1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 76
Текст из файла (страница 76)
В отсутствие отталкнвання зта аснмптота н была бы траекторией а-частнцы. Далее, обозначнм расстояние ядра К от вершины гиперболы через д; тогда и = в(1+соз О), У. Формуле РеэерФорав двп рассеивв в-чвсгия 36$ где е — линейный эксцентриснтет (т. е. расстояние от центра О до фокуса К), Š— угол между аснмптотой н осью координат. Из фнг. 102 легко усмотреть, что ь эТйй н поэтому Ь(1+осе Е) Е . ю= — вт — ь ч 2.
Ь, очевидно, разно длине меньшей полуоси гиперболы. Найдем сначала связь между сприцельным параметром удара» Ь н углом отклонения в, который, как видно нэ чертежа, равен я — 20. Для этого рассмотрвм законы двнження и-частицы. Прежде всего воспользуемся законом сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна. Пусть и — скорость а-частицы на очень больших расстояниях от ядра, где полная энергия состоит только нз кинетической.
Приравняв эту энергию к полной энергии а-частицы в момент прохождения через вершину гиперболы, мы получим 1 1 код . 'э Мт' '7Мео+ в Разделив это Равенство на ~/эМтР н положив длЯ кРаткости ХеЕ .и запишем его в вяде 4-- 2Ь »1п Š—.к=1 — -Г Г~=МЪ" Далее, нэ закона сохранения момента следует, что МеЬ = Мтьру, нлн ос Ь Мпз и К ~+сов о ( раас мп* е 1 — сое е ) тспГ5у тстн' Подставив эти велнчнны в предыдущее уравнение.
получим после небольших преобразований Ь Япа =ИВ, нлн, так как у=я — 29, Ь=йсгВ е.. Это уравнение связывает отклонение а«частицы с величиной Ь вЂ” расстоянием от црямой, касательной к траектории а«частицы в бесконечности (асимптоты) до ядра. Теперь легко найти число а-частиц из падающего параллельного пучка, отклоняющихся на определенный угол.
Представим себе плоскость Е, находящуюся на большом расстоянии Ф п г. 103 Отпосптеаьиап частота рассепппп а-частиц парами и некоторой опрехелеппой области утлоа от К и перпендикулярную падающему пучку; пусть С вЂ” основание перпендикуляра, опущенного из К на Е (фиг. 103). Очевидно, все я-частицы, которые, пересекая Е, нронодят через кольцо, образованное двумя окружностями с -радиусами Ь к Ь+с(Ь, будут отклонятъся на углы, лежащие в интервале между ц и у+Ну. Если через квадратный сантиметр плоскости Е проходит одна частица в секунду, то число частиц, прошедших через рассматриваемое колъцо, равно сЪ=2яЬЫЬ, где Отсюда мпт( /д ~ Это и есть число частиц, угол отклонения которых заключен в интервале между у и у+Ну; частицы однородно распределены по поверхности пояса на единичной сфере, площадь которого равна 2пз1пуду.
Позтому 1г(у) — число частиц, которые после нх Компгоп-зффопг отклонения пересекут единицу поверхности этой единичной сферы, составит Ып!2к з1п у йр, так что вероятность отклонения в единицу телесного угла будет равна (й)=~- —,',, =Я$)' —,', . по~ .2 мп' -2. Это н есть формула рассеяния Резерфорда. Любую устанавливаемую ею взаимосвязь (между 2, М, и, ф) можно проверить экспериментально, подсчитывая рассеянные а-частицы.
Правда, зависимость от о можно экспериментально проверить,только в малой области, так как а-частицы, получаемые нз естественных источников, имеют почти одинаковые скорости. В общем экспернментальные результаты чрезвычайно точно согласуются с формулой Резерфорда. Конечно, для легких атомов нужно учнтылать отдачу ядра К прн столкновении с а-частицей. Это легко сделать. Заметное несоответствие было обнаружено только прн почти центральных столкновениях (отклоненне почти на 180') с легкими атомами (заряды этих ядер малы, поэтому падающая а-частица очень близко подходит к ядру). Однако мы не будем вдаваться здесь в этн детали.
Поскольку заряд н масса а частиц известны (это ионы Нез+; для ннх М=4Мн, Е 2е), а нх скорости можно определить нз опытов по отклонению в полях, то формулу Резерфорда можно ислользовать для определения зарядов ядер Я. Прн этом требуется знать лишь количество рассеивающих атомов в единице объема н подсчитать число а-частиц в пучке до рассеивающего елея н за ннм. Например, точные опыты Чэдвика дают следующие значения 2: платина серебро медь 77,4 46,3 29,3, в то время как нз перноднческой таблицы следовали бы числа 78 47 29. Превосходное согласие между двумя столбцами цифр подтверждает фундамейтальное предположение об идентичности заряда ядра н атомного номера.
