1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 79
Текст из файла (страница 79)
12.89. Ц Произведение поворота на угол д вокруг начала координат и гомотетии с центром (О, 0) и коэффициентом и; 2) произведение поворота на угол лв, гомотетии с коэффициентом г, если а = г(сов ла + л вш х), и параллельного переноса на вектор, изображаемый радиус-вектором точки Ь, или произведение параллельного переноса на вектор, изображаемый радиус-вектором точки Ьа ~, гомотетии с коэффициентом г и поворота на угол у. 13.1. Ц Да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) нет; 7) да; 8) да; 9) нет; 10) да; 1Ц да; 12) да. 13.2.
Ц Нет; 2) нет; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) да; 7) да; 8) да; 9) да. 13 3. Ц Да; 2) нет; 3) да; 4) да; 5) да; 6) нет; 7) да; 8) да; 9) да. 13.4. Ц Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) да; 6) да; 7) нет; 8) да. 13.7. 6 элементов. 13.9. Обе группы содержатся в группе самосовмещений квадрата: циклическая группа вращений квадрата и нециклическая гру~ша, состоящая из симметрий относительно средних линий квадрата, поворота на 180' и тождественного преобразования. 13.10.
Ц х1; 2) хп; 3) сов(2хй(п) + 1ейп(2х6/и), где 6 ( п и 404 Ответы и указан и взаимно просто с и: 4) повороты на углы (2хЙ/и), где Й < и и взаимно просто с и. 13.11. Ц пХ, где п любое целое число; 2) тЯ, где ш целое число, кратное и; 3) Е7еи где щ делитель и; 4) Сви где т — делитель п. 13.13. Ц У к а з а н и е: пусть а -- образующий элемент в С, Н вЂ” подгруппа в С и т -- наименьшее натуральное число такое, что Ь = а"" Е Н. Тогда Ь вЂ” образующий элемент в Н. 13.15.
У к а з а н и е; найти элемент, обратный к и, среди положительных степеней а. 13.16. Ц В„состоит из 2п преобразований: и поворотов и и осевых симметрий. 2) У к а з а н и е: показать, что если а — поворот, а Ь вЂ” осевая симметрия, то Ь' аЬ вЂ” также поворот. -1 13.18. Ц У к а з а н и е: воспользоваться тем, что число элементов циклической подгруппы с образующим элементом а равно порядку этого элемента.
13.19. Пусть а — поворот треугольника на 2к/3 вокруг его центра, Ь симметрия относительно одной из высот. Тогда С=(ца,а =а ~,Ь,аЬ,а 'Ь), Н=(г,Ь), Ь 'аЬ=а . Левые смежные классы по Н: Н, аН = (а,аЬ), а ~Н = (а ',а ~Ь). Правые сиежные классы по ЕХ: Н, ЕЕа = (а, Ьа = а' 'Ь), ЕЕа ' = (а ', аЬ).
13.20. У к а з а н и е: пусть а — - параллельный перенос, а Ь вЂ” ортогональное преобразование с единственной неподвижной точкой. Доказать, что Ь ~аЬ вЂ” параллельный перенос. 13.22. Ц К; 2) группа комплексных чисел, по модулю равных 1; 3) группа положительных вещественных чисел; 4) группа комплексных чисел, по модулю рав- пых 1; 5) группа Я„классов вычетов (гп -1 пЯ), ти 6 Я с операцией сложения: (гп + пЯ) + (Й + пх, ) = (т + Й + пЯ); 6) группа всех поворотов вокруг фиксированной точки.
13.23. Ц и.'. 13.24. Ц ц 2) 132,3)04) 1432 и 3214 . 1325. и!/2. 13.27. Ц Я, три подгруппы второго порядка с образующими эле- 1'1 2 3'1 (1 2 3'1 /1 2 3'1 """' "" (, 2 1 3,) (, 1 3 2 / (х 3 2 1/ п'дгРУпп' "'"'"" " /1231 рядка с образующим элементом ( 2 3 1 (, вся группа Нз, 2) помимо (г) и всей группы Ям подгруппа четных перестановок А~ (порядка 12) и нециклическая группа Г, состоящая из четырех элементов: 2143 ' 3412 ' 4321 14.3.
