1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 80
Текст из файла (страница 80)
М. З33ВОО 3ео3333зввв Рвэв3343О33оа в ВЗШЗОВоя 33воамвво 4И Таким образом, вероятность рассеяния в единицу телесного УГЛа, ИЛН .диффЕРЕНЦавЕЛЭИОЕ СОЧОНиа РаССЕЯЯипв, ОКаамзастСЯ равным — "= у(Е))е. Потенциал можно приближенно представить в виде в-Пв р.= 1вед в в где экспонента описывает экраннрующнй эффект электронного облака; а имеет величину порядка атомного радиуса 10 в см. Можно выполнить и интегрирование по г, что дает П33 — -о — — "-3-. Кв+ — 1- Здесь К==2й е1п — = — е(п-в., В 433 В 2 А где Х вЂ” длина волны де-Бройля.
Поэтому 1/ае всегда мало по сравнению с К для тех частяц, скорости которых велики, но за исключением проходящих в яепосредственной близости от направления падающего луча (8 О). Если величиной 1/пе пренебречь, то эффект зираянрования полностью исчезает, н мы получаем аявв3 Явд цв) ' ьг ве ЙИ ~Ф нлн, с учетом того, что 2я 2я А = — р= — лов а ь (т3 — скорость), 1(в) 2яг э ' ХвЕ 1 8!333 оо" Прн возведении в квадрат это выражение дает в точности формулу рассеяния Резерфорда, гл. Н1, $ о (различие тольковобозначениях: 3н вместо М н 6 вместо «р).
Каков бы нн был закон для У(г), уточненная формула получается также легко, как н в нашем случае (Бете). Закон этот можно учесть с помощью интеграла, взятого по соответствующей плотности экраннрующего заряда, т. е. в виде так называемого атомного формфактора (см. приложение 24). лу. Развод «разил опзвора в задача Кевлвра Как было показано в $7 гл, У, излучение прн квантовом скачке, по существу, определяется матричным элементом координаты, которая связана с квантовомеханическим средним значением электрического дипольного момента зависимостью, которую мы приводили в тексте: р»= ~ хфа'гав'ФюавФхауахе Здесь мы докажем, что многие из таких интегралов обращаются в нуль и что ненулевые значения отвечают лйшь определенным комбинациям квантовых чисел ((, щ) и (Р; ш'), удовлетворяющих «правилам отбора>.
Для этого исследуем собственные функции различных состояний. Мы получили их в приложении (8 и показали, что их можно записать в виде Ф~.с =Я~, ~(г))в(9 'Р) где Р .с(г) — функция только радиуса, а Ус(й,~р) есть обобщенная шаровая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению ЛГ,-~-(((+1)г, О ~Л ~~~ ~з)п9~+ ~~). Напомним, что функции Ус получаются при выделении множителя р из однородного полинома 1-й степени ц(х, у, х), который удовлетворяет уравненкю Лапласа АУ~=О. Если ввести такие волновые функции в записанный выше матричный элемент, то интеграл расщепится на два множителя. Первый нз них, интеграл по элементарному телесному углубим з$п 9Юйр, имеет вид А) ~, Ю);а, и поэтому не зависит от г.
Второй множитель — радиальный интеграл ~ Ю„гЯыгз дг (поскольку Их Иу ва гэ йг ае). Нам нужно рассмотреть тольке первый интеграл, так как он сам по себе уже дает правила отбора; второй же определяет лишь распределение интенсивности излучения при разливных переходах, Мы утверждаем, что интеграл,Р),"Р равен нулю всегда, когда не выполняются правила отбора 1Р 1Ь 1.
Сделаем несколько предварительных замечаний. Прежде есего легко видеть, что интеграл Мп = ~ урГ~ (йд равен нулю всегда, кроме случая 1 !'. Для доказательства етого факта выпишем в дифференциальном уравнении )"гЛУ; — )',Л)", = (! (! + Ц вЂ” 1(!+ !У ) „ оператор Л в явном виде: (!'(1'-(- 1) — 1(1+ 1)! Ъ'ю Уг Теперь умножим обе части на Ив з(пбдббу и проинтегрируем по всей области изменения 9 и ~р. Тогда оба члена в левой части исчезнут: первый кз-за обращения в нуль з1п В на границах области интегрирования, а второй в вследствие периодичности по ф.
Значит, интеграл справа тоже должен обращаться в нуль, а из того факта, что 11'(!'-)- 1) — 1(1 + 14 ~ УгХюю1м =О, мы и получаем требуемый результат. Действительно, множитель !'(1'+!) — 1(!+1) не равен нулю ни в коем случае, кроме 1 1' (1 и !' неотрицательны), а интеграл должен обращаться в нуль именно прн 1Ф!'. Доказательство правил отбора сводится к следующему: как мы сейчас покажем, выражение вида (х/г) У~ всегда можно представить в виде суммы двух обобщенных шаровых функций— порядка 1+! и порядка ! — 1, т.