10. Комялзои-в6666яквз Здесь столкновения квантов света с электронамн мы будем рассматривать в рамках специальной теории относительности, Для нас это представляет большой интерес, так как вычисления не слишком сложны, а получаемый результат тем не менее оказывается применимым к рассеянию очень жесткого излучения, Вычисления опираются на законы сохранения энергин и импульса. Энергия кванта света до столкновения равна /ач, а его импульс /тт/с. Соответствующие величины после столкновения обозначим через /тч' н Ьт'/с.
Для простоты будем считать, что электрон до столкновения покоится. Тогда в формулу Эйнштейна надо подставить массу покоя эта, и энергия электрона будет Фиг. 1М. Дваграмма вмвуаьсов в аффекте Коматоза. равной энергии покоя гласа, а импульс — равным нулю. Пусть скорость электрона после столкновения равна о.
Тогда его масса будет равна ваа Ва — вовами", / о' е нергня а импульс аэо = осс — =. ваао от 1 — -а- с Таким образом, можно утверждать, что после столкновения элеитрон обладает «кинетической энергией» (и — паа) ст = тнаса 1 — 1 ф (разлагая в ряд по степеням и/с, легко убедиться, что эта формула согласуется с нерелятивистской величиной '/антаоа для малых скоростей). До столкновения же эта «кинетическая энергияэ была равна нулю. Бсли ф — угол отклонения кванта света, а тр — угол отклоне- ния электрона, то законы сохранения энергии и импульса прн- и: Фаздаая а Фргалааая а«а«едета мут следующий вид (см. фнг. 104): Закон сохранения энергии: Мт +л«еса=йт'+л«с'; лт лт' — = — соз «р+. нао сов «р, е е Закон сохранения импульса: л««' 0 = — з(н «р — нет«з1н «(«.
е Исключая «р из двух последних уравнений, получаем лееоеее = Ь' ((т — т' соз «р)з + (т' а!п «р)е) = Ь'(те+ т" — 2т~' соз «р). Далее. из закона сохранения энергии найдем, что щес« = (й (т — ч'Н- леееа)2 = Ье(%2+ т'Ф вЂ” 29т') + -(-2леаеей (т — т') + т*ае. Так как по определению а«~е г а 1 нее — ~-.
т. е. нее~! — —,/=«нзз, е' / 1 — -1- то, вычитая первое уравнение из второго, получаем лееес' = — 2йзтт' (! — сов «р)+- 2аз сей (т — т') -1- «еес«, или е««е««« — т' а«ее« / 1 11 (1 — сов«р) — ' —,— — 1, — ). л л р м Для удобства обозначим величину л = 0,0242 А Жф (обычно ее называют комптоновской длиной волны) через еа. Тогда окончательное выражение можно переписать в виде ЬХ = Х' — Х = с 1 — „, — —,, ) = (1 — соз «Р) —,, = 2Х з1н' е 1 л Ф «яее е Г' как оно и использовалось в тексте. 11. Фоновая ее груавоааа скороснвэ Чтобы получить точное доказательство соотношения а«« ет ° приведенного в тексте, мы должны прежде всего рассмотреть наиболее общий внд формулы, описывающей группу воли; представим ее как интеграл Фурье и (х, Ф) = ~ а (т) е' ' 1ч'- ™~ йт, где т т(т) считается функцией волнового числа т.
Предположим теперь, что группа очень узкая, так что з интеграле конечную амплитуду имеют только те волны, волно- вые числа которых отклоняются от среднего значения т на очень малую величину. Положим т тз+ть т(т) то+чАт1) н о(то+тД Ь(т1). Тогда интеграл можно переписать в виде а(х, г)=А(х, Ф)а'"'< ~-"о, где А(х, Ф) ~ Ь(т~)еь'~<"и-"4с(тг Итак, волновой пакет можно считать простой волной с часто- той тм волновым числом то изменяющейся в пространстве н вре- мени амплитудой А(х, г).