Ц 10, четная; 2) 13, нечетная; 3) 3, нечетная; 4) 7, нечетная; 5) 36, четная; 6) 12, четная; 7), 8) и(п — Ц/2, четная при п = 4Й или 'и = 4Й+ 1 и нечеткая в остальных случаях; 9) п(а+ Ц/2, четная при и = 4Й или и = 4Й + 3 и нечетная в остальных случаях. 14.4. Ц 0:, 2) 1; 3) 0; 4) 0; 5) 1:, 6) .-1487600. 14.5. ю 14.6. г. 14 7.
Ц -1; 2) — 2; 3) — 27; 4) -27; 5) — 7; 6) 0; 7) — 1: 8) 4; 9) 0; 10) — 2(кз + уз); 1Ц (и — с)(Ь вЂ” с)(Ь вЂ” а); 12) О. 14.8. — Згт/3. 14.9. гэсоэм. 14.10. Ц 3, 3, 2: 2) 3, 3, -2; 3) О, О, 6. 14.11. Ц 24; 2) 120. 14.13. 1, 0 или — 1. 14.21. Ц 1; 2) 1; 3) 1; 4) 0; 5) --1; Ответы и указания 405 6) 1; 7) — 18; 8) 1; 9) 1; 10) — 5; 1Ц вЂ” 7; 12) — 1; 13) 0; 14) 0; 15) 1. 14.22. Ц вЂ” 2; 2) — 10; 3) 0; 4) 48: 5) О. 14.23. Ц пЪ; 2) Л1... Л,б 3) 1; 4) 3"; 5) 1; 6) ( — ЦпГ" '11 Лг... Лп, 7) ( — Цп"; 8) ( — Ц "тг: 9) 1 — и; 10) пь, 1Ц ( — Цп(1 — 2п); 12) ( — 2)п 1(5п — 2); 13) ( — Ц" 1 14) ( — 2)п з(1 — п) 15) ( — ЦпГп гйапп 1(п -1- Цгг2 16) п+ 1; 17) О, если п нечетно, ( — Цпгз((п — Ц01)з, если п четно; 18) ( — 3"). 14.24.
В этой задаче через л„обозиачаепгся определитель порядка и. Ц (1 — ( — Ц")гг2. У к а з а н и е: Ь„= 1 — Ь„ 1 1 1Л 2) ( — Цп(Лп — Л" гп(п + Цг2). 3) ид ) 2+ — + —, +... +— 2 3 ' п)' Указание; Ь„= гггЛ„1 + (и — Ц!. 4) (1 + ( — Ц"),12. У к аз а ни е: А„= 1 — Ьп. 1. 5) О, если п нечетно, и ( — Ц"/2, если четно. У к аз а н не: Ь„= — гамп з.
6) (1 + ( — Ц"),12 Указание: Ь„= Агп з. 7) П (Л, — Ль). Указание; пав>Ь>1 1 ... 1 1 Л, ...Лп Л . Так как р(Л1) = 0 для всех обозначим р(Л) = Лп — 1 Лп — 1 Лп — 1 и-1 1 = 1,...,и, находим р(Л) = С(Л вЂ” Лг)...(Л вЂ” Лп ,), где С = 1х„ 8) П (а, — аь)(Ь1 — Ьь). У к а з а н и е: выполнив деление, предп>1>Ь>1 ставить определитель как произведение двух определителей ВандерМОНда. 9) (2Х1ХЗ... Хп — (Хг — Ц(ХЗ вЂ” Ц... (Хп — Ц) П (Х, — ХЬ). п>Г. Ь>1 У к а з а н и е: дополнить матрицу сверху строкой из нулей, а затем слева столбцом из единиц. 10) 2 С~~гз ~и" з" (оз — Ц"; 1Ц гйп го при р у': Ьг1 и + 1 при д = 2йгг; ( — Цп(и + Ц при р = (2Ь + Цгг (Ь = = О, х1, 3.2,...) У к а з а н и е: решение аналогично решению 10) при 9 = соз р + 1 ейп р. Если д ~ д.1, то 15„1 вычисляеьг, испшгьзуя фор- зЬ и1р мулу (епе)п = е'пт = соз иуг+гзшп1р.
