1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

С другой стороны, постоянство величин 1» приводит к тому, что величины ° дО Ед — Ч» =-оутакже не зависят от времени, а ю» линейно возрастают со вре- менем: ш» — т»1. Таким образом, в новых координатах задача интегрирования решена; остается только проделать обратное преобразование. Система называется просто нлн кратно периодической, если можно пайтн зтн новые переменные в такой форме, что каждая декартова координата х оказывается периодической функцией величян зз», илпг другими словами, может быть представлена в виде ряда Фурье цо переменным вь ..., юы так что ~~Я лт аэя м,ч+ч~т1+ .. о ч.

ч Д,',~ч, аа мт,ч+а. ъ+ ..лю, т» ч где ть тз, ... — положительные нлн отрицательные целые числа. Коэффициенты а,.„ч, ... зависят от величин 1». Если движение периодическое, то величины 1» называются ларвмеияыми действия, а величины ша — угловыми неременньами. Мы уже встречались с такими величинами на примере ротатора, где каноническими координатами служили азимут Ф н момент р. Функция Гамильтона в этом случае имеет внд зт Ф "=УХ' откуда следуют уравнения движения дН р дН Ф=-~-=-д--, Р= — —,— -О. р Их решения есть Р сопз1 н у в1. Прямоугольная координата определяется соотношением х ае'е = ае"е.

Эренфест доказал, что переменные действия Уь являются адиабатическимн ннварнантамн, т. е. что величины Хь можно квантовать. Поэтому постулнруем квантовые условия Уэ Ьп„(нэ — целое). Но таких условий Можно выбрать лишь столько, сколько несоизмеримых частот имеет рассматриваемое движение. Поясним это, рассмотрев в качестве примера случай двух степеней свободы. Тогда в показателях степени у членов ряда Фурье стоит сумма тж+тзть где тэ н тэ — целые. Если, например, т1 Ать гдв я — целое, то ч,т, + тэта ='тэ(йт;+ тэ). Поскольку тг н тз — целые, величина Фи+та будет принимать любое целое значение. Значит, е действнтельностя здесь существует лишь просто периодическое движение н ряд Фурье состоит из одного члена, Поэтому, очевидно на движекае можно наложить только одно квантовое условие.

Здесь мы встречаемся с вырождением. Канонический набор Хь н вь легко найтн, если описывающие систему переменные разделяются, т. е. если в решеннях уравнений движения каждое рь зависит только от соответствующего дь'. Рэ Рэ (йэ). Можно показать, что е таком случае переменная действия Хь, соответствующая л-й частоте, имеет внд 6э = ~ Ръ М» 14. Кэонтоеиние элэинтиеееиии орбит в теории обдв Ззо где интеграл берется по всему перяоду.

Такям образом, в случае разделяющихся переменных квантовые условия можно наложять сразу в форме. Вопрос о возможном вырождении требует особого исследования этих условий. Поэтому, прежде чем применять взятые условия, необходимо точно выяснить нстииное число несоизмеримых пе,риодов снстемы. Однако часто удобно не обращать на зто внимания (Зоммерфельд) н попросту записывать лишние квантовые условия. Если окажется, что физические наблюдаемые, такие, как энергия, импульс и т.

д., зависят только от определеяных комбинаций квантовых чисел л„пь ..., то пх можно выразить через 'меньший набор целых чисел, н, таким образом, противоречия не вознякнет. Этот способ имеет еще одно добавочное преямущество: когда на вырожденную систему действует возмущение, скажем внешнее электрическое нлн магнитное поле, то вырождеяие, вообще говоря, снимается н появляются новые фундаментальные частоты, несоизмернмые с прежними.

