1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В этом случае можно пренебречь зависимостью амплитуды колебаний от изменения длины нити, считая амплитуду постоянной. Тогда мы получаем А = — (тд соз «р+т1фз) И, где черта означает усреднение по невозмущенному движению. Ограничившись случаем малых амплитуд, мы можем заменить соз«р выражением 1 — ф'/2. Тогда А = — тя И.+ ~тд -~- — т1фз) И = — тй И+=АЖ, Первый член соответствует смещению точки равновесия вверх, которое нас не интересует. Второй член, равный произведению И на выражение в скобках,— это увеличение съем' энергии ко« лебательссого даилсенсся. Энергия невозмущениого колебательного движения равна 2У=-~-Рф'+гщ1(1 — соз ф), где первый член представляет собой кинетическую энергию, а второй — потенциальную энергию, отсчитываемую от положения равновесия.
Заменяя 1 — соз ф его приближенным значением ф92, мы получаем Но это выражение совпадает с энергией линейного осциллятора, колеблющегося с амплитудой. ф =1«р. Следовательно, движение есть простое гармоническое колебание ф =фвсоз«в1, 140 Гл. У. Структура атома и оаектрамоиыо ликии а для него Фо —. ч~" . Ч~ 2 Ф~ откуда с учетом равенства е=йттт=)Гу/1 легко получается 13 2 э (рт = — й — — — иди-й- ,' из вида же второго члена в окончательном выражении для А следует, что ийитэто ят ЬЯ7= — — И = — — Ы. 4 х1 Таким образом, мы имеем ацт 1 йт )Р' 7! Но с другой стороны, поскольку ч меняется как Г~', имеем Ьт 1 аГ май т 3 так что а1т ат ау" ч Решая это дифференциальное уравнение для йт как функции т, получаем 1У вЂ” = сон з1 = У. т Таким образом, при медленном (адиабатическом) укорачивайии нити маятника величина Х остается постоянной; в духе упомянутого выше принципа Эренфеста ее можно считать равной целому кратному й: Итак мы получаем уровни энергии гармонического оспиллятора в согласии с фундаментальным предположением Планка (1л.
(Ч, $ 3). В принципе аналогичным образом можно найти адиабати ческие инварианты и для других систем. Однако в общем случае этот прямой метод чрезвычайно трудоемок, и полезно выяснить, нет ли более простого метода выявления адиабатических инвариантов. Покажем, как это делается при помощи геометрийеской интерпретации инвариантной величины 1 Ф7т на при Мере осциллятора (математический маятник с малой амплитудой).
141 ф д дваяговмв условия Выпишем еще раз выражение для энергии, только в других переменных Ч=1ф, Р=глГГ, ~ гпй% )йг= вм" аэа+"й. Д ° В плоскости ру (фиг. ЗЯ) это уравнение описывает эллипс с полуосями =Я~К~. р=~/ —, л)й что можно усмотреть, записав его в виде 7-у+щ7у-=1. ра уа Как известно, площадь эллипса равна ~апФу= агап, т. е.
в нашем случае ~ р бд = 2атйг)l ~~, ( Символ ~ означает, что интегрирование проводится по пол- Ф и г. Зэ. Фаиовме кривые хля лииеаиого осииллятора. Фааовые тонни в ре-лаоскоств выреаают эаанксм, ааонааав историк равны квант кратному ноанчннм и. ному периоду, т. е. в данном случае по замкнутому эллипсу.) Но 2ств= фсЯ, так что иг р ~у= —,=~. Следовательно, адиабатический инвариант представляет собой просто площадь эллипса, а квантовый постулат утверждает, что плошадь замкнутой кривой, описываемой в рд-плоскости (фа» розой плоскости) за один период движения, равна пелому крат- ному л (Дебай, 1Я13 г.). 142 Гд т. Стууитуии игами и еиектрииеиие ликии Сформулированное соотношение допускает непосредственное обобщение.
Сначала и качестве примера системы с одной степенью свободы рассмотрим уже упоминавшийся выше ротаторКоординатой в этом случае служит азимут и=в, которому канонически сопряжен момент р. В свободном вращении р постоянен, т. е. не зависит от угла поворота. Тогда ~=~раб-р ~ж). Если изображать движение в плоскости рд, то интеграл должен браться по прямой линии р сонат, а не по замкнутой кривой. Фиг, 40. Иаобрапмппе базовой припой ротаторе па поверхности цпипнпра. Но следует напомнить, что в этой плоскости точки, отвечающие одинаковым р и отличающимся на 2п координатам д, представляют одно п то. же состояние ротатора. Таким образом, строга говоря, следует рассматривать не рп-плоскость, а рп-цилиндр (фиг.
