1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Вообще мы можем считать А произвольной функцией о и р; например, рз+д' переводит функцию ф в фуккцню Вообще говоря, две операции А и В ие коммутативны— их коммутатор А — ВА не равен нулю, например рв — вр л/2н(. Если оператор А воспроизводит функцию ф с точностью до множителя, Аф лф, то функцию ф называют собственной 4)рнклией А, а множительа — собствеклынзкачениамоператора А. В качестве примера можно взять уравнение рф а1р, каи (Ь/2я/) (дф/дв) аф, с решением ф аоаечж, где собственным значением а может быть любое число.
Этот пример показывает, что в общем случае собственные функции комплексны, Полезным оказалось следующее определение: каждому оператору А соответствует сопряженный ему олвротор А+, определяемый тем условием, что для всякой пары функций у и ф / н'(Аф) о(( = ) (А+у)'фсКу. ло.
Формализм иоаизоооа мадаииии где величина 6 равна 1 нля 0 соответственно тому, что щ м иля тчьл. Система таких функций называется оргонормировапноб. Примеры ортонормироваииых систем уже рассматривались (оспиллятор, приложение 16; атом водорода, приложение 18). Вещественный оператор имеет, вообще говоря, бесконечно много собственных значений аь аз, ..., которые мы будем считать здесь для простоты дискретными и различными.
Им соответствует набор собственных функций ф» фь „образующий полную систему. Это означает, что любую функцию ф можно разложить в ряд по таким собственным функциям (в обобщенный ряд Фурье): ф= '~, 'о,ф„. После умножения на ф' зто дает вследствие условий ортоиормированности ~фф'Жу о . Далее, мы имеем ~ 1ф~ Й7= ~ фф Й7 ~~1сд ~ ф,ф Фф =голод =~Щод~ ° д д д Можно взять в качестве ф функцию Вф, где ф — одна ив собственных функций оператора А, а  — другой оператор; тогда коэффициенты сд будут зависеть от обоих индексов зп н ис ВЭ. = Х В..$., В„=~Ф'.(Вф ) ф.
Величины В, можно рассматривать как злементы лаинриаы„ представляющей оператор В в системе собственных функций оператора А; легко показать, что В обладают свойствами зле1зентов матрицы. Из определения сопряженного оператора следует, что В.„=~Р'„(Вф ~аф=~(В+е„)'Ф аф; меняя местами и и «з и прямеияя операцию комплексного сопряжения, мы получям В =~(В+ф ) ц„ад=(В )„, йэалэнв Это показывает, что для нахождения матричных элементов сопряженного оператора В+ необходимо поменять местами строки и столбцы В„(и~~а) и заменить каждый элемент В „ комплексно сопряжейным. Рассмотрим теперь матричный элемент произведения операторов ВС: (ВС)„= ~~',(Всф )ад = ~ж'„В(Сф ')юг; используя определеике сопряженного оператора В+, получаем (вс)„.- ~(в+ф„) (сф.) ид.
"Теперь, подставив сюда разложения в+ф„=~(в+),„ф,, сф =~с р„ найдем, что (ВС), = ~,~~~(в+)'Я ~~~~си Фи гйу= ~~~в асс ~ Ф'Ф гИ = Ф Ю ы =,')',в с . Эта формула показывает, что матричный элемент произведе- ния операторов ВС равен элементу матричного произведения матриц, принадлежащих В и С. Другими словами, операторное исчисление н-матричное нсчисление-являются эквииалентнымн представлениями одной и той же математической структуры. Из этого сразу вытекает, что волновая механика и матрич- ная механика стационарных состояний эквивалентны. В самом деле, уравнение Шредингера, (Н(р, у) — В )ф =О, можно записать как матричное уравнение: ',)',Н„,р.— В ф =О; а Ф умножив его слева на фэ в проинтегрировав по всем д, мы по* лучим. Нэ =Еэбэ ° Другими словами, матрица оператора энергии, вычисленная для набора его собственных функций, диагональна.
