1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 84
Текст из файла (страница 84)
что (4А)+= — 8А+. В более общем случае мы также имеем (А+ 4В)+ = А+ — !В+. Если операторы А и  — вещественные, а 3 — вещественное число, то или < -~- Н МЯ=Р-~-ВМ вЂ” 3~33:эхр>0. Отсюда следует, что среднее коммутатора А — ВА есть, чисто мнимая величина. Минимум последнего выражении достигается, когда 4 .ЛЗ Вл у и равен -,(э+1 Рв — У~~~ >0 4 3Г Поэтому ж. З > —,'( И=ВА~. Заменим теперь А и В соответственно на ЬА А — Я и ЬВ= — В; тогда ЬА Ь — ЬВ ЬА = А — А — АВ-~- АЙ вЂ” ВА + -+ ВА-+ ВА — ВА А — ВА так что предыдущее уравнение дает Яьр.~ай> — ' ~в Если р и и есть сопряженные операторы (импульс н координата), то а ,рт фя '$~ ° и, следовательно, (зуда>- у;.
Для средних квадратичных отклонений й~ = У Йм7 м = 1~(м7,. Мы имеем поэтому Знак равенства достигается только для одного определенного распределения (собственной функции), а именно для гауссовой функции ошибок; это распределение реализуется в случае линейного осцнллятора (см.
прнложение 12, приложение 16 н приложение 39). Ж. Вероапвкоспзп вервходи В квантовой механике замкнутая система обладает определенными стационарными состояниями, в которых она остается бесконечно долгое время. Физический процесс перехода нз одного такого состояния в другое может быть вызван только взаимодействием системы с некоторой другой системой; даже возможность наблюдения системы завясит от подобного взаимодействия (скажем, с электромагннтным полем, переносящим световые волны нлн фотоны к наблюдателю). Взаимодействие должно быть слабым, с тем чтобы мы могли описать эффект связы между двумя снстемамн как малое возмущение, выражаемое через величины, относящиеся к невозмущеиным системам.
Рассмотрим такое возмущенне-взаимодействие, опираясь на уравненне Шредингера. Обозначим незозмущенный гамильтониан несвязанных систем через РР (обычно сумма двух или более гамильтоннанов, каждый из которых соответствует одной системе),. а энергню взаимодействия — через-Н'.— Пусть Е и ф„(о) — энергия й нормированные собственнме функции невозмущениой системы; тогда О Фл =Вафа.
Зависящее от времени уравнение Шредингера для возмущенной (взанмодействующей) снстемы имеет внд (гл. Ч, $4) мы предполагаем выразить его решенне через невозмущенные функцин ф». С этой целью нопользуем метод варнацнн постоянной, разлагая функцню ф в ряд внда зис ф(д, Ф) =,~р~а„(Ф) е ~ ф,(ф) н пытаясь так определнть коэффицненты а„Щ; чтобы суперпознцня функцнй ф„удовлетворяла уравненню Шредингера для ф, Зг. Вероятности зелезздз Непосредственно видно, что действие операторов Н~ и (Й/Ьи) (д/дг) на произведение ф, (и) ехр $( — АМ/Ь) Е,С1 дает одинаковые по величине н противоположные по знаку результаты; следовательно, наше уравнение сведется к уравкенню е з " ~а„Н'Я„.+-2~у-уаф„) О.
л Если умножить зто уравнение на сопряженную функцию Ф н проинтегрировать по у, мы получим в силу условия ортогоиальностн йя$ Фф! где является матричным злементом оператора И (приложение 26) Умножив зто на ехр [(2яфй)Е г1 н введя частоты перехода Вм — Вз т „ мы получим т. е, систему линейных дифференциальных уравнений для а„(1) с нзвестнымн зависящими от времени козффнцнентамн. Предположим теперь, что первоначально система находилась в невозмущенном состоянии Еы фы так что прн 1 0 выражение для ф(ч, ~) должно сводиться к фь(д). Следовательно, должны равняться нулю все а (0), за исключением аь(0), равного единице, иначе говоря, ( 1 для а=В, а,(0)=б„з — 1 0 ля п чь й.
Так как мы полагаем Н' малым возмущением, приближенное решение можно получить, подставив в сумму в дифференциальном уравнении зтн начальные величины; тогда мы придем к уравнению которое уже можно непосредственно проинтегрировать с соблю- дением начальных условий ЖМч„«! а„= — „О' -ل— —. Согласно приложению 25, квадрат модуля этого выражения ра- вен вероятности найти систему в т-м невозмущенном состоянии в момент Ф, если известно, что она нахадилась в состоянии й прн г 0; это и есть вероятность перехода р а(1): Р ®=ф)'~Н' ~'("".",~)' Она симметрична яо двум состояниям и, й, так как Н' — веще- Р В Ф ственный оператор, Н'+ Н', а поэтому 1Н «Т=Н «Н « =Н юН«в Эта вероятность периодически меняется со време- нем, поэтому такие переходы вряд ли можно наблюдать у атом- ных систем (высокие частоты).