Если для описания невозмущенной системы использовались соответствующие переменные, включающие излишние частоты, и если возмущеяие мало, то квантовые условкя можно получить непосредственно из невозмущеиной задачи. С примером этой ситуация мы встретимся в связи с задачей Кеплера, 14. Нвтипованпв эллаапгатевсмах орбита в «гвораа Бора Квантование эллиптических орбит в случае атома Бора мы проведем методом, описанным в предыдущем пункте. При квантовании системы используется больше частот, чем их в действительности содержит движение, Запишем сначала классические законы движения для двух частиц с массами ш и М я зарядамя — е и е,е, притягивающими друг друга с кулоновской силой. (Мы получим полное соответствие с законами движения в астрономии, за исключением того, что роль притягивающей силы там будет играть сила тяготения.) Пусть хь уь я, и хь уг.

зг-координаты соответственно электрона и ядра. Тогда иг, энергия движения, имеет вид 2 пг(4+И+4+ 7Мйг+Й 1 ягг1 Если считать, что центр тяжести покоится, то тпхг+Мхг обра. тится в нуль. Вводя в качестве новых переменных относнтель- ные коордянаты х, д, х, где х хз — х~ и т. д., получнм М ж х,= — -у —.— х, х,= -Т вЂ” х.

+Ю + НВ Аналогичные формулы справедливы для компонент относительной скоростн. Тогда соответствующнй член в кинетической знергнн станет равным 1 " 1 з 1 -а гкхз-+ ~Мх'= й-рх', где р — так называемая приведенная масса, ввМ а+к (ср. гл. 1Ч, $1, где нсследовалось движение ядра).

Итак, за» дача свелась к задаче Кеплера для относительного двкження вокруг центра тяжести, причем аффективная масса равна м, а движение описывается координатами х, у, ж Помнмо закона сохранения ввергни, для таких двнженяй' вокруг фиксированного центра выполняется также закон сокра- ненкя момента (теорема площадей). Это означает прежде всего, что двнженке аронскоднт целиком в одной плоскости. Выберем ее в качестве плоскости хр н перейдем в ней к полярным коор- дннатам посредством преобразовання х гсоз<р, р гз(п~р. За- кон сокранення момента дает ргзу = ре = сопя(. Энергия в аолнрнык. координатах -равна Ж'= -й р (г~+ гор') — — = сопя(.

1 *з .кФ Г Исключнв у из втнх двух уравнений н заметив, что . бг р аг г Ф вЂ” =-к- —. Фе иг 4т ' получим р~ ~ г ~дГ ~т 1 ~ ую~ Здесь удобно ввести новую переменную р 1/г. Тогда для р мы получим днфференцнальное уравнение г=,'фиф)'+~~-ль. Его решения легко получить, проднфференцировав уравнение по у еще раз.

Сокращая" общий мяожнтель Фр/Фу, мы полу- И: — деиитоеоиае вввйивйеески» орбит е теории нора 39~ чим тогда дифференциальное уравнение второго порядка ивр уевв †+р †- -=О. нов ро Хорошо известно, что его общее решение имеет вид р = —,+ С сов(ф — еь). ро Оно содержит две постоянные С и щ подходящим выбором и вторую из них всегда можно обратить в нуль.

Положив для краткости р' Ср' 41=-рЯ-, з=Сд =-~гуй-. Н мы получим Как известно, это уравнение описывает конические сечения, Чтобы движение было периодическим. т. е. чтобы коническое сечение не становилось бесконечным, знаменатель в приведенном полярном уравнении не должен обращаться в нуль. Иначе говоря, (з( обязан быть меньшим единицы. Перигелий, т.

е. минимальное значенне г, соответствует азимуту ~р О; прн этом гв дД1+з). Афеляю соответствует ф и; при этом гв д((1 — з) . Отсюда получаем паедукицее выражение для главной полуоси бя а =~(г,.+г,)=-1--;;. Ф Для ф ~и/2 г равен'фокальному полупараметру эллипса (см. фиг. 43, стр. 146). Далее, легко видеть, что з — это эксцентриситет эллипса, а малая полуось его равна Ь=у~~Т вЂ” зв. Используя уравнение эллипса, преобразуем выражение для энергии )Р; о-фф((ф ~-Ф(-г ъ- 1 / ( (Я ~)'( лье ~к Мы пришли к тому же результату, что н в случае круговых орбкт (гл.