Следовательно, проблема матричной механики, состоящая в нахождении набора матриц р !!р, ,'~. Ч= ~1у ,1[, удовлетворяющих переста- зл. ФоРэализм ээамтоеоэ меиииищ новочным соотношениям Рп — др Й/2п1, такого, что в ием матрица Н диагональна, эквивалентна нахождению собственных функций волнового уравнения с соответствующим оператором Н. Остается показать, что для нестацнонариого случая зависящее от времени уравнение Шредингера 1Н+ э ~э)4 0 эквивалентно каноническим уравнениям механики к~а ЭН ЛРа Смысл частных производных здесь очевиден: если гамнльтониак Н задан в виде полннома вэн сходящегося ряда по степеням Рэ, 4'„, то можно примен ~ть обычные правила дифференцирова-. ния с той единственной оговоркой, что порядок множителей должен сохраняться; например, дрэд(др 2РЧ, дРЮР!дР чР+РЧ Не очевиден, однако, смысл производной по времени от оператора, действующего на функции координат д: смысл его действительно необходимо еще определить подходящим образом.
Сделать это можно, лишь апеллируя к физическому смыслу формализма. Как объяснялось в тексте, квантовая механика должна интерпретироваться статистическим образом. Делаются следующие предположения. Каждой физической величине, илн чнаблюдаемойэ, отвечает вещественный оператор А. Собственные функции ф„фэ, ... соответствуют квантованным, или чистым, состояниям, для которых оператор принимает значения аь нлн аь нли аэ ..., любая функция ф представляет состояние, которое можно рассматривать как суперпозицию чистых состояний.
Каждый коэффициент с„разложения определяет вес, с которым данное квантовое состояние л появляется в общем состоянии ф. Вероятность получить собственное значение а„при измерении выражается формулой и>„=) с,~э. Если принять, что ~ ~~р~эсйу=1, то будет ~~~„'э„= ~~Р~ ~с,~э = 1. СРэдкэв эяэынпэ, или олпздаелое ммиэнаэ, величины, представленной оператором А, в состоянии ф равно А = ~ р'(Ащ) бд ~ ~р' ~~~~ с,АЧ>, йу =,~~, ~с„1'а„=,~',~ ~в а ° Теперь мы можем определить полную скорость изменения во времени ФАдй оператора А как оператор, среднее от которого для любого из решений зависящего от времени уравнения Шредингера тождественно совпадает с производной по времени от среднего значения оператора А по той же функции Тогда — ~ ф'(Аф)Ид = ) ~ — (Аф)+Чг(-~ф)-+ф'(А ф) ~Фд.
Здесь предполагается, что А, будучи функцией у, и р,= (й/2М)(д/ду,), может и явно зависеть от времени„причем 4А/дд как раз и есть соответствующая частная производная. Поскольку ф удовлетворяет волновому уравнению, а сопряженному уравнению. то дз Ы дз Ы ЗГ= а НФ дГ= л (Нч) поэтому -д- — — ) ~ — (Нф)'(А$)+ ф'~-~ ф) — —,ф'А(Н$)~сКд. Но так как оператор Н вЂ” самосопряженный (вещественный оператор), то первый-член- нод интегралом можнозепнсатьв виде (2ж)й)(Н'гр) Аф'и, согласно определению сопряжения, заменить выражением (2ж/Ь)ф~Н(Аф). Понимая, что все операторы действуют только на функции, записанные справа от пик, мы можем опустить скобки. Тогда и~ =1ф ( й '+~' (НА — АН)1РМ. Приравнивая зто выражение дГ = ) 'т' дГ 4''й7 дА ° аА мы найдем, что — = — +.
— (НА — АН). дА дА 2яГ дГ дФ Ь Если А не зависит от времени явно, то — = — (НА — АН). ИА зяб а а лд. Формализм ««а«го«од лм«««и«и В частности, это справедливо, когда вместо А стоит р«или о„. Далее, можно показать, что для любой функции Р(р, д), которая может зависеть я от г, имеют место равенства а дР а дл Рд. — (Р =-пг-~ — ° Рр. — Р.Р- —.ч=-, ~-.
