1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 78
Текст из файла (страница 78)
12.49. Ц 10хз — 22ху+ 29уз— — 8х + 14у — 2 = 0; 2) 35х~ — 38ху — 9ут — 22х + бу + 7 = 0; 3) 9хз — 12ху + 4уз + 8х — 40у = 0; 4) (2х + Зу — Ц(7у — 4х + Ц = 1; 1 5) (5х+ у — 3)(5х+ у+ Ц = О. 12.50. Ц х' = — — х — ъ'Зд, 2 дз 1 „1, 3 1 у* = — х — — у; 2) х* = — — х — ъ'Зу, д* = — — х+ — д. 12.51. х* = 4 2 ' 2 ' 4 2 = д5(х — у), у* = ~д 5 (4х 15 — у). 12 52. Ц х* = х+ 2, у* = х+ у+ 1; С Сз 2) х* = х+ С, у* = — х+ у+ —.
12.53. Ц х' = хссах — уэ1пх, 2 4 у* = х эш ~д+ у сов ~р; 2) х* = хе -~- (х — хе) соэ р — (у — уе) э1п ~р, д* = де + (х — хо) вш Р + (д — уо) соэ ~р; 3) х* = х, у* = 0; 4) х" = (9х+ Зу — Ц/10, у* = (Зх+ у+ 3)/10; 5) х* = — х, у' = д; 6) х' = (7х — 24у+ 6)/25, у* = ( — 24х — 7у+ 8)/25; 7) х* = х, у" = Лу: 8) х* = (2х — у+ 2)/3, д* = ( — х+ 2у+ 2)/3; 9) х* = (9х — 2у+ 10)/5, у* = ( — 2х + бу — 5)/5.
У к а з а н и е: использовать задачу 12.25. 12.54. Ц: Ц, 2), 5), 6), 7), 8), 9); 2): Ц, 2), 5), 6). 12.55. Ц Сжатие к оси абсцисс с коэффициентом 3; 2) гомотетия относительно начала координат с коэффициентом 2; 3) параллельный перенос на вектор а ( — 1, Ц; 4) симметрия относительно оси ординат; 5) симметрия относительно точки СЗ 6) поворот на угол я/2 вокруг точки СЗ 7) симметрия относительно прямой у = х; 8) поворот относительно точки 400 Огаеети и указан я О на угол т/4; 9) симметрия относительно прямой у = (~Г2 — 1) х; 10) гомотетия относительно точки Р(3, — 1) с коэффициентом 3; ( +,3 -,З~ 1Ц поворот на угол я/3 вокруг точки ЛХ 2 ' 2 12) симметрия относительно прямой х — Яу -ь 2 = 0; 13) симметрия относительно точки К ( — 1, 1); 14) сжатие к прямой Зх — 4у = 0 с коэффициентом 1/2; 15) сжатие к прямой х — у + 2 = 0 с коэффициентом 1/3; 16) поворот на угол 2я/3 вокруг начала координат; 17) ортогональное проектирование на прямую у = 1.
У к а з а н и я: 9) найти образы базисных векторов; 10) — 13) перенести начало /1 11 координат в неподвижную точку. 12.56. 1) ~ —, 1+ — ( и ~, и'2 ~/2( 1 1з (О, 1 + чГ2); 2) — — , 1 + †) и (- ч'2, 1); 3) у = х + 1 и чг2 зГ2) 1 1 у = 1 ~- —; 4) у = х + 1+ и 2 и у = 1 -~- —. 12.57. 1) 18 ~р = — 3/4; ч2 ч'2 2) — 5я/12, — к/12, 7т/12, 11х/12, .... 12.58. х + 2у — 6 = О, 2х — у + 1 = О, 2х — у + 7 = О.
