1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 76
Текст из файла (страница 76)
-0 эллиптический параболоид, при Л = О прямая; 9) при Л ) 0 эллиптический параболоид, прн Л = О параболический цилиндр, при Л < 0 гиперболический параболоид; 10) при Л ~ О эллиптический параболоид, при Л = 0 плоскость; 11) при Л > О эллиптический параболоид, при Л = О плоскость, при Л < О гиперболический параболоид; 12) при Л ) 0 эллиптический параболоид, при Л = О нара параллельных плоскостей, при Л < О гиперболический параболоид; 13) при Л ) 0 эллиптический цилиндр, при Л = О прямая, при Л < 0 пустое множество; 14) при Л ~ О гиперболический цилиндр, при Л = 0 пара пересекающихся плоскостей. 10.5.
1) хг + уг + гг — 2х — 2у — 2г = 0; Ответы и указан л 393 2) хг + уг + гг — 2х — 4у — бг + 13 = О 10 6 1) С (2, 2, 2), Л = 2тУЗ; 2) С( — 1, — 2, — 3), В = 5/ъ'2. 10.7. 1) Эллипсоид; центр С ( — 1, — 1, — 1), полуоси у'6, и 3, й2, плоскости симметрии х = — 1, у = — 1, - = — 1; 2) эллипсоид; центр С ( — 1, — 1, — 1), полуоси 2, у'6, 2у'3, плоскости симметрии х = — 1, у = — 1, - = — 1. Эллипсоиды подобны. 10.8. 1) Двуплостный гиперболоид; центр симметрии С (--3, 1, 1), вершины А ( — 5, 1, 1), В ( — 1, 1, 1), ось симметрии у = г = 1, плоскости симметрии х = --3, у = 1, г = 1; 2) двуполостный гиперболоид; центр симметрии С ( — 1, О, — 1), вершины А ( — 1, О, — 1 — игЗ), В ( — 1, О, -1+ эг33), ось симметрии х = — 1, у = О, плоскости симметрии х = — 1, у = О, г = — 1. 10.9.
1) Однополостный гиперболоид; 2) конус; 3) двуполостный гиперболоид; 4) эллиптический параболоид; 5) гиперболический параболоид; 6) эллиптический цилиндр. 10.10. 1) Координатные плоскости Охг и Оугц 2), 3) гииерболический цилиндр с образующими, параллельными оси Ог и направляющей -- данной гиперболой на плоскости Оху; 4) гиперболический параболоид; плоскости симметрии х = ~д. 10.11. Цилиндр радиуса 1/2 с осью х = — 1,12, г = О. 10.12. 1) Параболоид вращения вокруг отрицательной части оси Оу, вершина С(О, 1/2, О); 2) конус с вершиной в начале координат, ось вращения — прямая х = у, г = О. 10.13.
Однополостный гиперболоид. Центр начало координат. Ось вращения х = О, у + г = О. Плоскость горловой окружности у = г; ее уравнение хг+ 2уг — 1 = О, у = г; радиус 1. 10.14. 1) (О, О, О) и (2, 2, 8); 2) точек пересечения нет; 3) (3, 1, 10). 10.16.
Пнс. 10.17. Ниже. 10.26. [[г — гв, а)[ = В[а[. 10.27. [г — го[ = Л. 10.28. [(г — гв,а)~= [г — ге[[а[[сова[. 10.29. [г — гг + [г — гг[ = 2а. 10.30. 1) хг+ у — г' = 0: 2) х = уз+ гг. 10.31. 1) Двуплостный гиперболоид хг — уг — хг = 2; 2) однополостный гиперболоид тг уг + гг 2 10.32. 'Хор (хг + уг + гг + 3)г = 16(хг + гг) 10.33.
хг(уг + гг) = 1 и уг(хг -~- гг) = 1. 10.34. Ц х = ~ соя В, у = 1яшВ, г = г(1) (1 > О, О < В < 2я); 2) х = р(й) соя В, д = уг(1) гип В, г = Х(~) (О < В < 2я). 10.37. хг + уг + гг — ху — хг — де + Зх — Зг = О. 10.38. г;г + уг + яг — хд — хг — уг + Зх — Зг + 2 = О 10.39. гу + + хг + уг = О. 10.40. Однополостный гиперболоид хг + уг — 2гг + + 4г — 4 = О.
