейдем к уравнению, опнсываюшему колебания линейного гармоннческого осцнллятора, Если осцнллятор может колебаться только в «-направления, то его уравнение имеет вид льх+ах=еЕ (е), а собственная частота соответственно следует нз соотношення щ(йичв) в а: 1 / в чв 'Б' у „, ° Как известно, самое общее решение неоднородного дифферен« циального уравнения получается добавлением какого-либо решения неоднородного уравнения к общему решению однородного уравнения. Последнее можно записать в виде х(Г) =ха з)п(2лтоГ'+ Ф)э где х, и н — две произвольные постоянные. Выражение х(М) =-,-„'— ~ Е.
(М') з)п 2нт,(М вЂ” Г') ~й' ~з является решением неоднородного уравнения и удовлетворяет начальным условиям х(0)=0 и й(0)=0. То, что х(0) О, очевидно; для доказательства второго условия проведем дифференцирование: «(С) = Б-„— (ЕЙ(~') з(п 2пто(г — г')],., + с + — ~ Е . (~') соз 2пт~ (Ф вЂ” Ф') сй'; о здесь первый член обращается в нуль, и мы видим, что й(0) =О. Тогда х(Ф) = — (Е„(Ф') соз 2нто(Ф' — Ф)1,,— — — ~ Е ($') з(п 2ято (Ф вЂ” М') сй' = о = — Е Я вЂ” — х(Г), т. е.
приведенное нами выше выражение действительно являет ся решением неоднородного дифференциального уравнения. Перейдем теперь к нахождению работы, совершаемой полем над осциллятором. Из дифференциального уравнения колебаний легко усмотреть (умножение на и и интегрирование по времени приводит к уравнению сохранения энергии), что работа, совершаемая в единицу времени, равна г ЬФ'=+Хх(Ф)Е (Ф)4У. о Очевидно, однако, что часть работы, вклад в которую дают свободные колебания (решение однородного уравнения), обра. Зо.
Поглоосомио ооцоллсстором щается в нуль. Поэтому совершаемая за секунду работа полу- чается вычислением интеграла только от оставшейся части; ба= о — 1Е ЯИКЕ Юсов ь Ч(Ь вЂ” Ес)и. о о Подынтегральное выражение очевидным образом симметрично по 1 и 1; что позволяет выражение преобразовать для 6%'. Можно сразу увидеть, что т т ба= --~ ~ Е (т~) сй' ~ Е» Я соз 2пчо(Ф' — Ф) сй. о с' Действительно.
сначала мы должны интегрировать по сс от О до 1, а затем по Г от О до Т; но результат, конечно, будет тот же, если сначала интегрировать по 1 от сс до Т, а затем по с' от О до Т. Если, кроме того, поменять местами обозначения переменных 1 и 1с, то 6%' можно будет записать также в виде т с т 6%т=2 — -~ „~ Е (Ф)сй ) + ~ Е (с")созйссчо(Ф вЂ” т")Ы о о с я, заменяя созйнто(г — Ф') выражением 1 етмос,сс-с > +е-омск, сс-с'> ~, х( получить т 6%"=---~ ~Е (1)т "сгй~Е (г)е-~ стс'Ы+ о о т т <.~е.со — о(я,~~~~~'о ~= " ~сс с.
о о Таким образом (используя выведенную выше формулу для плотности излучения), мы находим, что работа, которую совершает поле над линейным осциллятором за секунду, равна ос Ьст ясо 6% = ~~~-Т' ~ но ~ -й пч» т. е. получаем приведенное в тексте выражение. Ж. 'Темлература и аниеролля е леалтоеол статлстлле Доказательство того, что фигурирующая в различных статистиках величина р обратно пропорциональна абсолютной температуре, можно провести единым образом для.всех трех статистик: Больцмана (Б.), Бозе — Эйнштейна (Б.— Э.) и Ферми — Дирака (Ф.— Д.), Во всех трех случаях мы имеем 1и %' ~~."„~(л,), где (см. гл.
1, $1 о статистике Больцмана; гл. Ч1П, $4 о статистике Бозе — Эйнштейна; гл. Ч1П, $ 6 о статистике Ферми — Дирака) л,!пй; — л,1пл, в статистике Больцмаиа, (я,+л,)1п(й,+л,)-я,1пя,— л,1пл, в статистике Бозе — Эйчштейна, — (я,-л,) 1п (я,-л,)+я, 1п я,— л, 1п л, в статистике Ферми — Дирака, Максимум 1п )Р', подчиняющийся дополнительным условиям ~~.", л, Ю, ~~.", лр, = Е, достигается при а+ре,=— дг две ' откуда 61п Я~=Х,~У ~.=~(а+Ф.)б-. =аХЬ~+РХ;Ь;. е 3 е Ю В равновесии, когда все е„так же как У и Е, постоянны, обе суммы обращаются в нуль вследствие дополнительных условий.