У к а з а н и е: использовать поворот вокруг точки Р. 12.59. иЗх+у — 3 = О, у = 3/4, игЗх — у — 3 = О, г'Зх+ у — 6 = О, у = 9/4. У к а з а н и е: использовать поворот вокруг лз точки Р. 12.60. 1) ~(4 — с1)(Из — сз)(азЬз — азЬ1) ~~; 2) 2(б1 бзбз( а1 Ьз с1 а1 Ь1 аз Ьз ~ аз Ьз где Ь= аз Ьз сз, Бз=,, дз=, „бз= аз Ьз сз 12.61. у = 13, 15х+ 7у+14 =О. 12.62. 1) ха+ уз — 20х — бу+84 =0; 2) ха+ уз — 10х = 0; 3) ха + уз + 12з:+ 32у — 108 = О.
12.63. 1) 1д: х* = -7х+ 5у — 2, у' = Зх+ 4у+ 1; д1; х' = 4х+ Зу+ 1, у* = 5х — 7у — 2; 2) 7д: х* = — 4х — бу + 4, у' = х + 4у + 1; д~: х* = 7х — Зд+ 6, у* = 13х — 7у+25. 12.64. 1) х* = Зх — 3, у* = Зу — 3 1 (гомотетмя с центром А (3/2, 3/2) и коэффициентом 3); 2) х* = — х, 2 1 5 у* = -у — — (гомотетня с центром В (О, — 5) и коэффициентом 2 2 1/2). 12.65.
1) х = Зх — у — 10, у* = х — 3; 2) х* = 7х — 4у — 32, 4 3 2, 3 4 11 у* = — 5х + Зу + 22; 3) х' = — х + — у+ —, у' = — х — — у — —; 5 5 25' 5 5 25' 9 5 5 3, 1 4) х" = — х — — у+33, у = — — х+ — у — 19; 5) х* = — х+8, 2 2 ' 2 2 ' 3 1 1 у* = — х + — д — 1; 6) обратное преобразование не существует; 12 4 Ошеети и указан и 401 1, 1 1 7) х = — (4х+ Зу), у' = — ( — Зх+ 4у); 8) х' = — (4х+ Зу), у* = 25 25 25 1 = — (Зх — 4у); 9) х* = г л(х сов р + у яп лл), у' = г л( — х яп р + 25 + усов р); 10) х' = г '(хсов р+ уяп~р), у* = г ~(хв1п р — усов ~р).
12.66. Ц х = х сов па — увшпа, у* = тяп па+ у соева; 2) х* = хп , яп яп яп = х сов —, -'; уяп —, у' = — хяп —, + усов —,; 3) х* = х+ пу, у* = у; 3 3' 3 3' 4) х' = 3"х., у' = (3" — 2ь) х+ 2"у. 12.67. Ц х* = Зх+ 4у+ 6, у* = 4х — Зу — 16; 2) т" = (5т — 4у — Ц/3, у* = ( — 4х + 5у — Ц/3; 3) х' = 2у'Зт — 2у — 2~3, у* = 2х + 2лУЗу + 5 — 2~3; 4) х* = = ( — 33х+ 9у+ 55)/26, у' = (18х — 51у — 30)/52. 12.68.
В задачах 4), 5), 7), 9), 12), 13), 1' ' = 1; Ц х* = х, у* = у/3, сжатие к оси абсцисс с коэффициентом 1/3; 2) х' = х/2, у' = у/2, гомотетия относительно начала координат с коэффициентом 1/2; 3) х* = х+ 1, у" = у — 1, параллельный перенос на вектор а (1, — Ц; 6) х* = у, у* = — х, поворот на угол — т/2 вокруг начала координат; 8) х* = (х + у)/лГ2, у = ( — х + у),1лУ2, поворот на угол —.т/4 вокруг начала координат: 10) х* = (х + 6)/3, у* = (у — 2)/3, гомотетия относительно точки ЛХ (3, — Ц с коэффициентом 1/3; 1Ц х* = (х + луЗу + 1 — АЗ)/2, у* = ( — у'Зх + у — 1 — АЗ)/2, поворот на угол я/3 вокруг точки М ( — (1 + л/3) /2, (1 — АЗ) /2); 14) х* = (14х' — 12у)/15, у* = ( — 12х + 21у)/15, сжатие к прямой Зх — 4у = 0 с коэффициентом 2; 15) х' = 2х —.
