1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Теперь перед нами стоит типичная задача «на собственные значения»: нужно найти те значения параметра Е, при которых это дифференциальное уравнение обладает решениями, однозначними и конечными во всей области изменения переменных (см. приложения 16 — 18).
Если эта задача имеет с точностью до постоянного множителя только одно решение (собственную функцию)„то. собственное значение называют простым, или невырожденным; когда существует несколько различных реше ний, собственное значение называют вырожденным. Как пример метода построения волнового уравнения мы рассмотрим частицу, движущуюся вдоль прямой (координата е) под действием силы такой, что потенциальная энергия частицы в ее поле равна У®; тогда Н= — -+ Р'(у)- Р' Следуя описанным выше правилам, мы получаем уравнение Шредингера ( ~~ ъ~"~~г+~ (ч)+тй аг) Ф=О' и соответственное не зависящее от времени уравнение стационарной задачи — „",'--ф+(Š— р (у))ф=о.
д К Ваааавая аааанааа Важный пример осциллятора с У(д) =.)д92 мы вскоре рассмот- рим (стр. 165). Однако прежде чем попытаться искать точные решения вол- нового уравнения, объясним, почему приводит к удовлетвори- тельным результатам метод квантования классических орбит, описанный в предыдуп1нх параграфах. Раеумеется, дело све- дется к особому случаю принципа соответствия. Если взять классическое уравнение для энергии Н(р, и) =Е, подставить в него наше специальное выражение для Н и затем разрешить его относительно р, мы получим л а) = 1'Жэ — тм1 Волновое уравнение можно записать в виде Я)* ф+р'(~) ф=о. Попытаемся решить его (Джеффрис, 1924г.; Вектцель,Крз. мерс, Бриллюэн, 1926 г.) подстановкой ф (,у) — Я«на4Ф) а 1Ф, где „фаза' Ф(д) играет роль новой неизвестной функции; тогда (~~) ~~,а«пацм р ф «"Р ( «Ф)'] Полагая в согласии с принципом соответствия величину й малой и пренебрегая в правой части членом с множителем М, сведем волновое уравнение и виду ®' =я*(ч).
Это уравнение имеет решение Ф(ч)= ~ р(ч) лч. Если его подставить в экспоненту, через которую выра- жается ф, то условие однозначности ф в области изменения переменной р. очевидно, сведется к требованию. чтобы величина л $ Р(Я<~я = и была целой; в этом случае показатель в экспоненте будет уве- личиваться на 2Ып всякий раз, когда д завершает полный цикл своего изменения (гл. Ч, $2). Но это как раз и есть квантовое условие Бора.
Мы пришли здесь к более точной формулировке рассуждений де-Бройля (стр. 158). 11" зе4 Гл. У. Структура атома и апектралвиие линии Можно показать, что зто приближенное решение представляет собой первый член асимптотического разложения точного решения по степеням Ь, получающегося в результате последовательных шагов, причем не только фаза ф, но и амплитуда А считается функцией коордяяаты д.
Этот метод может быть обобщен н на системы со многими степенями свободы; таким путем получают в качестве первого приближения квантовые условия Зоммерфельда для кратнопериоднческих систем (гл. У, $2). Прямер системы с тремя степенями свободы мы имеем в важном случае атома водорода. Здесь функция Гамильтона есть И= ~Р.-(- р„-+ р*,) — —,, а выводимое из нее дифференциальное уравнение имеет вид ~ Йй (2М) ~для+ дуГ+ дР) т ( 2М дГ ) т Если ввести обычный дифференциальный символ Ь для оператора Лапласа д9дхз+д9дуз+дада' и перейти, к не содержащему зависимости от времени уравнению, положив ф -<типы м мы получим уравнение (-А-ь+ю+ — — ")) ф=о.
Это — волновое уравнение в трехмерном пространстве, и его решения мы исследуем позднее. Для читателя будет проще, если мы начнем с соответствующих задач в случаях одного и двух измерений; ради большей ясности мы возьмем наши примеры из классической механики (акустики). Пример такого рода в одном измерении дает нам колеблюп(алея струна. Ее дифференциальное уравнение выводится в теории упругости и имеет вид д'Ф г д'Ф О да а ет дФЗ Здесь с — постоянная, зависящая от механических условий (толщины струны, натяжения); фактически с представляет собой скорость волны, бегущей вдоль струны, так как любая функция от комбинации (х ~-е1) является решением уравнения.
Сейчас мы рассмотрим стоячие волны, периодические во времени, с ф етит"'; тогда уравнение сводится к уравнению Я-+ьр=о, ) =(~;)'. 166 р 4. Велкееак маканина Здесь, как н во всех классических задачах, собственное значение параметра Х пропорционально квадрату частоты ч, тогда как в задачах волновой механики на его месте фигурирует обычно энергия Е М, так что там параметр пропорционален самой частоте т.
Решения дифференциального уравнения имеют вид (соз )ГХх, ф(х)=а ~ ~ з1п у' Хх. Вследствие граничных условий ф(0) 0 и ф(1) =0 (струяа длиной 1 с закрепленными концами) колебание по закону косинуса исключается как не удовлетворяющее по крайней мере первому граничному условию. Но даже и синусоидальиое колебание не представляет решения краевой задачи, пока су'Х не оказы.