е. ~ )с=)с+и+ )г-г Подставив зто в интеграл .Ф, из только что доказанных соотношений найдем, что интегралы тождественно обращаются в нуль всегда, кроме случаев 1' 1~!. Доказательство соотношения, которым мы здесь пользовались, основано иа теореме о том, что каждый однородный полипом Р(х, у, з) степени н можно единственным образом преобразовать к виду Р=У.-+"У.
*+г'У.-.+- ". + У.- + -' где функции У„есть потенциальные функции, введенные выше. При л О нли 1 доказательство теоремы тривиально, так как любой поливом нулевой или первой степени — зто уже потенциальная функция. Докажем по индукции, что зто справедливо н в общем случае. Если принять, что теорема справедлива для всех полиномов степени меньше л, то ясно, что лапласнан ЬР, являющийся полиномом степени и — 2, можно записать в виде ЬР= Ув в+гвУв в+ ... +г Ув-вв+ ° ° . где У,— потенциальные функции, отличные от У . Утверждается, что общее решение этого уравнения, прн условии что степень Р равна л, имеет вид йУ в гвУВ 4 г Ув-вв зв ° +' ЕГ6 = Гв:Гг) "+ х ~ 1 г "с+и+1 г-» как и утверждалось выше.
+ 7Рв:ТГ+а(Б:ЗУ+ " ' где 0 — произвольная функция степени и, удовлетворяющая уравнению Лапласа ЬО О. Чтобы доказать это, возьмем произвольный член нашего ряда и, прнмеияя теорему Эйлера об однородных полиномах, получим Ь(г~У, м)=г~ЬУ, вв.+2йтабг~нгаб У, вв.+(Ьгвв)У, м =О-+2 ° агав ~(л — 2й)Ув-ы+2$(2$+1)гзв вУ, -вв= =ЪЦЦ вЂ” 2й-+ Ц "-'У„ откуда следует искомый результат.
Поливом Р приводится к требуемой форме если положить У -вв=2$(2а — 2й+ 1)У„вв и У О. Отсюда сразу следует доказательство нашего соотношения: хУ~ — полипом степени 1+1, поэтому его можно записать в установленной нами форме: так как функция Ь(хЦ) 2 (дУ~/дх) сама является потенциальной функцией степени Š— 1 (поскольку Ь(дУядх) (д/дх)ЬУй, то ее разложение содержит только первый член ряда, именно член Ц ь Поэтому хУ~ включает только два первых члена ряда: хУ =У~+~+гвУг в. Воспользовавшись функциями ус и разделив уравяеиие иа г'+', найдем, что М. За«аад зреем отеора о оадаоо доаоора 421 Итак, мы провели полное доказательство правила отбора !' 1~1 для азимутальиого квантового числа.
Теперь перейдем к случаю, когда имеется расшеплеиие иа уровни с различными магиитиыми квантовыми числами (например, во внешнем магиитиом поле), и попытаемся найти правила отбора для переходов между различиыми уровнями. Перейдем к обычным обозиачеииям волновых функций, в которых можно иепосредствеиио задать величину момента отиосительио определенной оси. Имеиио заменим обобщеииую шаровую функцию У«(Э, «р) специальиой функцией Р«е а.
Тогда момеит отиосительио полярной оси будет разек «ий/2«о. Иитегрзл Уаао«при этом расщепляется иа два, один яз которых зависит только от Э, а другой †толь от «р. Нас интересует лишь интеграл по «р, так как иятеграл по Э дает правила отбора дзя 1, уже устаиовлеииые выше.
В соответствии с этим рассмотрим три ивтеграла: 1„= / хе'« -"'>ода«, о ?'„~ рьц — че«уе«, о — ~ яе«оа-а ч о «г«р о Оии легко вычисляются, если ввести полярные координаты вместо х, д и е. Ввиду того что я гсоз Э, третий интеграл отличен от нуля только яри ло' ль Объединим два других интеграла следующям образом: 1.
+ П„= ~' (х ~ 1у) е««"--чо (Ч- о гз(пэ ) (соз«р,«.оз(п«р)е«« — 1 ° г(«р=гз(пэ / е'« — 'а«1 ° а6«р. о о Это дает правило отбора ло'=ло ~ 1. Каков же смысл этих двух различных правил отбора в применении к матричиым элементам У, у, У для излучения? Выше мы П З$ййзамя чз убедились. что с точностью до множителя з (злемеятарный заряд) такой матричный элемент означает кзавтовомехаивческое среднее (вероятность) электрического дяпольного момента прн переходах нз состояния л, 1, ш з состояние и',!' т'.
Но по првнцнпу соответствия наличие переменного во времени дяпольного момента вызывает нзлучеине'электромагнитных волн. Далее, поле взлучеиия колеблющегося диполя обладает той особенностью, что в направлении колебаний излучение отсутствует. Поэтому, коль скоро правило отбора лз' ш выполняется только для з-компоненты днполиного момента, это означает, что излучение, соответствующее переходу т- и, появляетсятолько тогда, когда облако электрических зарядов колеблется в спецвальиом направлении (по осв я). Значит, излучение можно наблюдать только под прямым углом к этому направлению. Положение меняется в случае двух переходов т-ни~1, когда излучение можно наблюдать з любом направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