12) при р ~ 0; и+ 1 при зй:р Ьк уг = О. 13) 2 Саь,г ~ — ) (а — 4Ь~)" = П ~ а — 2Ь сов 14.26. О. 14.27. Умножится на ( — Ц"г" 1111. 14.28. Не изменится. У к аз а н и е; использовать задачу 14.27. 14.29. У к аз а н и е: умножить первый столбец матрицы на 1000, второй — на 100, третий — на 10, и сумму полученных столбцов прибавить к последнеъгу столбцу. 14.30. У к а з а н и е: данное выражение есть разложение по 1-й строке определителя матрицы, полученной из А повторением Ь-й строки на 1-м месте. Огаееты и цказая л 406 ' аы (Х) ...
а~1„(й) агз (Х) ... агв (1) ~ а„1 (г) ... а„„(г) аы (г) ... агв (1) аж (Х) ... агч (1) 14.31. 2) а„1 (г) ... а„„(г) аы (г) ... а1„(Ц аг1 (1) ... аг„(1) У к аз а н и е: применить индукцию по а'„и (г) ... а'„,„(г) 3) 3 8 19 19, 4) 5Е; 5) 2Агг, 6) Аатг, 7) сзг. 15.3. Ц, -3 -8 21 -29 2), 4) справедливы, если матрицы имеют одинаковые размеры; 3), 5) верны всегда. 15.4. Ц Если га = и; 2) да. 15.5. Ц ~~ — 1 ~~; 8 — 12 О 2) 6 — 9 0; 3) 8 14, 4) /) 1 1 /); 5) )) О 3 2 ((; 6) с1гг., 7) Аыз, 2 3 0 8) ! 6 9 12 Ц; 9) сыз, 10) Е; 1Ц Аеее., 12) Аеег, 13) Агзе, 14) Е; 15) Аеиб 16) пАшь. 15.6. Ц Ширина А равна высоте В; 2) высота А равне ширине В; 3) ширина А равна высоте В, высота А порядку матрицы.
14.32. Если обозначить бе1 (А — ЛЕ) = ( — Л)" + + аг( — Л)в +... + а„1( — Л) + а„, то а, есть сумма всех диагональных миноров порядка в в матрице А; в частности., а1 есть след А, а„— определитель А. У к а з а н и е: если обозначить р (1) = йе1(А + 1Е), 4ь (1) то ав ь = —, ь .
При вычислении производных от функ- И йь ~=-о ции р (1) использовать результат задачи 14.31. 14.33. Ц, 2), вообще говоря, неверны, 3), 4) верны. 14.34. У к а з а н и е: согласно задаче 14.30 и формуле разложения определителя по строке: АС = йа8(беСА, ..., г1егА), откуда получаем бе1С при г1егА ф О. Матрица В получается из С умножением 1-й строки на ( — Ц' и ~-го столбца на ( — Ц1 (для всех г, у).
14.35. У к а з а н и е: использовать формулу г1ебА = деФА. 14.41. ( — 2)"аг. Указание: из (и + й)-го столбца матрицы Н~г вычесть удвоенный й-й столбец (й = 1, ..., и) и применить результат задачи 14.40. 14.42. О. У к а з а н и е; строки матрицы ~~ Аз А ~~ являются линейными комбинациями строк ~~ А Аг ~~ (с коэффициентами из строк матрицы Аг).
14.43. Ц Указ а ни е: сгроки матрицы ~ ВС В ~~~ являются линейными комбинациями строк ~~ С Е ~~~. Поэтому АВ ш А — ВСО бес = Нес . Далее применить результат задачи 14.40. 2) Не всегда. 14.44. с1егА (оегВ)". 15.1. Матрицы должны иметь одинаковые размеры. 15.2. Ц О; 2) — 11 — 16 Ошоети и цказан л 407 равна ширине В. 15.7. Ширина АВ равна ширине В, высота АВ равна высоте А. 15.8. В имеет размеры п х р, АВС имеет размеры т х д. 15.9. Тождества справедливы, если выполнимы 8 употребляемые в них операции.
