1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 75
Текст из файла (страница 75)
8 8 128 64 ' 4 хг дг 8.13. — — — = 1. 8.14. 1) у = 2хг + —; 2) уг = 4х. 8.15. 4 прямые 9 27 2' х х у х ° г2/3. 8.16. х+ у — 2 = 0 или х — у — 2 = О. 8.18. 2) аЬ. 8.21. х х у гб 3 = О. 8.22. 1) х = — 3, х х огЗу — 2огЗ = 0 или х = 3, х + у'Зу + 2дгЗ = 0; 2) у = — 1, 4-ху'3 + у — 2~ 7 = 0 или у = 1, ххъ~З+ у+ 2ъ 7 = О. 8.23. 1) — о + — о > 1 (точка лежит аг Ьг г г хо уо вне эллипса); 2) 0 ~ — — — ( 1 (точка лежит между ветвями аг Ьг гиперболы, но не на асимптотах); 3) уог > 2рхо (точка лежит вне параболы).
8.24. 1) 2х х Зу+ 12 = 0; 2) 10х+ Зтг7у — 48 = 0 и 10х + 51н 7у — 384 = 0; 3) Зх + Зу'2у + 36 = 0 (точка лежит на эллипсе); 4) точка лежит внутри эллипса, .решений нет. 8.25. 1) х г; 2 = 0 и 5х + 8у — 6 = 0; 2) 5х х бд — 8 = 0; 3) т, — ъ'Зу — 1 = 0 (точка лежит на гиперболе); 4) точка лежит правее ветви гиперболы, решений нет; 5) 17х — 30у — 16 = 0 (точка лежит на асиьштоте); 6) точка совпадает с центром гиперболы, решений нет. 8.26. 1) точка лежит внутри параболы, решений нет: 2) 2х — у+ 2 = 0 (точка лежит на параболе); 3) х —.
у 4 4 = 0 и 4х — у+ 1 = 0; площадь треугольника равна 37,5. 8.28. 1) 4 касательные х х 4у х 10 = 0; 2) 4 касагельные х х у х 1 = 0; 3) 2 касательные х 4: ьгбу + 3 = 0; 4) 2 касательные х 4- ъ'2у + 1 = 0; 5) 4 касательные х ~: ог2у+ 1 = О, х х огббу + 3 = 0; 6) 4 касательные х х у:Е 3 = 0; 7) 2 касательные Ответы и указан л 389 х х бу -> 8 = О. 8.32. Ц бх + 17у — 10 = 0 и бх + 17у — 46 = 0; 2) 24х + 41у — 22 = 0 и 24х + 41у — 94 = 0; 3) решений нет (данная кривая является гиперболой, а данная прямая ее асимптотой). 8.33. Ц х + Зу — 12 = 0 и Зх+ у — 12 = 0; 2) 13х+ 15у+ 12 = 0 (точка лежит на кривой):, 3) решений нет (данная кривая является эллипсом, а данная точка лежит внутри этого эллипса). 9.1. Ц Эллипс с 21 Хг Уг / 1 11 окружность радиуса — ) + = 1; О' ~ — —, — ~,Ег (1, 0), 3) 4/9 4/9 ' ~, 2' 6)' Хг Уг, /1 1~ Ег (О, Ц; 2) гипербола — — — = 1; О' 1 —, — ), Е1 (1., 0), Ег (О, Ц; 3) эллипс Хг+ =1; О'~ — —, -), Ег(0, Ц, Ег( — 1, 0); 4) парабола Уг = — Х; О' ~ —, — 1, Ег (О, Ц, Ег ( — 1, 0); 5) пара параллельных прямых у = 16/9, у = — 1; Уг = (25/18)г; О' (О, 7/18), Е1 (1, 0), Ег (О, Ц; 6) пара мнимых прямых (х+ 2) + (у — 3)г = О, пересекшощихся в вещественной точке О' ( — 1, 3); 7) мнимый эллипс Хг + 2Уг = — 1, О' ( — 1., 3), Ег (1, 0), Ег (О, Ц; 8) гипеРбола х — + — = 1, О' (1/4, — 3/2)., Ег (О, Ц, Ег ( — 1, 0); 9) пара сов- 4 25 павших прямых х = 3/5; Уг = 0; О' (3/5, 0), Ег (О, Ц, Ег ( — 1, 0); 10) пара пересекающихся прямых 3~5 (х — Ц = х2 (Зу + Ц; Хг 1.г 1/5 1/4 — = 0; О'(1, — 1/3), Е1 (1, 0), Ег (О, Ц.
