1625913083-347b35c800d7aa625d54b9079aa1f0bd (532415)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра высшей математикиАЮПОВА Н.Б., ТАУБЕР Н.М.ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО КУРСУ"ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ(Учебно-методическое пособие)Новосибирск2012Аюпова Н.Б., Таубер Н.М. Задачи и упражнения по курсу "Векторный и тензорныйанализ"/Новосиб.гос ун-т, Новосибирск, 2012. 53 с.Учебно-методическое пособие соответствует программе курса "Векторный и тензорныйанализ", читаемого студентам 3-го курса физического и геолого-геофизического факультетовНовосибирского государственного университета.
В пособии содержатся задачи и упражнения по всемразделам, изучаемым в данном курсе. Имеются теоретические введения и примеры решениятиповых задач. Почти ко всем задачам даны ответы.Рецензент к.ф-м.н., доцент каф.высшей математики ФФ А.И.ЧерныхУчебно-методическое пособие подготовлено в рамках реализации Программы развитияНИУ-НГУ на 2009–2018 г. г. Новосибирский государственныйуниверситет, 20121Ортогональные тензорыПусть при переходе при неподвижном начале из одной ортогональнойсистемы координат в другую ортогональную систему, векторы базисапреобразуется по закону e′i = Sij ej , где (Sij ) — ортогональная матрица, т.е.1, j = kSjs Sks = δjk , Ssj Ssk = δjk , δjk =0, j 6= kТогда координаты вектора x = (x1 , x2 , x3 ) преобразуются следующимобразомx′k = Ski xi .Координаты тензора ранга m преобразуются по законуTi′1 ...im = Sii j1 .
. . Sim jm Tj1 ...jmОперации над тензорами1. Сумма Пусть A = (ai1 ...im ) и B = (bi1 ...im ) — два тензора одинаковой валентности. Их суммой называется тензор C = (ci1 ...im ), компонентами которого являютсяci1 ...im = ai1 ...im + bi1 ...im .2. Тензорное произведение. Пусть A = (ai1 ...ik ), B = (bj1 ...im ). Тогдаих тензорным произведением называетсяC = A ⊗ B = (ci1 ...ik j1 ...jm ) = (ai1 ...ik bj1 ...im )3. Свертка. Для свертывания отождествляем какую-либо пару индексов и производим суммирование.
Например,bk = akii4. Симметрирование. Фиксируем какие-либо индексы и образуемновый тензор по законуbijk = a(ijk) =1(aijk + ajki + akij + aikj + ajki + akji ).3!Операция, приводящая к тензору bijk называется операцией симметрирования тензора aijk по индексам i, j, k.35. Альтернирование. Эту операцию легко понять из следующегоравенства1(aijk + ajki + akij − aikj − akji − ajik )3!В результате получается тензор, кососсимметричный по индексам i,j, k.Приведениетензора к главным осям. симметричногоa11 a12 a13Пусть A = a21 a22 a23 — тензор, x — вектор. x называетсяa31 a32 a33главным (собственным) направлением тензора A, если выполненоcijk =A x = λ x,λ — главное (собственное) значение тензора A.Инварианты тензора A:aI2 = 22a23I1 = a11 + a22 + a33 = λ1 + λ2 + λ3 ; a32 a11 a31 a11 a21 = λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 ;++a33 a13 a33 a12 a22 a11 a12 a13 I3 = a21 a22 a23 = λ1 λ2 λ3 .a31 a32 a33 I1 , I2 , I3 — инварианты тензора.Далее в условиях задач элементы в трехмерных матрицах n-го порядка расположены следующим образом.
Зафиксировав какое-либозначение третьего индекса k, мы получаем двумерный слой или двумерное сечение трехмерной матрицы — квадратную матрицу. В нейкомпоненты данного тензора расположены так, что значение первогоиндекса равно номеру строки, второго — столбца. а третий номер фиксирован. Например, в случае n = 2 компоненты тензора aijk образуют“трехмерную матрицу второго порядка”a111 a121 a112 a122a211 a221 a212 a222Пример 1. Произвести свертку тензора по первым двум индексам14 1959 5aijk =62 2012 34Решение: Пусть bk = aiik .
Тогдаb1 = aii1 = a111 + a221 = 1 + 2012 = 2013b2 = aii2 = a112 + a222 = 1959 + 6 = 1965Пример 2. Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис для симметричного тензора, заданного в некоторомортонормированном базисе матрицей17 −8 4A = −8 17 −44 −4 11Решение: 1) находим собственные значения матрицы A для этогосоставляем характеристическое уравнение |A − λE| = 0 или−λ3 + 45λ2 − 567λ + 2187 = 0Корни данного уравнения: λ1 = λ2 = 9, λ3 = 27.
2) для определениясобственных векторов решаем соответствующие однородные системыуравнений. Обозначим координаты собственного вектора x1 , x2 , x3 .Тогда для λ1 = λ2 = 9 система вырождается в одно уравнение2x1 − 2x2 + x3 = 0,его решение неединственно, собственным значениям λ1 = λ2 соответствует плоскость, натянутая на два линейно независимых вектора,например a1 = (1, 1, 0) и a2 = (1, 0, −2).