иается целым кратным и, так чтобы ф исчезала при х 1. Только для определенных значений' Х (собственных значений) осу. ществляются возможные типы колебаний; такие типы определяются равенствами ф(х) з(п( — "), Х=( — ) . Колебание с а= 1 — основное, с и 2 — первая гармоника (октава) и т. д. В процессе колебаний в определенных местах Фиг. 52. Вины коаебаиия струны с закренаеиными концами. Йонзззнн оснозноз ноззбззнз тн и н нзрзнз знз ззрноннннрв 1 на 3Ь струны находятся узлы, т. е. точки, покоящиеся во все время колебания (фиг. 52). Число узлов зависит от параметра п и, очевидно, равно и — 1. В качестве более актуального примера такой системы с одной степенью свободы мы рассмотрим в рамках квантовой теории гармоническим осциллятор, о волновом уравнении для которого мы уже говорили выше.
Решению этого уравнения посвящено приложение 16. Вместо введения Планком уровней энергии Е пйт волновая механика„точно так же как и мат ричная (см. приложение 1б), приводит к термам: Е = 1П + 1 ) йт, 1бо . Гл. К структура атома и сивктраленые лоном Основное состояние (т. е. в смысле величины энергии низшее состояние, и 0) обладает, следовательно, конечной энергией Е Ьт/2 (нулевая энергия). В дальнейшем мы используем это (гл.
1Х, $7; приложение 39). Рассмотрим далее как пример двумерного механического колебания колеблющуюся круглую мембрану, для которой дифференциальное уравнение в случае стоячих волн приводится к виду (-Д,-+-~~-)- Л) ф-а. И здесь собственное значение параметра Л зависит от природы мембраны и пропорционально квадрату частоты. Дифференциальное уравнение легко решить в полярных координатах (прнложенне 17), и в этом случае возможные типы колебаний осуществляются только лля некоторых определений значений Л. Вместо узлов здесь имеются узловые линии, причем двух типов: !) линии, на которых г сопз1; нх нумерует радиальное порядковое число, нлн «квантовое число» и 1, 2, ...; 2) линни, на которых ф сопз1, соответствующие азнмутальному «квантовому числу» уи О, 1, 2,.... и ей уи Ю п ! тиы2 и 2 ит О Фиг.
йа. Некоторые формы колебаний круглой мембраны, аакреплеиной по краб. алесь (н вротваовоаоныосзь обычным обоавачавемм волновал малеевка! чвсло ралвальнмк узловык лаана обозначено через в, е чвсло азвмутальнык-через ои л к ы врекставлкмт собой екаавтовыа ческе» колабатеаното состоккнк. На фнг. 53 изображено несколько примеров, Знаки «+» н « — » в различных областях указывают, что соседние области колеблются всегда в противоположных фазах. Задача об атоме водорода как трехмерная квантовая задача также может быть решена в сферических координатах; это проделано в приложении 18.
Необходимо добавить, что в этой задаче мы не можем говорить об обычных граничных условиях, так как область изменения независимых переменных включает все трехмерное пространство, Естественно наложить условие, й К Волновая ма»анана 167 чтобы на бесконечности волновая функция убывала «быстрее», чем 1/г. Это следует из статистической интерпретации квадрата амплитуды волновой функции как вероятности найти электрон в определенной точке пространства (гл. У, $ 7).
Указанное условие эквивалентно требованию, чтобы электрон с достоверностью находился в конечной части пространства. Учтя это «граничное условие», мы получаем решения волнового уравнения, соответствующие связанному электрону (эллиптические орбиты атома Бара), только для определенных ди. скретных значений Е. В качестве собственных значений мы получаем таким путем в точности термы Бальмера с правильной постоянной Ридберга, Š— Ей/лв. Здесь п — главное квантовое число. Кроме него, появляются также азимутальное квантовое число 1 и магнитное квантовое число гл. Число узловых поверхностей г=сопз1 равно и†! — 1; следовательно, при данном л число 1 может быть любым целым от 0 до и — 1; что же касается т, то оно может принимать все целые значения от — 1до+1.
Если принять во внимание релятивистскую поправку для массы, энергия начинает зависеть и от Е Кроме того, как следует из формы этой зависимости, 1+1 соответствует квантовому числу й Бора, так что теперь нашу номенклатуру термов нужно понимать следующим образом: 1=0, 1, 2,..., Терм з, р, И, .... В магнитном иоде энергия Е зависит и от т; действительно, точно так же, как в теории Бора„в качестве добавки к энергии появляется член тт~й. В той стадии, которой мы достигли в ее изложении к настоящему моменту, волновая механика объясняет только нормальный эффект Зеемана (см. 2 2 этой главы). Квантованию по правилам теории Вора теперь соответствует конечное число значений гп, т.
е. уровней энергии в магнитном поле; фактически появляется 21+1 уровней вместо каждого одиночного уровня, существовавшего в отсутствие магнитного поля. Волновая механика качественно н количественно верно описывает (Шредингер, 1926 г.) расщепление термов в электрическом поле (эффект Штарка). Обсуждавшиеся до сих пор состояния атома водорода соответствуют„очевидно, эллиптическим орбитам старой теории Бора: в обоих случаях электрон остается на конечном расстоянии от ядра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