9.2. Обозначим Сг пг К = — + — — Е. Ц Кривая является эллипсом тогда и только то- А В гда, когда А, В, К не равны нулю и все одного знака; центр в точке ( — С/А, —.О/В). При А = В окружность радиуса ° /К/А, оба фокуса совпадают с центром. При ~А~ < ~В~ большая полуось равна Х/К/А, / С К К И малая равна х/К/В; фокусы в точках А ~(А В' В) Прн ~А~ > В болыпая полуось равна ~/К/В, малая равна х/К/АА; ( С О К К1 фокусы в точках — —, — — х — — — .
2) Кривая являет- 1 А В )(В А) ся гиперболой тогда и только тогда, когда А, В, К не равны нулю и АВ ( 0: центр в точке ( — С/А, — О/В). При АК > 0 действительная полуось равна х/К/А, мнимая равна „( — К/В; / С К К И фокусы в точках — —:Š— — —, — — . При ВК > 0 действи- А ~(А В' В) тельная полуось равна,/К7В, мнимая равна;/ — К/АА; фокусы 390 Опзееты и указан л / с в Гк к') в точках — —, — — х — — — . 9.3. Начало канонической 1, А В ))В А) системы координат везде совпадает с началом исходной системы. Ха Уе / 3 1 1 / 1 3 Ц Эллипс + — =1; Е~~, — ~., Ез), ); 121 11 ~,ЛО ЛО,/' 1,ЛО ЛО) 2) гипербола — = 1; Е, ~ —, — — ~, Ез ~ —, — ); 819 8/9 ~ ъ'2 ч'2,/ ~, э'2 ъ'2 3) гипербола — — — = 1; Е~ —, —, Еэ — —, — ', 4) эллипс Хг Уз ('3 4~) ~'4 3 ) ЗД 1!9 ',5' 5~' 15' 51' + = 1: Е~ —., — —, Еэ ~ —, —; 5) парабола У~ = ч'2Х; Е~ ( — 1/ъ'2, — 1/ъ'2), Ез (1/ъ'2, — 1/.~/2); 6) пара параллельных прямых Зт — у х ~/ГО = 0; У~ = 1; Е~ (1/ч'ГО, 3/~/ГО), Ез (--3/чГ11, 1,1ЯО); 7) пара совпавших прямых 9х — 2у = 0; У~ = 0; Е~ (2/ь'85, 9/~/855), Еэ ( — 9/ъ'855., 2/ъ'855); 8) пара пересекающихся прямых У~ (э'5 21 ( 2 ъ'51 (уг5 ~ А/2) х — 2у = 0; Х вЂ” = 0; Е~ —, —, Ез 118 1,3 3) ~ 3 3) Х У~ 9.4.
