1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Но в классической механике возможны и гиперболические орбиты. Что же соответствует им в квантовой механике? Очевидно, решения волнового уравнения, не исчезающие Гл. К Стевктеее его.~в в свеетле ~~яме геиеи на бесконечности. Чтобы получить их, мы должны отбросить граничное условие — обращение в нуль решения на бесконечности — и искать решения, которые на больших расстояниях от ядра ведут себя приблизительно как плоские волны. В действительности такие решения существуют, причем для всех положительных значений энергии. Их физическая интерпретация дает картину того, что происходит, когда электрон, двигаясь из бесконечности, пролетает вблизи ядра и отклоняется в его поле.

На самом деле можно показать, что формула Резерфорда для рассеяния строго справедлива и в волновой механике — мы еще вернемся к этому (гл. Ч, $ 7; приложение 20). Непрерывный спектр энергии обнаруживает себя .и другими путями. Согласно принципам Бора, любой переход между двумя состояниями соответствует акту излучения илн поглощения света. Если одно или оба этн состояния принадлежат к непрерывной области значений энергии, соответствующий спектр частот света будет также непрерывным. Это объясняет появление непрерывного рентгеновского спектра, порождаемого столкновениями электронов с металлической мишенью (гл. Ч, $7). Добавим несколько замечаний о проблеме многих тел в волновой механике.

Здесь мы, конечно, имеем дело с решениями волнового уравнения в многомерном пространстве; так, вычисление спектра гелия требует учета нн много ни мало шести координат, а спектра лития — девяти. Ясно, что в этих случаях нельзя ожидать точного решения, так что мы вынуждены довольствоваться приближенным решением задачи. Методы хорошо развитой теории возмуи(еиий позволяют нам продвинуться в этом приближении так далеко, как мы того пожелаем; однако объем вычислений беспредельно возрастает с ростом порядка приближения.

Этими методами были успешно вычислены низшие термы Не, Ы+ и И, причем результаты оказались в хорошем согласии с опытом (Хиллераас, 1930 г.). Совершенно точные суждения можно извлечь нз любых свойств симметрии„которыми должна обладать волновая функция в силу симметрии, присущей соответствующей задаче. Наиболее важное из этих свойств симметрии состоит в полной эквивалентности электронов и следующей отсюда неразличимости нх; волновая функция должна быть, конечно, одинаковой вслучаях, когда, скажем, первый электрон находится на К-оболочке, а второй — на 1.-оболочке и когда, наоборот, второй находится на К-оболочке, а первый — на 1.-оболочке.

Это ведет к общим правилам расположения термов в атомах с несколькими валентными электронами. Однако полученные таким образом результаты еще не доступны сразу же непосредственному сопоставлению с опытом, так как в рассказанном до настоящего мо- Э в". Мвваиввввввя мвмввв в вввввввя мввввв«в мента о волновой механике недостает существенного принципа, который был открыт Паули и который предстанет нашему вниманию только в гл. Ч1.

ф А Механнчесний момент 1момеяи» имнуласау е волновой механике Механический момент играл в теории Бора особую роль прн классификации спектральных линий и систематизации тер- мов; было выяснено, что он соответствует квантовому числу А. Это вновь наводит на идею пространственного квантования, экспериментальное подтверждение которой в опытах Штерна н Герлаха, возможно, является наиболее впечатляющим доказа- тельством фундаментального различия между классической и квантовой механикой. Итак, возникает вопрос: как обстоит дело с этим в волновой механике? Способна лн она естественным образом описать пространственное квантование? В волновой механнке моменту, как н нмнульсу, соответ- ствует свой дифференциальный оператор, компоненты которого суть Ь/ дд1 т„= ррв — ерв = — ~у — — я — ), 2я1 1 дв ду)' Ь ? д д 1 т„=яр — хр, 1з — — х — ), зя1 1 дх дв) ' Ь ? д д 1 т, =хрв — ррв=-БГ1х — — У вЂ” ) ду дх) ' В чем значение этих операторов? Состояние электрона опреде- ляется волновой функцией ф.

Для ответа на вопрос, принадле- жат ли этому состоянию определенные значения компонент мо- мента вдоль трех координатных осей, мы должны, согласно правилам волновой механики, «применить» упомянутые опера- торы к волновой функции ф„т. е. совершить над нею диффе- ренцирования, указанные в операторах. Тогда появляются две возможности: либо эта операция воспроизводит волновую функ. цню с точностью до множителя, либо нет. В первом случае волновая функция называется собственной функцией уравне- ния для момента тф=т Ф, а состояние, представляемое собственной функцией, обладает поэтому определенным моментом вдоль оси х, величина которого равна «собственному значению» шв (причем т„здесь— обычное число, а не оператор, как лт ). Если, однако, применив оператор тв к волновой функции, мы получим другую функцию, 170 Гл.

