1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 33
Текст из файла (страница 33)
д. в классической механике. Между матричной и классической механикой имеется, однако, одно существенное различие; именно, когда в качестве ко ординат а» и импульсов р» оперируют матрицами, произведение этих величин уже не коммутативно: не выполняется, как это было в классической механике, соотношение Но значение такого коммутатора, как показывает теория, вовсе не произвольно; выражение в левой части, образованное парой канонически сопряженных переменных (ры а»), может иметь только одну определенную величину: а Р»ч» — Я»Р» = Бт ° Эти иересгаяоеочиые соотношения (Борн и Иордан, 1925 г.) играют здесь роль квантовых условий теории Бора. Рассуждения, оправдывающие введение перестановочных соотношений, и дальнейшее развитие матричной механики как формального аппарата мы для краткости опускаем.
Однако з следующем параграфе мы выясним, что аналогичные перестановочные 1зз Гл. т. Структура атома и сиввтралеиыв лизим соотношения самым естественным образом появляются в волновой механике. В приложении 15 на примере гармонического осциллятора мы разберемся, как и почему они приводят к правильным результатам. В заключение отметим, что фундаментальная идея, лежащая в основе работы Гейзенберга, была весьма оригинальным образом разработана также Дираком (1925 г.). 5) 4. Волновая механшсо Совершенно независимо от только что описанного направления мысли, попытки решить проблему строения атома были предприняты и на основе идей, развитых в предыдущей главе, р Ф к г. Ы.
Круговое движение с корпускулвряой точки вреяки. Частвва двмвлтсв вс евредедеввве врсвте с вмвтдессм р. Согласно гипотезе де-Бройля (гл. 1У, $5), каждой частице соответствует волна, причем длина этой волны связана в случае прямолинейного движения частицы с импульсом последней соотношением л р Уже сама логика дела требовала попытки расширить теорию„ применяя эту волновую идею к атому, т. е. к электрону, вращающемуся вокруг ядра; в таком случае атом следовало представлять себе как волновое движение вокруг выделенной точки — ядра. Задача теории состояла в том, чтобы вывести закон этого движения, В качестве первого шага мы покажем, следуя де-Бройлю„ что квантовые условия теории Бора можно сразу же интерпретировать на основе волновых представлений.
С этой целью рас« смотрим простой случай кругового движения электрона окола фиксированной точки (фиг. 50). В теории Бора для такого вращения мы имели квантовое условие для момента: Ь р =гр=п.~;. где р означает импульс электрона шо. Представим себе теперь вместо вращающегося электрона движущуюся по окружности волну.
Если радиус круговой орбиты очень велик, то для такой волны будет выполняться то же соотношение, что н для плоской, именно л Р= к Если подставить это значение импульса в предыдущее квантовое условие для момента, получится уравнение Здесь правая часть есть длина окружности: формула устанавливает, что по этой длине должно укладываться целое число длин волн. Каков же тогда смысл квантового условия для момента? Если попытаться построить волну произвольной длины Х; распространяющуюся вдоль круговой орбиты, размечая «след» Фнг. 51.
Круговое аеаэгееее водны. Оврааелаввав вдавав верна волне вовноева голове тогда, когда алана окргжноагн в велев наело рае Ьолевле длнне волне. волны вдоль окружности (фиг. Б!), от точки Р с «нулевой фазой», то после одного полного оборота волна достигнет точки Р, вообще говоря, с фазой, отличной от нуля; после следующего оборота опять получится новая фаза и т. д. Мы не сможем однозначно поставить в соответствие определенную фазу каждой определенной точке. Совсем иначе будет обстоять дело, если длину волны выбрать так, чтобы было гьХ = 2ггг. Здесь благодаря-выбору д. после полного оборота мы придем в точку Р с той же самой фазой, с какой начали. В этом случае волновая картина, или волновое движение однозначно; полный оборот ничего не меняет.
Следовательно, в этом примере квантовое условие для момента идентично требованию, чтобы волновая функция соответствующего колебательного процесса была однозначной. Поэтому в качестве общего метода мы заменяем непостижимое до сих пор квантовое условие теории Бора обычным условием 160 Гл. у. Структура атака и гав«трал»кыв ликии однозначности (и конечности) волновой функции во всей области изменения независимых переменных. Перейдем теперь к рассуждениям, которые привели к установлению дифференциального уравнения — волнового уравнения, выражающего закон волнового движения в атоме.