Однако положение вещей совершенно меняется, если уров- ни энергии невозмущенной системы расположены настолько тесно, что нх можно считать распределеииымн непрерывно, В качестве примера рассмотрим случай, когда сястема с дн- скретяымн уровнями энергии связана с другой, энергия кото- рой непрерывна; в частности, рассмотрим переход из состоя- ния А, в котором только первая система возбуждена, а вторая нет, в состояние т, в котором первая система обладает мень- шей энергией, Е,„<Е«, ио некоторая энергия Е передана второй системе. -Тогда ч «нужна-заманить- на ч„ь+» ч —.ям„,.где ч Е/й и я««,>0. Теперь матричный элемент Н' зависит не только от состоя- ний ш н й, но н от энергии Е, переданной в непрерывную об- ласть, илн от ч Е~й; соответственно следует писать Н «Я.
Если подставить все это в р «(1) н умножить на функцию плотности конечных состояний р(ч), мы получим полную ве- роятность переходов во все низшие состояния как интеграл по ИЕ=Мм: ~ <«-щ~ш~и ~-"'-.9:-чЛ«)' ()~ о Теперь можно положить 8 болъшнм по сравнению со всеми атом- ными периодами (ч — ч«„) н найти предел Р «(1) при Ф-~«э, используя язвестную формулу Нш — ) ~(л)( — ) Их=((0), справедливую, если интеграл (а. Ь) включает начало координат х= О. Подставив ч — чь„=х, мы получим верошяаосиь аерехода в еда~ищу времеаа: Р з Иш "Т Р ~(Ф) = 1 с-в - .Ип1 -т:- ~ ~Н' (х+ч )~~р(х+ч )( — "~~ ах, -чьз и так как чь„) О, то Р --Г1Н (ч.-)Гр(".
). Если теперь определить р(Е) таким образом, что р(Е~6Е р(Е) йдч= р(ч)йч, откуда р(Е)- —, (ч), 1 то мы получим Р„„— ~Н' (зр(Е). Это и есть формула, приведенная в тексте (гл. Ч, $7). Она показывает, что прн принятых предположениях вероятность перехода в единицу времени определяегся велкчннамн матричного злемента возмущения н плотности, взятой для частот переходов системы с непрерывным спектром.
Применение етого вывода к случаю излучения атомом мы рассмотрим в приложении 28. Ж Квааазовая гаеорая азяуиеаая Метод; который мы здесь применим к проблеме излучения атомной системой, фактически отличается большой общностью. Он может быть применен не только к другим случаям взаимодействия между атомами н злектромагннтным полем (поглощение, рассеяние), но и к любому взаимодействию частиц с полямн, например иуклона с мезониым полем Юкавы.
Метод состоит в разложении поля на нормальные колебания, которые для достаточно больших объемов представляют собой практически плоские волны. Можно показать, что амплитуды зтнх волн ведут себя подобно гармоническим осцилляторам и поддаются квантовомеханической трактовке. Тогда взаимодействие атома с таким набором осцилляторов, представляющим поле, может йрилоасеаия быть описано с помощью квантовомеханнческих вероятнестей переходов.
Сначала мы рассмотрим свободное излучение в отсутствие атомной системы. Точный математический анализ электромаг- нитных колебаний, происходящих в очень большом объеме, по- казывает, что на больших расстояниях от границы решение практически не зависит от формы граничной поверхности и мо- жет быть приближенно представлено в виде суперпозиция пло- ских стоячих волн. Выпишем явно одну из них, именно ту, у ко- торой вектор-потенциал А колеблется в х-направлении, тогда как сама волна распространяется в направленин оси х: А„~у(Ф)~~2соа(йг+Ь), А„=О, А,=О.
йс=а=2пт. Пространствениая нормировка выбрана здесь так, что интег- рал от квадрата А» по единичному объему равен единице ~ 2созт(йя+Ь)ФУ=1, о) а фаза Ь зависит от совершенно случайного расположения начала координат относительно удаленной поверхности. Ве- личина у(Ф) удовлетворяет уравнению д+ету=О, поэтому ее можно рассматрнвать как амплитуду осциллятора частоты т=а/2и.
Нацряжениостн электрического н магнитного полей находятся из уравнений Š— -А, Н=го1А, 1 е причем единственные неисчезающие компоненты нх суть Е„= — — )Яд соз(йз+Ь) 1 н Ну = в у~2 д 81п(ля+Ь). Полную электромагнитную энергию в объеме У можно без труда выразить через д и д, змеино и= —,' ~(Е + Н„)г(и= ", ' М*+ ы,Р). Это совпадает с энергией гармонического осциллятора, частота которого ч=е/2и и масса У и1 -ас-ц р зв. и э сс Теперь к осциллятору можно применить квантовомеханическне методы; он обладает рядом стационарных состояний и О, !, 2, ...
с энергиямн Ьт(л+'/з). Очевидно, что и можно интерпретировать как число фотонов Ьт, связанных с волной; но даже состояние без фотонов, л=О. соответствует волне с неисчезающей нулевой энергией Ьт/2. Если мы рассмотрнм теперь подобные волны с разлячнымн частотамн и распространяющиеся в различных направлениях. то окажется, что онн не ннтерферируют (нет перекрестных членов в интеграле энергнн) н что их энергии просто складываются (благодаря нормировке пространственной части волновой функцнн). Следователъно, электромагнитное поле динамически соответствует смеси независимых фотонов, летящих со скоростью света. Рассмотрнм теперь расположенную н начале координат атомную снстему, взаимодействующую с электромагнитнымполем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