Для собственного значенияλ3 = 27 система уравнений имеет вид− 5x1 − 4x2 + 2x3 = 0− 4x1 − 5x2 − 2x3 = 0решением является собственный вектор a3 = (2, −2, 1).2) вектор a3 ортогонален каждому из векторов a1 и a2 , посколькуони соответствуют различным собственным значениям. Для построения собственного ортогонального базиса применим процесс ортогонализации к векторам a1 и a2 .
А именно пусть b1 = a1 = (1, 1, 0), авектор b2 построим следующим образомb2 = a2 −(a2 , b1 )11 1b1 = (1, 0, −2) − (1, 1, 0) = ( , − , −2)(b2 , b2 )22 251 13) Итак, b1 = (1, 1, 0), b2 = ( , − , −2), b3 = (2, −2, 1). Теперь2 2осталось только нормировать базис.b111= ( √ , √ , 0)| b1 |221b212= (√ , −√ , −√ )e2 =| b2 |6662 2 1b3= ( ,− , )e3 =| b3 |3 3 39 0 0Ответ: канонический вид матрицы 0 9 0 в базисе0 0 27111122 2 1e1 = ( √ , √), e2 = ( √ , − √ , − √ ), e3 = ( , − , ).3 3 322, 0666Задачиe1 =1.1. Доказать, что для трех неколлинеарных векторов равенстваa×b = b×c = c×aвыполняются тогда и только тогда, когда a + b + c = 01.2. Доказать тождества (a, a) (a, b) 2(a) | a × b | = (a, b) (b, b)(b) a ×(b × c) = b(a, c) − c(a, b) (a, c) (a, d) (c) (a × b, c × d) = (b, c) (b, d)1.3.
Показать, что если тензор P обладает тем свойством, что векторыa′ = P · a,b′ = P · b,c′ = P · cгде a, b, c — три фиксированных некомпланарных вектора, оказываются компланарными между собой, то все векторы P ·u, гдеu — любой вектор, компланарны и найдется такой отличный отнуля вектор v, что P · v = 0. Обратно из наличия такого вектораv следует компланарность всех P · u.61.4. Показать, что если тензор P обладает тем свойством, что векторыa′ = P · a,b′ = P · b,c′ = P · c,где a, b, c — три фиксированных некомпланарных вектора, оказываются коллинеарными между собой, то все векторы P · u,где u - любой вектор, коллинеарны и найдутся два таких неколлинеарных вектора v и w, что P · v = 0 и P · w = 0 Обратноиз наличия двух такого векторов v и w следует коллинеарностьвсех P · u.1.5. Если для трёх некомпланарных векторов a, b и c мы имеемP · a = 0,P · b = 0,P ·c=0то P · u = 0 для любого вектора u.1.6.
Если P - тензор, r и r′ - радиус-векторы, то преобразованиеr′ = P · r можно рассматривать, как преобразование пространства. Выяснить, в чём состоит это преобразование для следующих тензоров P :1) P = α I (α - положительное число),2) P = I + a a,3) P = 2 n n − I, где n - единичный вектор,4) P = I + a b, где вектор b перпендикулярен вектору a,5) P = e′ 1 e1 + e′ 2 e2 + e′ 3 e3 , где e1 , e2 , e3 и e′ 1 , e′ 2 , e′ 3 - две тройки взаимно перпендикулярных единичных векторов.1.7.
Пусть u = (u1 , u2 , u3 ), тогда u × можно рассматривать как тензор второго порядка, действие которого на любой вектор определено формулойu × v = e1 (u2 v3 − u3 v2 ) + e2 (u3 v1 − u1 v3 ) + e3 (u1 v2 − u2 v1 )Вычислить компоненты тензора u ×1.8. Пусть A произвольный кососимметрический трехмерный тензор.Найти вектор u, такой, что A v = u × v для произвольного вектора v71.9. Дан тензор P . Разложим его на симметричную и антисимметричную части и обозначим через ω вектор, соответствующийантисимметричной части см. задачу 1.8. Доказать формулуu · (P · v) − v ·(P · u) = −2ω · (u × v),где u и v - любые векторы.1.10.
Пусть v = (v1 , v2 , v3 ) и T v = (−2v1 + 3v3 , −v3 , v1 + 2v2 ). Определить компоненты тензора T .1.11. Вашингтон имеет координаты 39o с.ш и 77o з.д., Москва имеет координаты 56o с.ш и 38o в.д., а Вашингтон 39o с.ш и 77oз.д. Принимая радиус Земли за 6400 км, вычислить расстояниемежду Москвой и Вашингтоном по дуге большого круга.Указание: Представьте векторы, направленные из центра Землик городам и используйте скалярное произведение.1.12. Дан тензор второго ранга T . Пусть тензор S имеет компонентыSij = Tji .
Доказать симметричность тензора T S.1.13. Пусть a и b — данные трехмерные векторы, x — неизвестныйвектор. Не расписывая покомпонентно, показать, что единственным решением линейного алгебраического уравненияx+a×x = bявляетсяb +(a · b) a + b × a1 + a·aУказание Представить x = A a +B b +C a × b и решить уравнение относительно A, B, C.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