Это предположение оправдано, так как мы считаем А(х, 1) функцией, меняющейся очень медленно по сравнению е экспонентой еь" <""-' ~. В первом приблнженнн она меняется в среднем с частотой биений ть которая очень мала по сравнению с ть Скорость совместного с волной движения определенного значения амплитуды А(х, Ф), например ее максимума, назы- вается групповой скоростью. В соответствии с этим она опре- деляется нз соотношения дд нх ЬА й' лг '+ ЬЬ -О полученного дифференцированием уравнения А(х, г)=сопз1 по времени.
Если групповую скорость в отличие от фааовой обозначить через ~У, то можно написать Далее. очевидно, что У 2М ~Ь(т )ч еьи(ч4-майт„ зав — 2яЕ ~ Ь (т~) т1аь~~ ~Ф-~Ф> с(т1. ЬА Поскольку мы предполагаем, что группа ограничена очень узким интервалом длин волн, можно разложить т,(т,) по сте- рд Элементарный еывоо еоогноменнн нвонрвйелвнноетей ЗЗ1 пеням т,: Уйн'1 т1(т,)=т(т) — те=~ — ) т + ....
~й~й Отсюда и е соответствии с этим для групповой скорости имеем йн и=,. тогда как для фазовой скорости справедлива формула и киг-е-. 1л. Элемененарнайй взовод еооязноиеенна нвовре дехенносвеей Гейзенбвре а Рассмотрим волновой пакет конечной ширины, Для простоты возьмем его амплитуду в произвольный момент времени в виде функции ошибок Гаусса (это действительно так для основного состояния гармонического осциллятора, см.
приложения 16 и 39): ~(х) Ае- '~е*. Тогда яолуширина Ьх будет равна ) хеГе (х) Фх й =Ух*= =-в а. ~ ~е(х) Их Выпишем фурье-преобразование для ).'(х): Г(х)= ) о(т)еенылйт. Здесь О(т)= ~ ~(х)е-енылах ОЪ вЂ” амплитуда гармояики с волновым числом т. Подставляя сюда интеграл для ~(х). получаем +ее +се о (т) е А ) е-<~'/ее)-ангел Фх = Ае-(н™г ~' е-ге~в+омегах Простан подстановка х/а+~Ита=у позволяет свести этот интеграл Гаусса: а ~ е-э'Фу=а уя.
СО Поэтому й(т) =Аа у'яе-1 ~г=Аа у'яе-'*Ф', где Распределение царциальных волн, образующих волновой пакет 1(х), дается той же функцией Гаусса с полушириной Ьт ЧтА Отсюда получаем Ьхйт =.т-ай= т-. 1 1 Подставляя сюда выражение для импульса волны р Ьт (гл. 1Ч, $5), приходим к формуле ЬР' еа ' Эта формула и есть точное выражение соотношения неопределенностей Гейзенберга для специального вида волнового па кета (см. приложение 39). Очевидно, по порядку величин соотношение ЬхЬР Ь выполняется для волнового пакета любой формы.
Позже мы получим неравенство с точным численным коэффициентом (приложение. 26). 13. Теораа Гама.митома и аврвмвммзев двйетмама Здесь мы кратко рассмотрим механику кратнояериодических движений (см. гл. Ч, % 2) и соответствующие квантовые условия, По Гамильтону, движение системы полностью описывается .так назмпаемой функцией Гамильтона ГГ(чь |Ьь ° ° ° Рь Рз.. ° ). задающей энергию системы в зависимости от координат ль й импульсов рь составляющих ее частиц, (Для обычных декартовых координат импульс рь равен шьуь., здесь, как н в дальнейшем, точка иад символом означает дифференцирование по времени.) Уравнения движения имеют вид дН дН Фа = -х-- Рэ Отсюда сразу же следует закон сохранения энергии; действительно, образуя полный дифференциал Н относительно времени и используя уравнения движения; получаем 1 ~ т + ~~ р 1 О т. е. энергия системы Н(дь р») Е постоянна, В общем случае можно заменять пару переменных (р», и») любой парой канонически сопряженных переменных — канони- ческие переменные определяются тем свойством„что онн удов- летворяют уравнениям типа приведенных выше уравнений дви- жения.
Исследование таких канонических преобразований ведет к математической задаче (так называемому дифференциаль- ному уравнению Гамильтона †' Якоби), которая во многих слу- чаях разрешима. Здесь мы будем считать, что нужное нам решение существует, Тогда задачу интегрирования уравнений движения можно сформулировать следующим образом: найти новые канонические переменные 1ы вы таяне, в которых энер- гия зависит только от величин 1» н не зависит от величин аа». Тогда уравнения движения примут вид ан 4- — -.„(-„;- — — о, и 1» при движении будет оставаться постоянным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