40) с периодичностью 2п, так что интегрирование должно проводиться по периоду цилиндра и дать 2п. Таким абразом, мы получаем Х=2пр. Из предположения, что правило кван. тования ~=~ р~у= й остается верным и в этом случае, следует тогда, что р а(Ь/2п). Эта формула уже была получена ранее совсем другим путем для водородного атома и с успехом применена к реальному ротатору для интерпретации линейчатых спектров. Оказывается, что правило квантования можно применять не только к системам с одной степенью свободы, но и к сложным системам со многими степенями свободы; оно всегда приводит к результатам, согласующимся с опытом.
р у. Кваитовыв условия Возможность применения его к системам с более чем одной степенью свободы обусловлена тем (Зоммерфельд, Вильсон, 1916 г.), что во многих случаях можно так ввести координаты д~, ва, ..., что сопряженные им импульсы обладают ценным свойством, именно, р, зависит только от дь ра — только от да и т.
д,; системы такого рода называются системами с раздвляющимисл переменыезми. Вообще говоря, движение таких систем многократнсь периодично '), и его можно представить в виде суперпозицинпростых гармонических колебаний и их гармоник (так называемых Ф н в 41. Кривая. иаобраыакзизан неимение системы с двумя степеням свободы. частоты которой т, и ча несоизмеримы (фигура Лнссажу). фигур Лнссажу). Например, рассмотрим в плоскости с прямоугольными координатами х и р движение, представляющее со. бой наложение двух колебаний вдоль осей координат, с частотами чз н та (фиг. 41).
Если бы тз равнялась тт, то путь был бы окружностью, эллипсом или прямой линией в зависимости от соотношения между фазамп. Если отношение тз к та — рацио нальное число, мы опять получаем замкнутые орбиты. Если же тз и та несоизмеримы, т. е. их отношение иррационально, кривая не замкнута, а равномерно заполняет весь прямоугольник, в границах которого меняются переменные. Многократно периодическому движению, вообще говоря, свойственны орбиты как раз такого типа Однако если орбитальная кривая замыкается, совершир конечное число обращений, то фактически существует только один период н соответственно только одно ') В русской литературе чаще пользуются термином чусловио периодическое движение», — Прим.
рвд, 144 Гл. У. Струхтура атома и еаеатралвные линии квантовое условие типа Если же орбита не замыкается, т. е. если система имеет два нли более несоизмеримых периодов, то квантовых условий будет столько же, сколько периодов: р,Щ=п,й, ра ~Из = лай Этот общий случай называют невырождеякым, тогда как случай совпадения или соизмеримости периодов называется случаем вырождения. Если и — число периодов, а о — число степеней свободы, то тв о — и называется степенью вырождения. В приложении 13 мы более подробно рассмотрим эти соотношения. Вскоре мы узнаем, что это искусственное сочетание классической механики с кввнтовымн условиями было заменено последовательной квантовой механикой, в которой целые числа яь пь ...
появляются более естественным путем. Однако даже при этом выводы излагаемой теории приближенно остаются справедливыми для больших квантовых чисел (т. е. для случая„ когда а мала по сравнению с величинами интегралов ~рс(д), как и следовало ожидать с точки зрения принципа соответствия (гл. т', з 4). В качестве приложения изложенных выше правил мы обсудим теперь атом водорода, полное тавантование которого провел Зоммерфельд. Согласно законам Кеплера, электрон движется вокруг ядра по эллипсу, и поэтому движение характеризуется одним периодом. Так как электрон обладает тремя степенями овободы„в этом случае имеется двойное вырождение. В приложении 14 мы выполним квантование кеплеровского эллипса, приводящее к правильным уровням энергии.
Вырождение частично снимается, если учесть релятивистское изменение массы, т. е. зависимость массы электрона от его скорости. В этом случае, согласно Зоммерфельду, орбита предртавляет собой прецессирующий эллипс (розетку); его большая ось вращается вокруг ядра в плоскости эллипса с постоянной угловой скоростью (~фиг. 42). Движение становится двоякопериодичпскнм; кроме первоначального периода обращения, Остающегося неизменным пока прецессня мала, появляетсяеще н период прецесснонного движения. В соответствии с этим мы 14$ б и Кееягоеме условия имеем два квантовых условия: .у,=пй, .ут=йй (ср.