У к а з а н и е; см. задачу 10.34, 2). 10.41. Конус хг + уг — (х — 1)г = О. У к а з а н и е; прямая пересекает ось Ож 10.42. Конус ху+ хе+ уг = О. Указ а ни е: см. задачу 10.28. 10.43. ху+ хе+ ух — 2х — 2д — 2г+ 3 = О. 10.44. х = и+ 2сояи, у = = и + 2 ягп и, г = 4 + и — 2 соя и — 2 ягп и. Указание: см. задачу 10.35.
10.45. Пилиндр (2х — у — г)г т (2у — х — г)г = 9. 10.49. Окружность х = 2соя1, у = 2яш1, г = 2. 10.52. Эллипс хг+ 2уг+ 2х +4у — 2 = О. 10 54. х = -1+ 2сояг, у = — 1+ 2ягп1, г = 3 — 2соя1 — 2яшй Указание: исключив г из данных уравнений, получим уравнение проекции эллипса на плоскость Оху — уравнение окружности (х + 1)г + (у ~- 1)г = 4. За параметр Оп»пети и указа»«ил принимаем угловой параметр окружности. 10.55. По гиперболе. У к а з а н и е: найти уравнение проекции линии пересечения на плоскость Оху. 10.56. Центр С(10/3, — 14/3, 5/3), радиус Л = 3.
10.57. х = и( — 1+ 2сози), у = и( — 1+ 2з2пи), 2 = щЗ вЂ” 2сови— — 2ып и). У к а з а н и е: использовать задачу 10 54 10 58. х2+ у2 = 2. 10.59. х2+ у2 = 4. 10.60. х2+ у2+ 2х+ 2у — 2 = О. Ось х = у = — 1, Л = 2. У к а з а н и е: см. задачу 10.54. 10.61. (х — 2+ 2)2+ (у— — 2+ 2)2 = 4. 10 62. ху+ у-+ хз = О. 10 63 Зхэ+ 4у2+ 522 = 36 и2 10.65. Ц (2, 1, Ц; 2) (4, 2, Ц. 10.66. (4, 2, — 2). 10.67. + 110 и + =1; (5, 7, 20);х=5+~,у=7-~1,2=20+2»;х=5 — 31, 390 у=7+1, 2=20 ~ 1 10.68.
Диаметр х=61, у=31, 2=21 (- 1) < у'2/33). 10.69. Диаметр х = ЗХ, у = 31, 2 = — й 10.70. Диаметр х = у = — 1, 2 > 1. 10.71. Зх + 4у -~ 42 — 21 = О. 10.72. х2 — 2 = О цх~ < 3/~/2): у2 + 222 = 9; 2х2 + у2 = 9. Сечение представляет собой пару окружностей, лежащих в плоскостях х = хх. 10.73. х2 + у2 = 2; у2 + 322 = 2; 322 — хз = О (~х~ < ч'2). Сечение представляет собой пару эллипсов, лежащих в плоскостях х = ~у'3 2. 10.74.
х ~ у ~ Л = О; 2 ~ хэ22 + 1 = О; 2 х уи2 — 1 = О. Сечение состоит из четырех прямых: х = 1, у = .-Ь(1+ ъ'2), 2 = — 1 — 1и2 и х = 1, у = 4-(1 — й2), 2 = — 1 + 1~~2. 10.75. 2х2+ 22 = 3; 2у2 — 22 = 5, ~у~ < 2 (~2~ < чЗ) (две дуги гиперболы); х2 + у2 = 4, (у( >, '5,12 ((х! < АЗ/2) (две дуги окружности). 10.76. Точки пересечения: ЛХ2 1ч'2, О, — 2), ЛХ2 ( — и 2, О, — 2); радиусы Л = 2. 10.79. о(х — у) = 8, ф+ у) = а (от+,32 ~ О). 10.80. а(2 — у) = бх, ~3(2+ у) = ох(а + Д2 ф О). 1081. х=1, у=21 — 4, 2=1 — 1; х=1, у=4 — 21, 2=1 — 1.
10.82. Зх+ у — 22 — 2 = О. 10.83. х — 2у — 32 — 6 = О. 10.84. Плоскость х т у + 2 = О; прямые х = ~ — 2, у = ~, 2 = 2 — 2~ и х = 1, 62 у = — 1, 2 = О. Угол т/2. 10.85. Ц т/2; 2) т/3: 3) атосов 62+ 1 10.86. Ц Окружность х2 + у = 1, 2 = О; 2) пара прямых у х х = О, 2 = 0; 3) гипербола 4х2 — 16у2 4 3 = О, 2 = -3/8. У к а з а н и е к з а д а ч а м 11.1-11.11: при вычислениях и доказательствах использовать таблицу, приведенную в начале Э 11. 11.1. Ц Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, 2) конусы н цилиндры; 3) пары не совиавших плоскостей; 4) пары совпавших плоскостей: 5) эллипсоиды, гиперболоиды, конусы; 6) параболоиды, цилиндры (кроме параболического), пары пересекающихся плоскостей; 7) параболические цилиндры, пары плоскостей (кроме пересекающихся). 11.2.