Это, очевидно, справедливо, когда вместо'Р стоит р, или д„; далее, в предположении, что этн равенства верны для некоторых функций Р~ и Рз переменных р, а, можно непосредственно убедиться, что это будет также справедливо и для Р,+Рз и Р~. Р1 а следовательно, и для всех полиномов и всех функций, которые можно представить бесконечными полиномами (рядами), т. е., практически говоря, справедливо для всех функций. Комбинируя только что полученные результаты, в применении к случаю, когда Р и, а А равно одному из д„и р„, получаем дда дН и; = а (Нд. — Ч.н) = -33- дН 4т а (Ри Р~11 "3 Итак, канонические уравнения являются следствием зависящего от времени уравнения Шредингера, причем, как нетрудно убедиться, обратив рассуждения, справедливо и обратное утверждение.
Чтобы выяснить смысл этих уравнений на матричном языке, обратим внимание сначала на тот факт, что можно менять порядок дифференцирования по времени и взятия матричных элементов. Итак, возьмем ф=аф„+Ьф„„где ф н фм — две функции из ортонормированной системы, а а и Ь вЂ” вещественные илн комплексные постоянные, удовлетворяющие равенству !а!'+!Ь!«=1, так что ~ (ф'а~у=1. Тогда А =~(аф.+К47А(а~„-)-Ьф )йд= ~а РА„«+аЬ'А „+а'ЬА,„-(-~Ь|'А„ и точно так же Я-! )'( — ",",), + Ь'( — '„) + 'Ь(-® +)Ь) ( — "„",) Согласно определению ИА/Ю, производная по времени от первого выражения равна второму; но то же самое верно для первого и последнего членов двух сумм соответственно — чле- Ирилозсвныя нов, представляющих собой средние по состояниям ф и ф .
Поэтому мы имеем и уравнение, сопряженное этому. С другой стороны. если Н не зависит от времени явно; а Е„ есть одно из его собственных значений, то в матричном представлении Н имеет диагональный вид Н„ Е„б ; поэтому '(НА АН)ав = ~~~> (ЕаблэА~т АаьЕьЬ~~ = = (Е, — Е„,) А„йт А„. Комбинируя последние два результата, находим — = — (НА — АН) = 2пу А еАщв зи и Это дифференциальное уравнение для матричных элемектов; его решение имеет вид ьси ю Азв о е е йч,ьз = Еэ — Ед,е где а,ь — постоянные. Такам образом, мы получаем обычную формулировку матричной механики (Гейаенберг, Борн н Иордан„(925 г.), в которой предполагалось, что матричные элементы периодичны во времени, причем периоды удовлетворяют комбинационному принципу Рйтца (гл.
ч', $ 3). Ж. Общее-домазапьвльсмво соолэмопзвмнд мвомрв деле ммоспаей Приведенный в гл. 1У, 5 7 вывод соотношения неопределенностей, исходя из явлений дифракции и других наглядно представляемых процессов, приводит к результату, определяющему лишь порядок величин. Для получения точного неравенства мы должны призвать на помощь общий формалязм квантовой механики, изложенный в приложении 26. Для любого оператора А среднее значение произведения АА+ всегда неотрицательно; действительно, по определению А" ХГ+= ~ ~р'(АА+~р)йр= ) ф'А(А+~р)Фу= = ~ (А+<р)'(А+<р) сну = ~~ А+р~'ейск ~'О.
'Теперь мы можем вывести неравенства, относящиеся к средним значениям двух вещественных операторов А и .В.— неравенства, приводящие к соотношению неопределенностей Гейзенберга. М. Общев дэяаэатальетэо соогноиияия неоаределеимостай 44В Из определения А+ следует после умножения на 4, что ~ у' (4А+Ф) йу — ~ (4А+ щ) чр сну, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