1) Эллипс — + = 1; 0'( — 3, — 1), Е~ ) —, — ~, Еэ) — —, 2 173 ' ' 1,~(5 ъ'5 ) 1, э'5 2 1 Х~ /1 21 у'5 ( — (; 2) гипербола — У~ = 1; О'( — 1, 1), Е~ ) —, — — ), Еэ 12/э~5, 1/~о); 3) парабола У~ = Х15; О' (6/25, — 8/25), / 4 31 /3 41 Хэ Уз Е~ ~ — —, — — (, Еэ ~ —, — — ); 4) эллипс — + = 1; 0'( — 1, — 1), 5' 5(' 1,5' 5)' 2 213 Х У~ Е~ ) —, — ), Ез ) — —, — (; 5) гипербола — — — = 1; О' ( — 1, 1, т'2 э 2) ~, э'2 ч'2( 4 4 — 2), Е~ (1/э'2, 1)ч'2), Еэ ( — 1/ч'2, 1/ч'2); 6) парабола Уз = 4~2Х; О' (2, 1), Е~ ) —, — (, Ез ~ — —, — ); 7) эллипс — + У~ = 1; ~.2',2(' ~ .2'.2 )' О' (3, — 2), Е~ ), — ), Еэ ~, ~; 8) гипербола ~,Г3, Гз) ~,ГЗ,Г3 ) / 3 1 Еэ ~, — ~; 10) пара пересекающихся прямых х = — —, ~, ~/34 4~/344,~ 2' Ошееты и указания 391 4х + Зу + 1 = 0; — У~ = 0; 0' — —, —,, Е, Еэ ( — 1/ЯО, 3/ъ~10); 11) пара параллельных прямых 2х+ Зу — 5 = О, 2х+ Зу + 1 = 0; Уэ = 9/13; О' (4/13, 6/13), Е~ (3/~/13, — 2/хУГЗ), Еэ (27у'ГЗЗ, 3/~/ГЗЗ); 12) пара совпавших прямых 15х — 8у + 1 = 0; У~ = 0; 0' ( — 15/289, 8/289), Е~ (8/17, 15~17), Еэ ( — 15/17, 8/17); 13) пара параллельных прямых х + у — 4 = О, т.
+ у — 1 = 0; Уэ = 9/8; 0' (5,14, 5,14); Е~ (1/хУ2, — 1/ч'2), Еэ (1,1х72, 1,1г 2); 14) пара мнимых прямых Х + 4У~ = О, пересекающихся в вещественной точке О' (1, 2); Е~ (1/хУ2, 1/х72), Еэ ( — 1/ъ~2, 1/х72); 15) пара мнимых параллельных прямых (х — у + 4)э = — 6; 16) мнимый эллипс Х У~ 5/3 3/27 + = — 1; 17) пара пересекающихся прямых Зт — 5у — 13 = О, 5х + Зу + 1 = 0; Хз — Уэ = 0; 0' (1, — 2), Е~ (1/~/Г77, 4,1ъ~Г7), Еэ ( — 4/Л7, 1/Л7).
9.5. Длины полуосей равны г'2 и 1, эксцентриситет равен 1/~2, центром является точка (1, -1), уравнение большой оси Зх + 4у + 1 = О, уравнение малой оси 4х — Зу — 7 = О. Фокусу Е~ (1/5, — 2/5) соответствует директриса 4х — Зу+ 3 = О, фокусу гэ (9/5, — 8/5) соответствует директриса 4х — Зу — 17 = О. 9.6.
Длины обеих полуосей равны у'2, эксцентриситет равен хГ2, центром является точка (1, 1), уравнение действительной оси 4т. + Зу — 7 = О, уравнение мнимой оси Зх — 4у + 1 = О. Фокусу Г~ ( — 1/5, 13/5) соответствует директриса Зх — 4у + 6 = О, фокусу гэ (11/5, -3/5) соответствует директриса Зх — 4у — 4 = О. Уравнения асимптот х + 7у = 8 и 7х — у = 6. 9.7. Парабола; р = у'2/8, вершина О' ( — 1/16, — 3/16), фокус г' ( — 1/8, — 1/8), ось 4х + 4у + 1 = О, директриса 4х — 4у = 1. 9.9. 2) Лгг-~~бЛы ~/Ь75Лэ, 3) лУ вЂ” Ь7бЛы ~/ — Х~ДЛэ, 4) Э/ — ХДР. 9.10. 1) Гипербола 200/147 200/63 ' 1/3 2/9 Уз = О, 16 у'5Х.