т. Стеектева атома а вквктравькллв викка вовсе не совпадающую с точностью до постояннного множителя с волновой функцией, т, е., как говорят в таких случаях, если ф не является собственной функцией уравнения для момента, то это будет означать, что рассматриваемое состояние электронов не связано с фиксированным значением момента вдоль оси х. В случае собственных функций, приведенных в приложении 18, благодаря самому выбору полярной оси (оси «) мы выделили ее с самого начала. Согласно теории Бора, составляющая момента вдоль этой оси должна быть квантованной.

Так вот, вол. новая механика действительно показывает, что собственные значения «-компоненты момента представляют собой целые кратные величины й/2лт. Именно, введя сферические коорди наты, мы имеем Л I д д1 Л д а применив этот оператор к собственной функции состояния, характеризующегося квантовыми числами п, 1, ш, мы получаем после учета формы зависимости волновой функции от у (зависимости вида е' ч): Л д Л Пзлфло =-Я~ да Рлпл=лт-~„- Фл8лве так что собственные значения компоменты пз, момента действительно равны тЬ/2лт. Что же касается компонент момента вдоль двух других осей координат, то, как легко обнаружить, з данном случае мы не можем найти собственных значений и поэтому не получаем определенных величин пз и щ,. С другой стороны, величина полного момента атома, который может свободно вращаться (в отсутствие внешнего поля), — эта величина во всех случаях квантуется.

Для краткости мы сошлемся на приложение 19, содержащее необходимые вычисления, а здесь дадим только результат: квадрат величины полного момента лгзз = птз.+ изт+ лез т л равен, согласно волновой механике, 1(!+1) (Й/2лт)в, а не Р(Ь/2я)в, кок в теории Бора. Эта отличительная черта характерна для всей волновой механики атома, и в следующей главе мы будем часто встречаться с ней. Более того, как мы узнаем там, картина расщепления термов при аномальном эффекте Зеемана дает прямое подтверждение тому факту, что квадрат момента пропорционален 1(1+1), а не Р, Однако если не говорить об этом различии, то в волновой механике мы сможем представлять моменты с помощью векторной диаграммы, известной из теории Бора; таким образом, и здесь мы изображаем й Ю.

Чвгэость полный момент вектором 1, о котором мы должны разнавсегда Ь м~ р У гэ+Ц. В случае, когда з-направление выделено, скажем, присутствием (очень и очень) слабого магнитного поля Н, действующего вдоль этого направления, составляющая вектора момента в выделенном направлении может принимать только целые значения гл (в единицах Ь/2п), и это положение вещей сохранится даже в предельном случае Н-~0. В целях большей ясности здесь, и в особенности в гл. Ч1, мы сохраним векторное представление момента, прецессирующего вокруг выбранной оси и имеющего в направлении этой оси компоненту, величина которой может принимать только целые значения, Однако мы настойчиво подчеркиваем, что просто так, без дальнейшего обоснования, эту идею нельзя органически включить в общую систему понятий волновой механики.

Такая задача и, в частности, доказательство того, что в волновой механике два момента можно векторно складывать точно так же, как и в полуклассической теории Бора, требует использовании сложных математических методов, в особенности так называемой теории групп. По этой причине мы не станем сейчас углуб. ляться далее в эти вопросы. Однако можно упомянуть, что дальнейшее развитие теории привело к тому, что электрон стали рассматривать не как частицу, полностью описываемую тремя координатами в пространстве, но как подобное волчку образование, само по себе обладающее моментом. С такой <спиновойэ теорией электрона мы будем иметь дело позднее (гл.

Ч1, 5 1). ф 6. Четность Мы уже видели ($4 этой главы), что при работе с волновым уравнением Шредингера интерес представляют однозначные и конечные его решения — так называемые собственные функции уравнения. Оказывается, что, вообще говоря, эти решения обладают определенной симметрией относительно отражения осей координат около начала, коль скоро гамильтониан симметрииен относительно этого преобразования.

Те функции. которые при этой операции остаются неизменными, называют четными, а те, которые меняют знак,— нечетньиви. То, что весь результат такого преобразования сводится лишь к возможному изменению знака, удается усмотреть нз такого простого примера. Предположим, что гамильтоннан системы Н~(-2"-Т)(д ), Ч~ симметричен 172 Га. У. Структура атома и оиаитраиаииа мтиии Рассмотрим типичную собственную функцию $(Е), отвечаю- щую собственному значению Е, так что (Н( ь д Ч) Е1Ф(Ф вЂ” О, Заменив е на — е и используя симметрию Н, мы имеем ~ Н(-й-г —...

~у) — Е ~ ~р ( — у) = О. Таким образом, и ф(д), и ф( — е) удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению: значит (см. $4 этой главы). коль скоро речь идет о невырождениом собственном значении Е, отсюда следует. что два решения могут отли- чаться только постоянным множителем. Йтак, ф(е) =А~у( — е). Заменив д на — а, получим Ф( — е) =АФ(е) =А'Ф( — у) Следовательно, Ат 1 и А ~1; это показывает, что ф(д) и ~р( — е) совпадают с точностью до возможной разницы в знаке.

Характеристики

Список файлов книги