Л = 4 > Е. 11.3. Ц Л = г+ 2; 2) Л < 2; 3) Л = Е > 1. 11.4. Ц «Мнимые эллипсоиды»ч «мнимые эллиптические цилиндры», «пары мнимых параллельных плоскостей>, Ответпы и указания 395 Л = Е > т; 2) «мнимые конусы» (точки), «пары мнимых пересекающихся плоскостей» (прямые), Л = Е = г > 1. 11.5. Л > 3, Л вЂ” Е > 2. 11.6.
Ц Л = 4, Е = 0; 2) Л = 3, Х = 1. 11.8. Ц А, ЬтА + а ЬтАЬ + 2аЬ + 1., 2) БтАБ (ЬтА + а)Я ЬтАЬ + 2аЬ + й 11.9. Ц Параболоиды и параболические цилиндры, Л = т + 2; 2) конусы и пары плоскостей (крогае параллельных), Л = г. 11.10. Ц Вещественные эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, цилиндры (кроме параболического), пары тщоскостей; 2) О, 1 или бесконечно много. 11.11.
Ц См, ответ к 11.9, Ц; 2) эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, т = 3; 3) цилиндры (кро»те параболического), пары плоскостей, Л < г+ 1 < 3. 11.13. 2) К нему добавится ас, где с— координатный столбец центра. 11.16. Ц Матрица А и все корни характеристического уравнения умножатся на рб 2) де1А не изменится. Ааз ~ ЯЬ 11.17. Ц В= „; 2) Т= . 11.18.
Указание; ак ' о1 вычислить инварианты Л, г. 11.19. Ц Гиперболический цилиндр; 2) пара параллельных плоскостей; 3) параболический цилиндр; 4) гиперболический цилиндр; 5), 6) гиперболический параболоид; 7) пара пересекающихся плоскостей; 8) параболический цилиндр; 9) конус; 10) параболический цилиндр; 1Ц однополостный гиперболоид; 12) двуполостный гиперболоид; 13) однополостный гиперболоид; 14) «мнимый конус»; 15), 16) «пара мнимых пересекающихся плоскостей»; 17) эллипсоид; 18), 19) эллиптический цилиндр; 20) «мнимый эллиптический цилиндр».
11.20. (х+ у+ г)(х — у+ г) = (2х — у+ 2г)з. 11.21. Ц При й > 7/4 двуполостный гиперболоид, при к = 7т4 конус, при й < 7/4 однополостный гиперболоид; 2) при й < 0 двуполостный гиперболоид, при й = 0 гиперболический цилиндр, при й > 0 однополостный гиперболоид; 3) при й > 6 «мнимый эллипсоид», при 1 = 6 «мнимый конус»э при к < 6 эллипсоид; 4) при и' > 8 эллипсоид, при й = 8 эллиптический цилиндр, при 1 < 8 однополостный гиперболоид; 5) при й ф 3 гиперболический параболоид, при к = 3 гиперболический цилиндр; 6) при й > 1 однополостный гиперболоид, прн к = 1 конус, при 1 < 1 двуполостный гиперболоид.
11.22. В ответах к задачам этого номера перечисл ются: матрица из координатных стполбцов базисных векторов почтпи канонического базиса (в тех случалх, когда имеет с.нысл делать замену базиси лишь в какой-нибудь из координатных плоскостей, в отпвете приведена соотпвстствующ л матрица второго порядка), координаты начала О канонической системы координат, почтпи каноническое уравнение данной поверхности, записанное в координатах (, и, (, тип дант»ой поверх»»ости, Для полного решения задачи, т. е.
нахозкдения канонической систпемы координат и канонического уравнения поверхности, в некоторых случаях необходимо оыполюить еще одно или несколько т»еслохсттых преобразований уров»юлия и системы координат. Подробно о переходе от почти канонического уравнен, я к канони- 396 Ответы и указан л ческому сказас*о во введении к 3 11. См. также решении задач 16) и 24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