Конечно, мы можем лишь предполагать по аналогии с другими колебательными процессами, что основной закон будет иметь вид дифференциального уравнения. Естественно, нельзя вывести волновое уравнение строго логически; формальные шаги, ведущие к нему, являются, в сущности, лишь остроумными догадками, Начнем с движения свобо()ной частицы; связанную с ней волну мы описываем волновой функцией ф Втк((«т-ы) В(як()ь)(рл-л() Здесь ч и т обозначают частоту и волновое число, которые, согласно де-Вройлю, связаны с энергией и импульсом уравнениями »=в 1 р з' =~.=в* Взяв частные производные по х и 1, мы обнаруживаем, что )~( — „= Рф.
— -~.7й. = Е4. Л д$ к (Ьр Теперь мы можем «прочесть» эти уравнения наоборот, считая, что дифференциальные уравнения даны, а требуется найти их решение, В случае, когда частица движется по нрямойлинии и допустимы все значения х между — оо и +со, решением будет приведенная выше функция. Если же частица движется по окружности длиной (, а мы обозначим через х координату точки (например, измеряемое по дуге расстояние до этой точки от фиксированной начальной точки окружности), то для х будут допустимы значения только от О до (=2ит; увеличение х на ( возвратит нас в ту точку, от которой мы отправлялись. Так как (у должна быть однозначной на окружности, увеличение х на (=2пг не должно менять функции. Теперь общее решение первого из двух выписанных выше уравнений есть функция (р-А ехр((2Ы(Ь)рх).
При увеличении х на ! эта функция умножается на ехр((2и(/Ь)Р)), поэтому, чтобы (у была «собственной функцией», этот множитель должен равняться единице: г(ткцм) р( — 1 — вФк(к нли р( кь кд Р=Р»= Т = 2ят ° Это означает, что в случае кругового движения уравнение обладает допустимыми решениямн не для всех значений Р, а д а Волновая лрхаюиса 161 только для дискретных «собственных значений» И/1, 2а/1, ЗЬ/1,..., Наши уравнения можно интерпретировать также следующим образом. Когда волновая функция ф известна, соответствующий импульс или его х-компоненту р мы получаем, беря частную производную волновой функции по х: (Ь/2п1) (дФ/дх) р„~ф. Как принято говорить, х-компоненте импульса отвечает дифференциальный оператор а д, /Р~= Б7'7х ' аналогичное верно и для В- и г-компоненты.
Соответственно оператор, отвечающий энергии, есть а д ж дг Операторы, или величины, производящие действия над какими- либо функциями (действуя на одну функцию, онн порождают другую), можно представлять самыми разнообразными спосо- бами. Матрицы Гейзенберга являют собой лишь один опреде- ленный тип представления таких операторов; другим представ- лением является набор дифференциальных коэффициентов, соответствующих компонентам импульса и энергии. Для пред- ставления этого последнего типа перестановочные соотношения Бориа — йордана допускают простую интерпретацию; как мы только что видели, ро — др означает здесь просто применение дифференциального оператора а д а д БТ7е ч ч 'БТ ад к волновой функции ф. Но Следовательно, применение оператора ру — ур эквивалентно умножению Ф на Л/2п1, или, в символической форме, ру — ~ур= = ЛДя1.
Формализм, который Шредингер (1926 г.) счел подходящим для волновой теории атома, базируется на следующем пра- виле. Запишем энергию Н(р, д) гамильтоновой теории как оператор, заменив везде р на (э/2я1)(д/дд); оператор, соответ- ствующий членам с рз, получается повторением дифференци- рования, а именно Ь д Ь д Ую~ дР Р'з Б7 дп БГ д» 4а2 дна ' 11 и. вррв 1ев Гл. и. Структура атома и сп«кгралккые линии Оператором энергии Н(~;;--8-, у) нужно действовать на вола а новую функцию ф. Вместо уравнения для энергии Н(р, у)— — Ю = О мы получаем дифференциальное уравнение (Н(,Ь д, Ч).+~а д )Э=О. Оио называется уравнением Шредингера.
Итак, мы имеем формализм, с которым можно приступить к решению любой механической задачи. Все, что нужно сделать,— это найти для нее однозначное и конечное решениеволного уравнения. Пусть, например, мы хотим найти стаиионарные решения, т. е. те решения, волновая функция которых состоит из амплитуды — функции, не зависящей от времени, н множителя, периодического во времени (стоячие волны). Тогда мы предполагаем, что ~р содержит время только в множителе типа ехр( — (ЪчЦп)Е11 Если подставить это в уравнение Шредингера, получится уравнение, совсем не содержащее времени, именно ~НЯ- —,', д) — Е) ф=о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
