1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Например, как нетрудно видеть, сферические гармоники г"1 ~ (приложение 18), являющиеся собственными функциями мо« мента, либо четны, либо нечетны соответственно тому, четно или нечетно 1. Далее, можно доказать, что до тех пор, пока гамильтониаи симметричен относительно пространственных отражений, чет- ность собственных функций не меняетсясо временем. Как гово. рят, четность сохроияется. Позднее мы узнаем, что, хотя обычно четкость и сохраняется, существуют, однако, некоторые про цессы слабых взаимодействий, которые описываются несиммет- ричными гамильтонианами, так что четность не сохраняется.

8Т 7. Статистическая интерпретация волковой ме.каюиа» В заключение нам предстоит еще рассмотреть смысл волновой функции самой по себе; до сих пор она фигурировала в качестве, так сказать, побочного продукта при нахождении собственных значений. Но для колебательного процесса знание амплитуды по крайней мере так же важно, как и знание собственной частоты. Следует ожидать, что и в волновой механике должна приобрести большое физическое значение волновая функция ф или, вернее, квадрат ее модуля, так как само по себе мгновенное значение осциллнрующей функции, разумеется, не Э" 7. Статистическая иитериретааии еоеиоеой миеаииии ИЗ может играть роли ввиду высокой частоты ооцилляцнй.

Квадрат модуля берется по той причине, что сама волновая функция (из-за мнимого коэффициента перед производной по временн в дифференциальном уравненнн) комплексна, в то время как ве- лнчнны, допускающие фнзнческую интерпретацию, конечно, должны быть вещественнымн. Мы уже упомнналн об ннтерпретацнн волновой функции, данной Борном (гл. 1Ч, 5 7). Пусть собственная функция фв соответствует некоторому состоянию; тогда ! чп 1т сгп есть вероятность. что электрон (рассматриваемый как частица) находится в элементе объема Ио. Эта интерпретация станет совершенно очевидной, если рас- смотреть не собственные квантовые состояния (с днскрет ными отрнцательнымн значениями энергии), а состояния с по- ложительной энергией, соответствующие гиперболическим орби- там теории Бора, В этом случае мы должны решить волновое уравнение ~ -е„-; — Ь -+ Š— У (г) ~ ф = О, где вместо кулоновского потенциала ет с Г фигурирует некоторый более общий потенциал У(г), взятый так, чтобы учесть возможную экранировку поля ядра со стороны прочно - связанных электронов.

Для частиц, вторгающихся в атом с очень высокими скоростями н, следовательно, с очень большой энергией Е, У(г) принимается во внимание только как малое «возмущение»; если нм пренебречь, мы получим в каче- стве решения уравнения ~ —,„",'„Л+Е~ф=О плоскую волну ф е<~"")р*, где Е =-ао —, рт а направление нормали к волне без утраты общности выбрано параллельным осн з. В первом приближении возмущение можно учесть, подставив в качестве ф плоскую волну в член У(г)ф первоначального уравнении„.тогда мы должны найти решение уравнения (Борн, 1926 г.) -й-~ — Ь+ Е) ф = тг(г) егь""'~ с'.

(".; Гм у. Структура атома а сктктРаавкаа лапка соответствующее волне, расходящейся от ядра. Совершенно ясно, особенно в свете аналогии с рассеянием световых волн, что интенсивность вторичной волны дает число электронов, отклоненных в определенном направлении и принадлежавших к данному налетающему пучку; фактически это и подразумевает предложенную выше статистическую интерпретацию. Более строгое исследование приведено в приложении 20; там показано, как надо определять интенсивность, т. е. число частиц в потоке, падающем на квадратный сантиметр за секунду.

В частности, если потенциал У(г) выбран так, что соответствует (экранированному) кулоновскому полю, то в результате получается (Вентцель, 1926 г.) в точности формула рассеяния Резерфорда '(гл. 111, $3). Фактически вывод проводился только для быстрых частиц, но можно показать (Гордон, Мотт, 1928 г.), что результат справедлив совершенно строго. Точное решение отличается от приближенного только членами, не влияющими на интенсивность потока.

Этот весьма замечательный факт находится в аналогии с тем, что в случае кулоновского поля волновая механика дает значения дискретных термов, совпадающие с вычисленными на основе квантования классических орбит. Если перенести описанную статистическую интерпретацию на случай дискретных состояний, когда Е„ — энергия. а ф„— собственная функция такого дискретного состояния, то ~ф,~»~й> есть вероятность того, что электрон будет найден именно в элементе объема ~й~;,это справедливо несмотря на тот факт, что при проведении эксперимента полностью разрушалась бы связь электрона с атомом.

Согласно нашей интерпретации, вероятность нахождения электрона вообще где-либо в атоме должна равняться 1; другими словами, множитель, который после решения (однородного) волнового уравнения оставался бы совершенно неопределенным, следует выбирать так, чтобы удовлетворялось уравнение ) ! Ф„Гав=1. Этот анормировочный интеграл», имеющий смысл лишь для дискретных значений энергии, играет существенную роль, так как он не меняется со временем даже тогда, когда мы, не ограничиваясь лишь стационарными состояниями, подставляем в качестве ф вообще любое решение волнового уравнения, явно содержащее время, Часто мы говорим о распределении плотности электронов в атоме или об электронном облика вокруг ядра. Мы подразу- З 7.

