1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Это означает, что матрица из произведений т'тг в формуле (17) н есть искомая матрица перехода. Нетрудно проверить, что она равна Т З Т 37.15. Используя результат задачи 37.7, 1), находим компоненты тензора, соответствующего произведению гусу*! с,ь = д,ас~д' дула' = а, ас, . ус у Если ввести обозначение Ьь = дсьас = ас з то 11 Ц сус д Ь сЬс 1 у сс у сС ЬьсЬус Используя симметрию тензора дсг, можно проверить, что выражения сьу и суь отличаются только обозначением индексов суммирования и порядком числовых сомножителей. Иначе можно рассуждать так: матрица тензора с, в ортонормированном базисе симметрична, так как совпадает с матрицей самосопряженного преобразования сгссг'.
Поскольку тензор имеет тип (О, 2), его матрица симметрична и в любом базисе. Это решение кажется проще, но оно опирается на несколько теорем, тогда как первое решение не использует ничего, кроме определений. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1.4. ( — 12, — 2), (О, 0). 1.5. а = 2/7, Р = 13,д7. 1.6. с(1/16, 11/16), д1(0, — 2). 1.7. Ц х = О, х = 1, х = З,д2; 2) х = О. 1.8. (О, О, 0), (1, — 7, — 3).
1.9. о = 0,,3 = — 1, 7 = — 4. 1.10. 1(1, 1, Ц, пд(0, 2, 0), п(0, 1, Ц. 1.11. Ц да; 1+дп+п=О; 2) нет; 3) да; 21+ т — п = О. 1.12. Д: а. 1.13. ВР ( — 1, Ц, СР ( — 1/2, — 1/2), КР ( — 1, 1,12). 1.14. АЛХ (1,д2, 0), АС (1/3, 1/3), ЛХО ( — 1,16, 1/3). 1.15. АВ (3/5, — 2/5), ВС (2д5, 2дб), СР ( — 2дб, З,дб), РА ( — Зд'5, — 3/5). 1.16. АС (1д3, Ц, АС (1!4, 3!4), АВ (О, З,д2).
1.18. ВС (1, Ц, СР (О, Ц, РЕ ( — 1, 0), ЕР ( — 1, — Ц, ВР (1, 2), СР ( — 2, 0), СЕ ( — 1, Ц. 1.19. АР (1, 3). У к а з а н и е: разложить векторы АР, ОЯ, СМ по базису АР, АВ. Равенство АР = хОЯ + УОМ представляется как система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Аналогично рекомендуется решать задачи 1.20 — 1.22. 1.20. ( — 71/22, — 1д1Ц.
1.21. ( — 13,д12, — 14д15). 1.22. (4/21, — 20/2Ц. 1.23. Ц АВ ( — 1, 1, 0), ВС (О, — 1, Ц, АС ( — 1, О, Ц; 2) КЕ ( — 1д2, 1д2, 0), РС~ ( — 1д2, 1,12, 0), Сйд (1/2,1/2, Ц, МР (1/2,0,0), УЩ ( 1/2,112,1/2); 3) Р —, —, —, К — —,, —, — . 1.24. Ц ОЛХ, ™ 2) ОдУ, . 1.25. — и т д) ( (АС! (АВ) и — т т — и/ ~(АВ)+(АС! )АВ, '+(АС( 1.26.
А (О, 0), В (2/3, — 1/3), С (1, 0), Р (2д3, 2~3), Е (О, Ц, Г( — 1/3, 2/3), 0(1,13, 1д3); Π— центр шестиугольника. 1.27. А(0, 0), В(0, Ц, С(1/4, Ц, Р(1, 0), ЛХ(1/5, 4/5), В(0, 4/3). 1.28. С(1, 1, 0), Вд (1, О, Ц, Сч (1, 1, Ц, К(1/2, О, Ц, Е (1, 1, 1/2), ЛХ(1д'2, 1д2, Ц, Лд(1/2, О, 1д2), О(1д2, 1д2, 1д2). 1.29. Р(хд — хе+ хз, ихд + тдхз иУ~ + тУз ддзд + тхз Уд Уз + уз) 1.30. Ц ЛХ да+и, т+и т+и д пхд дпхз иуд — пЕз изд — тзз д 2) Лд ),, ~. Указание: иси — т и — т и — т пользовать задачу 1.24. 1.31. Ц ( — 3, 16); 2) (9, — 20).
хд+хз+ з Уд+Уз+Уз ~д+~з+ з 3 ' 3 ' 3 . 1.33 ° гр = гз + гз— г,, гн, = гв + г4 — г,, гр, = гд + гз -- г„гр, = гз + гз + г4 — 2гр 374 Ответы и йказа22 л т и т 1.34. ги = г1 + — (гз — г2), гм = г| + гз, гз= и т+и т+и и т (гз — гз~гз + ~гз — гз~г~ -1- ~гз — г2 гз — г1+ г2 1 36 и — т т — и (г1 — гз) + (г2 — гз( + ~гз — г1( 1.37. Точка пересечеяия л2едиан треугольника„ .вне плоско- т1гд +... + т„гв сти треугольника таких точек нет.