приложение 14); и определяет главную полуось а приближенного эллипса, а й — его фокальный полупараметр г)а Ф и г. 42. Ротетка — орбита влектроиа, обращающегося вокруг ядра, с учетом релятивистского изменения масси. Лннженве ннукратно вериоавчеекое, ври кажном нитке вернгеана емажаетеа на утоа ЬЕ, а птао, д Атао (фиг. 43). Далее, вычисление показывает, что полнъш" момент равен Ь р=й— гас и что выражение для энергии содержит добавку к бальмеровскому уровню: Е= — ', +е(п, й). 1тера2а Из первой формулы следует, что при А=О момент равен нулю; это соответсввует «маятникообразным» орбитам, на которых орбитальный эллипс вырождается в прямую линию. Прн й и мы получаем максимальный момент, возможный для фиксированного и; этот случай соответствует круговым орбитам, При А<п орбиты эллиптические.
В спектрах не обнаружено 10 и. зори 14б Гл. т, Структура атома и сияятраяеииа яииаа никаких признаков существования уровней энергии (термов), соответствующих маятникообразным орбитам. Поскольку такие термы не реализуются, их исключение из схемы термов должно быть оправдано теоретически. Причину мы видим в том, что маятникообразные орбиты проходят через ядро, н электрон в своем движении по ним сталкивался бы с ядром, что, конечно. невозможно, Дополнительный член з(л, л), величина которого будет приведена ниже, отражает более тонкиедетали водородных линий; его влияние состоит в расщеплении каждого бальмеровского терма на несколько уровней; их число определяется квантовым числом й.
Следовательно, сами спектральные линни представляют собой системы более тонких линий, соответствующих переходам между уровнямн высшего состояния (л ль ф и г. 43. Эллиптическая орбита с ядром К з фокусе. А 1, 2, ..., л~) и низшего состояния (л ля, й 1, 2, ..., лз), Это — так называемая толкая структура спектральных линий. Зоммерфельд разработал теорию тонкой структуры для водородоподобных атомов (Н, Не+, 1.1я+), а Фаулер н Пашен на примере спектра однократно ионизированного гелия (Не+) установили полное согласие теории с опытом.
Проверка на Не+ легче, чем на Н, по следующей причине. Термы Не+ отстоят друг от друга в 4 раза дальше, чем термы водорода благодаря тому, что заряд ядра удвоен, а соответствующий множитель для тонкого расщепления, как показывает теория, равен 16. Поэтому тонкую структуру линий Не+ легче обнаружить и измерить. При учете релятивистского изменения массы вырождение водородного атома снимается частично, и движение остается однократно вырожденным. Это последнее вырождение связано с тем, что в отсутствие внешнего поля плоскость орбиты электрона не меняется, причем ее ориентация в пространстве совершенно произвольна.
Вырождение снимается только при включении внешнего поля. Если поместить атом в однородное магнитное поле Н, возникает прецессионное движение плоскости орбиты вокруг направления поля (фиг. 44). В самом деле, вращение электрона в плоскости орбиты обусловливает механический, а также магнитный моменты атома; векторы этих моментов перпендикулярны плоскости орбиты, Магнитное поле, ргК и р 147 взаимодействуя с магнитным момеытом, стремится развернуть его вдоль поля.
Этому противодействует инерция вращеыия электрона; характер этого противодействия хорошо известен с достаточной для наших целей полнотой из теории волчка (гироскопа). Результатом, как и в случае механического волчка, является прецессионное движеыие. Это — третье периодическое движение, возможное для водородного атома. Согласно нашим правилам, оно должно быть ев н г. 44. Гироскопическое движение перпеиднкулпра к плоскости орбиты во внешнем поле. Покопав кокуе, опкемвеемма перпевлккукером. квантованным так же, как и момент орбятального движения, Квантование приводит к формуле р = т ч1 — (и = — А — й+ 1, ..., .+ й), Ь где ре озыачает составляющую момента в направлении поля, так что квантуется именно эта составляющая. Следовательно, для момента (величина р которого должна быть целым кратным Ь/2п) н угол наклона к направлению И также может принимать лишь конечное число значений, именно 2Й+1 значений (фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