Стати«та«ееяая иятеряретаиия воеяовоя яеяаяияи 17$ меваем под этим распределение заряда, которое получается умножением функции вероятности 1Фе~т определенного состояния на заряд электрона е. С точки зрения статистической интерпретации смысл этого распределения ясен; на фото!6 пока вано, как можно изобразить это распределение. Изображения представляют собой проекции (тенн7 электронных облаков в различных состояниях; нетрудно непосредственно выявить положения узловых поверхностей. С другой стороны, статнстнческая интерпретация волновых функций указывает путь расчета излучения атома на основе принципов волновой механнкн.

В классической теорнн излучение определяется электрическим днпольным моментом р атома, вернее, скоростью изменения рво времени. По принципу соответствия эта связь должна сохраниться н в волновой механике. В волновой механике днпольный момент р легко вычисляется; если придерживаться аналогнн с классической атомной механикой, то он равен р г ~ г!Ф, ~т гИ = е ~ гадь еМ, где г означает радиус. вектор, проведенный от ядра к точке интегрирования. (Как обычно, звездочкой помечена комплексно сопряженная величина.) Очевидно„интеграл представляет положение «электрнческого центра тяжести электронного облака», Легко проверить, что для всех стационарных состояннй атома этот интеграл обращается в нуль, так что производная диполь- ного момента, а вместе с ней н нзлученне равны нулю; таким образом, в стационарных состояниях нзлученне отсутствует, Это объясняет непонятный с точки зрения теории Бора факт, что вращающийся вокруг ядра электрон может двнгаться по своей орбнте, не излучая, хотя по классическнм законам он должен испускать свет той же частоты, что н частота его обращення.

В волновой механике отсутствне нзлучення вызвано тем, что компоненты излучения, нспускаемые по класснческой теории отдельнымн двнжущнмнся элементами электронного облака,гасят друг друга в результате ннтерференцнн. Но теперь по аналогии с функцией распределения вероятности ф',ф„. определенной выше, можно образовать, для начала чисто формально, «плотность перехода» ф'Ф„. соответствующую переходу нз состояния и в состояние ш. Фнзнческн она соответствует хорошо известным «явлениям биения», возннкающнм прн наложении двух колебаний с блнзкнмн частотами; частота биений определяется временным множителем плотностн перехода -р~иувцв;л р 17б Гл. у.

Структуаа атома а оалктральнма канна н выражается через разность энергий двух состояний как ал Еав ~ л з Аналогично этому образуем н днпольный момент, соответствующий переходу из состояния п в состояние ж: -там с Р п=а 1 Г~РалРл |И=ЕГ а- Он осцнллирует с найденной выше частотой биений. Величина г„ называется матричным элементом вектора координаты т-, как показал Шредингер, этот матричный элемент идентичен элементу, стоящему в и-й строке н т-м столбце гейзенберговской матрицы координаты (приложение 15; см. также приложение 25).

Теперь мы можем применить принцип соответствия, используя классическое выражение для энергии, излучаемой осциллятором с моментом р ез, именно (приложение 8) =4.ь" г. Но нужно учесть, что каждое квантовое состояние л имеет два соседних состояния, одно выше, другое ниже, которые (для больших квантовых чисел) по энергии отделены от рассматриваемого состояния одинаковой величиной Ьч„,л. Следовательно, если мы заменим р матричным элементом р„. мы должны в то же время домножить выражение на 2, так что для излучения, испускаемого в единицу времени, получится выражение (см.

также приложение 28) 4 - а 4«* 1= —,~Р„)а=-ол-г(2пчл )»~Г„ Итак, мы рассчитали излучение, опираясь только на принципы соответствия в связи с правилами классической электродинамики. Отсюда автоматически следует, что в спектрах могут появляться только те линии, частота которых совпадает с «частотой биений» между двумя состояниями атома. Это как раз те линии, для объяснения которых Вор вынужден был ввести как основной постулат своей теории квантовое условие излучения й ла=~л — ~юэ совершенно непостижимое с классической точки зрения. Однако не следует понимать дело так, что если происходит излучение, то оба состояния л и т одновременно возбуждены; скорее речь идет о их виртуальном существовании.

Фактически для того, чтобы произошло самопроизвольное излучение спектральной й 7. Статиетиаевнан интернретацин волновая механини 177 линии, тем или иным образом должно быть возбуждено верхнее состояние; тогда излучение является процессом, сопровождающим перескок в нижнее квантовое состояние (колебанием соответствующего виртуального резонатора). Интенсивность спектральной линии представляет собой произведение двух множителей: числа возбужденных атомов и интенсивности излучения Т отдельного атома, которую мы только что вычислили. Таким образом, волновая механика сохраняет во всей полноте те идеи теории Бора об условиях возбуждения линий, которые блестяще подтверждены экспериментом.

Характеристики

Список файлов книги