Но формула применима н к случаю «квазистапионарных» процессов, когда внешние условия изменяются столь медленно, что в любой момент систему можно считать находящейся в равновесии, Если число атомов сохраняется, то дополнительные условия приводят к равенствам ~бл,-О, Хл,б,+Хе,бл,=м'. Оба члена для 6Е допускают физическую интерпретацию. Первый представляет собой работу, совершаемую "при расширении. Если объем меняется на аУ, то ,6,= ~~)~~л,фб = — рб)~, 86.
Термоэлеигроииия эмиссии где р= — ~~~,л,- 1з. выражает давление как сумму сил по атомам в различных состояниях — де,/дК Второй член.,Яеебл„ представляет собой изменение внутренней энергии, обусловленное перераспределением атомов по различным состояниям, порождаемым квантовыми скачками; это и есть «количество тепла, сообщенного системе» И~ = ~~Р~ е, Ьл,. Таким образом. мы имеем первый закон термодинамики ЬЕ = — р ЬУ-»- ЬЦ. С другой стороны, Ь1п Ю=р,'Е«,Ь,=рай. Это показывает, что ЬЬ(~ является полным дифференциалом* а р — «интегрирующим множителем» для сообщенного тепла. Таким образом, статистическая теория автоматически приводит и ко второму закону термодинамики, утверждающему, что Ь(~ имеет интегрирующий множитель, а именно обратную абсолютную температуру: ЬЦ -е =ЬЯ, где 3 — энтропия.
Следовательно, р пропорциональна ЦТ; полагая 1 р= «т мы получаем яз сравненяя двух формул 8= й!п Иг, что и представляет собой знаменитую формулу Больцмана. 86. Термовеэянгнроннвя вмнесня Здесь мы получим две формулы, приведенные нами в тексте для термоэлектронной эмиссии 1эффекта Ричардсона], сначала иа основе классической статистики, а затем статистики Ферми — Дирака. Для этого требуется найти число электронов, ударяющихся за секунду о квадратный сантиметр поверхности металла, и причем таких, у которых кинетическая энергпя перпендикулярной к поверхности составляющей движения достаточна для преодоления энергетического барьера высотой эг у поверхности.
Следовательно, мы должны на основе закона распределения найти число электронов, для которых, например„ ~;его„~ье . 1 Начнем с классической статистики. Здесь число электронов, скорость которых лежит между о и и+~И, равно г1И=4тшу( ~~~ ~~'е-'Ь '~'гчРДа (гл. 1, $6); аналогично (если заменить 4аоМо на Ио,е(офи, с последующим интегрированием) число электронов с компонентой скорости между о и о -(-Фа равно +со +со ЙИ„=лУ(-~-~-) 'Фо„~ ~ е * ( + г+'4 йо„йо,= <о Чтобы получить число электронов, падающих на единичную площадку поверхности за секунду, мы должны сначала разделить полученное выражение на У, перейдя тем самым к плотности злектроиов, а затем умножить его на и, так как за единицу времени поверхности достигают все электроны с компонентой а, содержащиеся в слое толщины о, прилегающем к поверхности (гл.
1, $3). Таким образом, ток эмиссии выражается интегралом ОЭ М=еп ~ — ~- ) о е ' сЫ„. Г -<ьпсфэг М%( Этот интеграл можно взять, получив выражение 8=ел у ~--е -~ И -чэт которое и приводится в тексте. Аналогичным образом проводится вычисление и в случае распределения Ферми. Здесь мы начинаем с функции распределения (гл; У111, $6): ач — о —. ~ — ~Ю). ЗвУ )~Ы~ракэ г 1 Ьэ еэ+ч +1 1 2 ЗГ.
Темнеритурнии еиииеииоетв дея иириииенетиеми 489 где параметр вырождения а определяется из дополнительного условия ~ Фе'е'=т1. Если, однако, ограничиться сравнительно низкимн температурами (раскаленные катоды), то можно использовать приближенную формулу, данную в гл. ИИ, $ У, ВсУ 3~2рае)~вдв МУаР ие4Ги где представляет собой нулевую энергию. Здесь, как и раньше, мы получаем рнчардсоновский ток, вычисляя интеграл +~э +ею ФФ ~=~(е„1е, 1 е,,—. — о -а 1/%~а Но для раскаленных катодов (⻠— вв) всегда очень велико по сравнению с йТ, поскольку (зе — ав) составляет несколько электрон-вольт (гл. УП1, 9 й), тогда как йТ при 300' К соответствует энергии около 0,03 эв. Следовательно, в подынтегральном выражении всегда ев-ьивт ~1, так что в знаменателе можно пренебречь 1, приходя таким путем к интегралу +ее +ее -со -«о 1/%ии Интегрирования по о„и ое эквивалентны вычислению интегралов Гаусса (см.
прйложение 1); интегрирование по о„, как н раньше, проводится элементарно, и мы получаем равенство ~~ (и и (ве ве)~вт т. е. закон, приведенный в тексте. ЗУ. Темавратяурная зависимость 6*я аарамагкетазма Чтобы понять зависимость парамагнитных свойств от температуры, рассмотрим сначала упрощеняую модель парамагннтного вещества. Вообразим, что вещество состоит из большого числа частиц, имеющих одинаковый магнитный моментМ. 31 М. зови Пренебрежем также на первое время квантованием азимута, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