т, $1), с тем только изменением, что вместо радиуса стоит большая полуось. Теперь, хотя имеется только один период, мы предпишем два квантовых условия: ~ р,йг=п'й ~ роФу='л'з. Ввиду постоянства ро второе условие сразу же дает а воо =1~" Однако первый интеграл вычисляется не так легко; здесь мы имеем и'А = ~ Р, вгг = ~ рв г вгг = ~ рв и Ф вЂ” 4Ф = Ро $ -1- ( ~ ) впР. Таким образом, необходимо вычислить интеграл о о о взятый по полному периоду обращения, т. е. когда у пробегает в нем значения от О до 2п. Интегрирование по частям дает ее ев ее!пе авве Г всоеэ ~ р ввоее =1теГеую 3 !воет ~ 3 теор о о Умножая второе выражение на +2, а первое иа —.1 и складывая полученные равенства; находим во вв 1+2есове+евсееве Г 1 — вв о о Первый из этих интегралов вычисляется непосредственно и дает — 2п, а второй с учетом уравнения эллипса можно преобразовать: ьв ьв 1 — ев 1 — в' 1 а~.-,~ "=-р-1""' о По форме этого выражения видно, что интеграл только множителем 1 — е9ув отличается от удвоенной площади эллипса, равной, как известно, пад, где ве н Ь вЂ” полуоси эллипса.

Под- станин в нашу формулу уже найденные их значения и сгруппяровав члены, запишем первое квантовое условие в виде 1 — ее че зеев Пй= — йярч-+ рч Ъ~ —, = — йй-~- —.и —, ч (1 — е')ч г'1 — ей илн ая5Р т--3-= 4яйа%4а = йй (з' -1- Цй. Если здесь положить л'+й=п, то формулу можно переписать в виде «еае а = Бт Гвт 1 соответственно энергия будет равна е'х зРю'зуй Ю Таким образом, из теории Бора получены бальмерозскне термы с правильным коэффициентом; Начиная расчет, мы ввели дза квантовых условия; соответственно получилось два квантовых числа — радиальное квантовое число а' и азнмутальное квантовое число й.

Однако орбита имеет только один период. Поэтому для нахождения уровней энергии нет необходимости в двух квантовых числах: значения.уровней зависят лишь от их сулйми. Эта сумма называется главным квантовым числом, так как именно нм определяется расположение термов в невозмущенном движеняи. Роль двух других нвантозых чисел выясняется только тогда, когда какое-либо возмущение (отклонение поля от кулонов- ского, учет релятивистского язменення массы, наложениевнешнего поля илн какая-либо другая причина) снимает вырождение. Однако моЖно составить представление о смысле квантовых чисел и с чисто геометрической точки зрения, исследуя эллиптические орбиты. Если, как в $1 гл. Ч, обозначить радяус первой круговой боровской орбиты для л 1 через ай ~ййР- то главная полуось эллипса будет равна а =+пй.

Л~чиОФМВФЯ Применяя прежние формулы, подобным же образом получим для малой полуоси н для фокального полупараметра следующие выражения: Ь=ф Ь, в-фйз. Как мы видим, отношение осей Ь!а равно й/л. При а А получаются круговые орбиты атома Бора. Для Ь О получаем так называемые маятникообразные орбиты (прямые линии, проходящие через ядро), но, как подчеркивалось в тексте, эти последние должны быть исключены. 1о; Осз(ил вяизоР в маизрмчмой мв.вомакв Проиллюстрируем основные иден матричной механики на конкретном примере, а именно рассмотрим линейный гармонический осциллятор.

Йачнем с классического выражения для энергии й ю+Ф»' 1 р~ приводящего к следующим уравнениям движения: р У . г г~ Р— И» Ч = — нлн Ч= — — Ч = — '9~1,"о= ~~ — / ° м Ю ю /' В тексте мы выяснили, что квантовая механика отличается от классической тем, что величины р и в нужно считать не обычнымн функциями .аременн, а матрицами; элемент в означает квантовую .амплитуду, соотеетствуимцую переходу с одного энергетяческого уровня Е„на другой уровень Е„,.

Характеристики

Список файлов книги