у + 2, у* = — х + 2у — 2, сжатие к прямой х' — у + 2 = 0 с коэффициентом 3. 12.69. Ц уд: х' = — у+ 3, у* = х — 1; д(: х* = — у+ 1, у* = х — 1; 1, 1 2) (д = д~: х* = — (Зт + 4у) + 4, у' = — (4х, — Зу) — 3; 3) (д: х' = 5 5 1 1 1 = -( — х+ ъУЗу) — 2ъ 3, у* = -(лУЗх + у) — 2, д(: х' = — ( — х — лУЗу), 2 2 2 у* = -( — ъ'Зх+ у) + 4; 4) ~д = д(: х* = 2 — х, у* = — у: 5) ~д; 2 х'=х+1,2, у"=у — 0,4, д~: х*=х — 1,2, у*=у+0,4; 6) 1'д: х' = — у — 0,2, у* = х — 0,6, д(: х* = — у+ 0,6, у* = х+ 0,2; 7) )'д: х* = х + (1 — АЗ),12, у* = у + (~3 — 3)/2, д~: х' = = х, (и 3 — 3)/2, у* = у + (1 — АЗ)/2. 12.70. 2) — ~хе — уе с18 — ), 2 [, 2)' 1 / И вЂ” ( ус+ хос18 — ); 3) 1д -- поворот вокруг точки Р (2, Ц на 2 (л 2)' угол х/2; д1 — поворот вокруг точки 1;) (1, 0) на угол т/2.
12.71. Ц х яву/2 — усову/2 = 0; 2) хе сов(р/2) + ус вш(р/2) = О, (2х — хе) в1п(~р/2) — (2у — уе) сов(р/2) = О. 12.72. 3) а (Л сов (~о,12), Л яп (~р/2)), где Л = хе сов (р/2) + уе яп (р/2). 12.73. Ц Скользящая 402 Огпветы и дказаниа симметрия относительно оси Оя, вектор переноса а(1, 0); 2) скользящая симметрия относительно оси д = 1,вектор переноса а(1, 0); 3) симметрия относительно оси д = 1. 12.74.
1) Все преобразования первого рода; 2) преобразование д первого рода, остальные — второго; 3) преобразование ( первого рода, остальные — второго; уд— скользщцая симметрия относительно прямой т~ 3 — у + 2 = О, вектор переноса ( — ~/3, — 3); ду — скользящая симметрия относительно прямой тхГЗ+ у — 2 = О, вектор переноса (- ч'3, 3); 4), 5) 1", д второго рода, уд и д1 — первого; б) все преобразования первого рода; уд— поворот на усоп я/2 вокруг точки Р (1/5, — 2/5); д1" — поворот на угол х/2 вокруг точки с,(1/5, 2/5); 7) все преобразования первого 1 1 рода.
12.75. т* = — (т — у) + 1, у' = — (т+ у) + 1 — ъ 2 поворот хГ2 ч'2 1 на угол х/4 вокруг точки М(1, 1). 12.76. т* = 1+ 2хУ2 — — (я+ у), у'2 1 1'1 11 д' = 1+ г'2+ — (у — я); вектор переноса а ( — — 1, — ), ось хГ2 'х у'2 ъ'2 ) симметрии х+ у (у'2 — 1) = ч 2+ 1. 12.77. 2) (д = д(, центральная симметрия относительно точки А (1, 0); 3) 1д — параллельный перенос на вектор а (б/5, — 2/5), д( параллельный перенос на вектор — а. 12.78. 2) уд — параллельный перенос на век- )'1-- УЗ ./3-3'1 тор,, д( — параллельный перенос на вектор 2 2 < 3 — 3 1+ 31 12.80. 1) Произведение симметрий отно- 2 ' 2 сительно двух осей, угол между которыми равен р/2, проходящих через точку ЛХ; 2) произведение симметрий относительно двух прямых, расстояние между которыми равно ~а~/2, перпендикулярных вектору а; 3) У к а з а н и е: ( = 6д, где д — осевая симмегрия, 6— параллельный перенос (см.