1.38. т2 +... + т„ ,(СО):(ОЛХ)= . 1.46. РЛХ~:)ЛХК!=3:2, т1 и2 и1тз т+и )ВЛХ(: (ЛХХ ! = 16: 9. 1.47. 1.48. У к а з а н и е: исполь- 2 (и — 2) 2 зовать задачу 1.17. 1.49., Я. 1.52. 1: 3. 1.53. 2; 3. ит — и+ 1 21 ЦЗ/ч'2;2) — 21;3)0;4)5;5) — 6. 22 Ц6;2)38 23 ЦЗ;2) — 1; 3) О.
2.4. Ц О; 2) атосов(4/5); 3) 90', 4) атосов(--3/~'ГО); 5) 180'. 2.5. Ц 10; 2) 5; 3) О. 2.6. Ц 22; 2) — 1; 3) О. 2.7. Ц атосов(5/9); 2) 180', 3) 0; 4) 90', 5) атосов( — 1/3). 2.8. Ц 5у'2; 2) 2; 3) 3. 2.9. Ц ( — 28, — 14); 2) — 13; 3) 77. 2.10. Ц ( — 25, — 20, 5); 2) 11; 3) — 28. 2.12. Нет2 2.13. — 3/2. 2.14. Ц 0; 2) — 4; 3) 2. 2.15.
Ц !Ь|2+ !с,'2 — 2(Ь,с); 2) — /Ь|2+ /с 2+ 2(ь,с); 3) 1 ( /с/ — (Ь, с) /Ь! — (Ь, с) 2 ' ),!Ь!~-ь /с/~--2(ь,с) ' !Ь|~+ /с 2 — 2(Ь,с) 2.18. Ц ~АВ~ = /Ь!, !ВС/ = !Ь!2+ ~с!2 — 2(Ь, с), !АР! = З~ВС!, !СР/ = 9;Ь|2 + 4!с/2 — 12(Ь, с), соз ~А = ', ~В = (ь, с) ~ь!2 !Ь) ВС! = 180' — х'.А, сов х'.Р =, ', х'.С = 180' — х'Р; 2(с(2 + 3(Ъ|2 — 5(Ь, с) )ВС(. ~СР~ 3 4 5~ 2 и хХГО, осгрый угол 45'. 2.20. ~АВ~ = 6, ~АС~ = 4;ХЗ, )ВС( = 2ъ'3, 2'А = 30', х'В = 90', 2'.С = 60'. 2.21. Длины сторон 1 3 и 5, острый угол агссов(4/5).
2.22. ~'94. 2.23. — (10, — 11, — 2). 2.24. ' а. 2.25. — а. 2.26. Ц ( — 1, — Ц и (2, — 2); (а,Ь) 3 )а(2 2 2) (О, 0) и (1, — Ц; 3) (3, 3) и (О, 0); 4) ( — 2, — 2) и (О, 0). 2.27. Ц (2, — 2, 4) и (О, О, 0); 2) — (1, — 1, 2) и — (1, 5, 2); 2 1 Ответи и указан и 375 3) [О, О, 0) и [4, О, — 2). 2.28. [5, 2). 2.29. [1, 0) или с в 2.30. [1, — 1, 3).
2.31. х = а. 1 + ,гЗ 2 ' 2 ' ' (а(з У к а з а н и е: вектор х искать в виде Ла. 2.32. 1) Множество концов векторов, удовлетворяюгцих уравнению [х,а) = р, является прямой линией [все векторы отложены из некоторой точки О). Нормальным вектором этой прямой является вектор а. Проекцией точки 0 на прямую является конец вектора хе = — а. 2) Мнор а(2 жество концов векторов, удовлетворяющих уравнению [х, а) = р, является плоскостью [все векгоры отложены из некоторой точки О). Нормальным вектором этой плоскости является вектор а. = р Проекцией точки 0 на плоскость является конец вектора хе = а. (а(з 2.33. 1) Радиус-вектор точки пересечения двух прямых [см. задачу 2.32).
2) Радиус-вектор общей точки трех плоскостей [см, задачу 1 2.32). 2.34. Два решения: х [1, — 2, — 3). 2.35. Два решения: уТ4 1 1 4 — [О, 1, 1) и [5, — 3, — 8). 2.36. Угол при вершине агссов —. у'2 7ъ'2 5 (тз — пз( 2.37. 4. 2.39. Острый угол атосов т4 + п4 — 2тз из соз 2а г те+ из — гппЛ 2 40 90' 2 41. 1) ~ ]; 2) гт: 'и; тп тп 3) агссйп ] . 2.44.
(АСг(з = а + Ьз -~- сз + гп +и — тп кг29 + 2аЬсозэ + 2Ьс сов о+ 2ас сов 6. 2.47. агссоз [1/18). 2.48. а. 3 2.49. (ЕЛХ(: (Мг ( = (СХ(: '(ХР( = 3: 1. 2.50. 6тГЗ. 3.1. 1) [11, 19, — 7); 2) [О, О, 0); 3) [О, О, — 15). 3.2. 1) 2 (Ь, а]; 9 2) [а, Ь] + 4 [Ь, с] + — [с, а]. 3.4. Л вЂ” ='-АЗ. 3.5. Ц [ег, ез] — ез, 2 [ез,ез] = ег, [ез, е,] = ез, .2) [ег,ез] = — ез [ез,ез] = — ег, [ез,е,] = -ез, (е~( (ез( (ез( ез( (ез(.(ег( 3) [еы ез] = ' ез, [ез, ез] = ' еы [ез, ег] = ез.