9.13. 1) Гипербола; 2) эллипс; 3) гипербола; 4) пара параллельных прямых 4х + Зу = О, 4х + Зу + 1 = 0; 5) эллипс; 6) парабола; 7) гипербола; 8) мнимый эллипс; 9) пара пересекающихся прямых х — Зу + 4 = О, 2х+ у + 1 = 0; 10) пара параллельных прямых х + 5у — 1 = О, х + 5у + 3 = 0; 11) пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке (1, 1); 12) пара мнимых параллельных прямых; 13) пара совпавших прямых х — 4у+ 3 = О. 9.14. 1) 11хэ — 20ху + 11уз — Зх — Зу — 8 = 0 (эллипс); 2) х~ — 4ху+ у~ -' Зт+ Зу — 4 = 0 (гипербола); 3) х~ — 2ху+ у -- 1 = 0 (пара параллельных прямых х — у э- 1 = О, х — у — 1 = 0); 4) Зх — 10ху + Зу + бх + бу — 9 = 0 (пара пересекающихся прямых Зх — у — 3 = О, Зу — х — 3 = 0); 5) четыре точки из пяти лежат на 392 Ответы и указав л одной прямой х — у + 1 = О,и данные 5 точек не определяют однозначно кривую второго порядка; 6) х — 2ху + у — 2х — 2у + 1 = О (парабола).
9.15. 1) Эллипс при )Л! < 2, гипербола при (Л( > 2, пара параллельных прямых при Л = 42; 2) мнимый эллипс при Л < 41/8, эллипс прн 5 < Л < 41/8 и при Л < — 5, пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке, при Л = 41/8, парабола при Л = 5, гипербола при — 5 < Л < 5, пара параллельных прямых при Л = — 5; 3) эллипс при Л > 2; гипербола при Л < 2, Л ~ О, пара совпавших прямых при Л = 2; пара пересекающихся прямых прн Л = 0; 4) эллипс при Л > 1/2; гипербола при Л < 1/2, Л ~ 1/3; парабола при Л = 1/2; пара пересекающихся прямых при Л = 1/3. 9.16.
Если гЛ = ~ 1 В т'. -О, то данные уравнения А, В, г г задают: 1) параболу; 2) эллипс; 3) гиперболу; 4) гиперболу; 5) пару пересекающихся прямых. Если гЛ = О, то уравнения Ц вЂ” 4) могут задавать пару параллельных прямых, пару мнимых параллельных прямых; уравнение 5) может задавать пару параллельных прямых, пару совпавпеих прямых. В случае Ь = О при некоторых значениях коэффициентов уравнения 1) — 5) могут вообще не задавать кривую второго порядка. 9.17.
1) Агх+ Вгу+ Сг = ~(Агх+ Вгу+ Сг); 2) Агх 4. Вгу + Сг = О, Агх + Вгу + Сг = О. 9.19. 1) (8, 3), х'г — 8х'у'+ 17у'г — 1 = О; 2) (1, — 6), 5х"" + х'у' = 0; 3) ( — 9/8, — 5/8), 8х'г -- 24х'у' + 16у'г -- 1, 5 = О. 9.22. 2) У к а з а н и е: если А и В два центра симметрии, то точка, симметричная А относительно В, также является центром симметрии. 3) у — зш х = О. 10.3. 1) При Л > О эллипсоид, при Л = О точка, при Л < О пустое множество; 2) при Л > О эллипсоид, при Л = О эллиптический цилиндр, при Л < О однополостный гиперболоид; 3) прн Л > О эллипсоид, при Л = О прямая, при Л < О двуполостный гиперболоид; 4) при Л > О однополостный гиперболоид, при Л = О конус, при Л < О двуполостный гиперболоид; 5) При Л ) О двуполостный гиперболоид, при Л = О конус, при Л < О однополостный гиперболоид; 6) при Л > 0 эллипсоид, при Л = О пара параллельных плоскостей, при Л < 0 двуполостный гиперболоид; 7) при Л > О эллипсоид, при Л = О плоскость, прн Л < О однополостный гиперболоид; 8) при Л у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