задачу 12.72, 3)), 6 разлагаем согласно 12.80, 2). Оси симметрии могут быть выбраны не единственным образом. См. также задачу 12.77, 1). 12.81. 1) (1, 0), (О, 1); 2) (1, 0), (О, 1); 3), 4) любая пара ненулевых взаимно ортогональных векторов; 5) (2, 1+ ъ'5), (2, 1 — чгб); б) (1, 0), (О, 1); 7) (1, 1)., ( — 1, 1): 8) (1, 2), (-2, 1); 9) (1, 3), (-3, Ц; 10) (1, ~/3), (-ч'3, 1).
12.82. 1) д — тождественное преобразование, 6г — сжатие к оси абцисс с коэффициентом 3, 6з сжатие к оси ординат с коэффициентом 4; 2) д — симметрия относительно оси абцисс, 6| — сжатие к оси абцисс с коэффициентом 3, 6в — сжатие к оси ординат с коэффициентом 4; 3) д симметрия относительно оси ординат, 6~ и 6з — сжатия к двум произвольным взаимно перпендикулярным прямым с коэффициентом 3; 4) д — поворот на угол х/4 вокруг Ответы и указал л начала координат, Ьл и Ьэ сжатия к двум произвольным взаимно перпендикулярным прямым с коэффициентом л'2; 5) д -- поворот на угол — атосов (2/у'5) вокруг начала координат, Ьл -- сжатие к прямой (1 — л75) х + 2у = 0 с коэффициентом (~ 5+ 1) /2, Ьэ сжатие к прямой (1+ лГ5) х+ 2у = 0 с коэффициентом (л'5 — 1) /2; 6) д — поворот на угол — х/2 вокруг точки ЛХ ( — 2/13, 8/13), 6|в сжатие к прямой у = 8/13 с коэффициентом 3; Ьэ — сжатие к прямой х = — 2713 с коэффициентом 4; 7) д — поворот на угол — агссоз (3/5) вокруг начала координат, 6, — сжатие к прямой х 4 7у = О с коэффициентом 15, Ьэ — сжатие к прямой 7х — у = 0 с коэффициентом 5; 8) д = длдш где дэ — поворот на угол — атосов 13/лУГО) вокруг начала координат, дл — симметрия относитольно прямой у = х; Ьл — сжатие к прямой у = х с коэффициентом ЗАТО, Ьз — сжатие к прямой у = — х с коэффициентом 2г'ГО; 9) д поворот на угол — Зя/4 вокруг начала координат, 1лл — сжатие к прямой 2х + у = 0 с коэффициентом 5~~2, Ьз сжатие к прямой х — 2у+ 5 = 0 с коэффициентом 10лГ2; 10) д поворот вокруг точки М ( — 1/9, — 2/~'3) на угол — х/3, Ьл — сжатие к прямой у = — 2/АЗ с коэффициентом 6, Ьэ — сжатие к прямой х = —.1/9 с коэффициентом 2.
12.83. 6 гомотетия относительно начала координат с коэффициентом й; Ц 6 = 5, д поворот вокруг начала координат на угол агсвш (3/5); 2) 6 = 5, д — симметрия относительно прямой х = Зу;, 3) 6 = г, д— поворот вокруг начала координат на угол сл; 4) 6 = г, д — симметрия относительно прямой хэлп(зл/2) = усов(~р/2). 12.85. Всюду ив произвольное ненулевое число: Ц Лл —— 7, а (2, — Ц; Лэ = 5, о (О, Ц; 2) Лд = 1, о(1, — Ц:, Ла = 4, ел(1, 2); 3) Лл = 3, ел(2, Ц; Лэ = — 3, о (1, 2); все ненулевые векторы собственные, Л = 2; 6) Лл = 1, о ( — 1, Ц; Лз = О, о (1, Ц; 7) собственных векторов нет; 8) Л = 3, о(1, 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