15.10. 1) Не существует; 2) 16 ~' 111) 3) ~( 8 16 (: 4) )~ ~~— 1200 1300 /. 15.11. 1) 2в 1 '; 2) 0 0 0 ", оооГ 0001 0000 0000 0000 ; 4) О прн и ) 1; 5) Алз; 6) Аы, 7) Аот, 8) Аооз; 0 Л„ 1 9) Е; 10) О. 15.12. 1) — 4 3, 2) '; 3) 2 /; Л, О 3, 4) / 1 2 3 4 !~' 5) Ао' 6) Аыз:, 7) Аззо' 8) — Аозт. 15.13. Тож- дества 2) — 4) справедливы, если выполнимы употребляемые в них операции; 1) справедливо всегда. 15.14.
Р получается из Е перестановкой зтй и Ь-й строк. 15.17. А, В квадратные матрицы одного порядка. 15.18. 1) 2Аз; 2) О. 15.20. Ц Азб 2) — Ат1о. 15.22. 1) Е; 2) О; 3) 0; 4) — Е; 5) Аззт. 15.23. 1) 0; 2) Аззз. 15.24. Тождества 1) — 3) справедливы, если ъзатрицы А и В перестановочны, 4) всегда. 15.26. Ь-я строка АВ равна произведению Ь-й строки А на матрицу В. 15.28. Ь-я строка матрицы АВ равна линейной комбинации строк матрицы В с коэффициентами из Ь-й строки А.
15.29. У к а з а н и с: зцдача 15.26. 15.30. 1) При перестановке двух столбцов матрицы В соответствующие столбцы АВ также переставляются; 2) если 6-й столбец матрицы В умножить на число Л, то Ь-й столбец АВ также умножится на Л: 3) если к ьчму столбпу В прибавить узй столбец, то с матрицей АВ произойдет такое же элементарное преобразование. 15.31. 2) У к а з а н и е: для столбцаиздвухэломентовпреобразоваа а+6 ~ а+Ь Ь 6 ння следую1цие: 6 6 ~ 6 ~ + 61 ) 15.32. а,ы если А = )! а,у„.)!. 15.33. Ц Матрица у которой все строки нулевые, кроме г-й., на месте которой располагается у-я строка А; 2) матрица, у которой все столбцы нулевые, кроме у-го, на месте которого располагается 1-й столбец А.
15.34. У к а з а н и е: в качестве б, О взять всевозможные столбцы единичной матрицы. 15.36. 1) Умножить А справа на столбец )! 1 0 0 ... 0 )); 2) умножить А слева на строку ! 1 0 ... 0 )(. 15.37, 15.38. Матрица Л получается из Е таким же элементарным а Ь преобразованием. 15.40. Указ ание: если А = ® 0 то Ошееты и цказаи я 408 А = (а + 16) гА. 15.43. Утверждение Ц для прямоугольных матриц, вообще говоря, не верно. Пример: Азоз А!го = Е а их! -!-... ~- а!„х„= О, (а, Ь вЂ” произвольные числа). 15.44.
а,гх! +... + а.„х„= 1, а гхг+ ..+а х =О, е , .где е, — утй столбец Е 0 Л„' 'о 3) л о~~ 1 9) — Агог' 10) Агго 9 1 Ц 2 9 — 5 — 5 3 15.45. 4) Аг4' 5) Атт; 6) Агз, 7) Агзз -1/2 0 ~ о 1~' 2) Ь 1/300 100 5) 0 1 0 ; 6) 0 1 0 ; 7) 0 01 — 201 ~ 1 — 1 1 — и 9) ~ 0 1, 10) О 1 ., 1Ц Агоо 15.48. вообще говоря, неверно. 15.51. Приведен ,О(), 3) 3 4) 1 0 0 0 — 1 0 0 0 1 8) Утверждение 6), один из возмож- 10' 1 1 1 0 ОИ 0 1 2 !. ОО1~~ 1 — 1 2 0 О 1 ' О 100 100 010 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