(ез( ' (е~( (ез 3.6. Либо все векторы а, Ь, с нулевые, либо они образуют ортонормированный базис [тройка векторов а, Ь, с правая). 3.7. Задача 1 2.34: единственное решение [ — 1, 2, 3); задача 2.35: единственэ~Г4 1 5 5 нос решение — [О, 1, 1). 3.8. 1) — т'3; 2) 5 ь/3/14, —, 5 г/3/14. ,/2 ' ' 2 й2 Опгееты и рхазалг л 376 соз а — соз 1г соз 7 3.9. 18. 3.14.
соз й =, где й — двугранный угол, яплг'яп 7 образованный плоскими углами й, 7. Остальные углы выражаются аналогичными формулами. У к а з а н н е; при вычислениях исполь- [а, Ь) зовать формулу задачи 3.13, 3). 3.15. х = ' . У к аз а н не: [а[г вектор х искать в ниде Л [а, Ь). 3.16. Множество концов векторов, удовлетворяющих уравнению [х, а[ = Ь, является прямой линией [все векторы отложены из некоторой точки О). Направляющим вектором этой прямой является вектор а. Проекцией точки О на прямую является конец вектора хе = [а, Ь[~[а[г. 3.17.
Й = 4:Г/ Г[, Г = [а[[Ьс1+ [Ь[[с,а] -~- [с[[аЬ); 1) знак+ соответствуетпраной тройке а, Ь, с, знак — соответствует левой тройке; 2) знак + соответствует левой тройке а, Ь, с, знак — соответствует правой тройке. 3.18. — (1, 2, 0). 3.19. 1) 0; 2) — 23; 3) 0; 4) 6. 3.20. 1) Да; 1 иГ5 2) нет. 3.21. Л = 3, Л = — 4. 3.22. Ц [[а,Ь,с)[/2; 2) [(а,Ь,с) /6. 3.23. 1) 1/3; 2) 1/л7300. 3.24. 10~'2.
3.25. Множество концов векторов, удовлетворяющих уравнению (х, а, Ь) = р, является плоскостью (все векторы отложены из некоторой точки О). Эта плоскость параллельна векторам а и Ь. Проекцией точки О на р плоскость является конец вектора хе = [а, Ь1; этот вектор [[а Ь)[г является частным решением данного уравнения. У к а з а н и е: использовать результат задачи 2.32. 3.26. У к а з а н и я: 2) использовать формулу двойного векторного произведения [задача 3.13, 2)); 3) и 4) использовать формулу задачи 3.26, 2); 5) положить в формуле задачи 3.26, 3) г1 = [х, у), при вычислении смешанных произведений использовать формулу задачи [аг, аз) [аз, ал[ [аы аг[ (ам аг, аз) [аы аг, аз) ' [аы аг, аз) 330.
Ьг —, — —, —, Ьг — —, — —, —, Ьз 3.31. х = ' ' ' . 3.32. а. 3.34. 2: 1 или р[Ь, с) + 9[с, а) + з[а, Ь) 3 2 1 1: 2 (два решения). 3.35. 5г. 3.36. — Я или — о. 3.37. 2л72а. 15 15 4.1. 1) аг — — — а', + 2аг, 3.39. аг = За' — 7а~~', 2) а', = — 7аг — 2аг, а!г — — — Зал — аг, '3) ел [ — 7, — 3), ег( — 2, — 1).
4.2. 1) ал = ал — аз+аз, аг = ал — 2аг+Заз, аз = аг -- Заг + 6аз, 2) ал = Зал — Заг + аз, аг = За~ — 5аг + 2аз, Ответы и указан я 377 4.8 а!~ — — а1 — 2аг + аз, 3) е1 (3, 3, 1), ег ( — 3, — 5, — 2), ез (1, 2, 1). 4.3. 1) х = 2х' + у' — 1, у = Зх'+ д'+ 3; 2) х'= — х+у — 4, у'=Зх — 2у+9; 3) О( — 4, 9), е1( — 1, 3), ег(1, — 2). 4.4. 1) х=4х'+5у'+Зг'+1, у=2х'+Зу'+22'+1, г = х' + 2у' + 3' + 2; 2) х' = х — у — г + 2, у' = — у + 23 — 3, 3'= — х+Зу — 23+2;3) О(2, — 3, 2),е1(1, О, — Ц,ег( — 1, — 1, 1 1 7, 3 2 11 3), ез (-1, 2, -2). 4.5. 1) х' = -х + -у — -„, у' = — -х + -у + — ; 5 5 5' 5 5 5' 2) О --, —, е1 —, --, ег —, —, 3) О'(5, 2), е',(2, 3), ег ( — 1, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
