1625913083-347b35c800d7aa625d54b9079aa1f0bd (532415), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Это правомерно, так каклюбой другой нарисованный на конусе путь будет более длинным, в чём мы убедимся, развернув конус.4Основы теории поверхностейДлина дуги плоской кривой r = r(s), заданной уравнениемx = x(t), y = y(t)y = y(x),r = r(ϕ)47вычисляется по формуламs=s=Zt2tZ 1x2x1ϕ2s=Zϕ1qx′ 2 + y ′ 2 dtq1 + y ′ 2 dxpr2 + r′ 2 dtПусть в некоторой системе координат (u, v) поверхность заданауравнением r = r(u, v). Выражениеds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 , где∂r∂r∂r∂r∂r∂rE(u, v) =, F (u, v) =, G(u, v) =∂u ∂u∂u ∂v∂v ∂vназывается первой основной квадратичной формой поверхности.
Кроме того, её называют еще для краткости просто линейным элементомповерхности, подчеркивая этим, что знание её является основой длявычисления длин дуг.Кривизна k1 = | r′′ (s)| вычисляется по формулам|x′ y ′′ − x′′ y ′ |(x′ 2 + y ′ 2 )3/2|y ′′ |k1 =(1 + y ′ 2 )3/2k1 =2k1 =|r2 + 2r′ − rr′′ |(r2 + r′ 2 )3/2Кручение Для пространственной кривой r = r(s)|k2 | =|(r′ , r′′ , r′′′ )|k12Единичный вектор нормали n = ru × rv /| ru × rv |.48Форма Ldu2 + 2M dudv + N dv 2 называется второй квадратичнойформой поверхности, гдеL=−∂n∂r,∂u ∂uM =−∂n∂r∂n∂r=−,∂u ∂v∂v ∂uN =−∂n∂r∂v ∂vK = k01 · k02 — гауссова кривизна, где k01 , k02 , главные кривизны,являются корнями уравнения(EG − F 2 )k 2 − (EN + GL − 2F M )k + LN − M 2 = 0H = 12 (k0 1 + k0 2 ) — средняя кривизнаГеодезической линией на поверхности называют линию, в каждойточке которой выполняется одно из условий:а) кривизна линии равна нулю;б) нормаль к поверхности является главной нормалью линии.Через каждую точку поверхности в заданном направлении проходит единственная геодезическая линия.Геодезической кривизной линии на поверхности в данной точкеназывается длина проекции вектора кривизны линии на касательнуюплоскость к поверхности в этой точке.ПримерНайти главные кривизны цилиндра радиуса R.РешениеГлавные кривизны являются экстремальными значениями кривизны.
Очевидно, что есть сечения с кривизной 0. Она самая наименьшая. Известно, что главные направления ортогональны. Поэтому значение кривизны будет наибольшим у сечения ортогонального к первому нормальному сечению. В сечении получается окружность, кривизна которой, как известно, равна 1/R. Итак, k1 = 0, k2 = 1/R.Задачи.4.1. Даны как функции кривизна и кручение некоей пространственной кривой. Сколько можно восстановить таких кривых?4.2. Если вектор перенести параллельно вдоль некоторой замкнутойкривой, он повернётся на некоторый угол по сравнению со своимначальным положением. Обычная плоскость довольно однородна и этот угол будет одинаков для всех кривых.
Чему он равен?4.3. Найти длину дуги гиперболической винтовой линии x = a ch t,y = a sh t, z = at, заключенную между точками 0 и t.494.4. Найти выражение для длины дуги циклоиды x = at − a sin t,y = a − a cos t и найти длину дуги одного периода этой кривой.4.5. Найти длину дуги логарифмической спирали ρ = a expmϕ4.6. Найти длину дуги кривой, заданной внутренним уравнением v =u, на поверхности с линейным элементом ds2 = du2 + sh2 u dv 2 .4.7. Найти линейный элемент плоскости r = r0 +au+bv в декартовыхкоординатах.4.8. Найти линейный элемент цилиндра x = R cos u, y = R sin u, z = vu ∈ [0, 2π).4.9.
Найти линейный элемент конуса x = v cos u, y = v sin u, z = v,u ∈ [0, 2π), v > 04.10. Найдите кривизну следующих кривых а) y = sin x;б) y = a ch (x/a); в) x = a cos t, y = b sin t; г) x = a ch t, y = b sh t;д) ρ = aϕ; е) ρ = a(1 + cosϕ).4.11. Найдите кривизну и кручение следующих кривых а) x = a cos t,y=√a sin t, z = bt; б) x = acht, y = asht, z = at; в) x = et , y = e−t ,z = 2t4.12. Напишите уравнение нормали к следующим поверхностям в указанных точках(а) z = x2 + y 2 , в точке M (1, 2, 9);(б) x2 + y 2 + z 2 = 169 в точке M (3, 4, 12);(в) x2 − 2y 2 − 3z 2 − 4 = 0 в точке M (3, 1, −1);(г)y2z2x2+ 2 + 2 = 1 в точке M (x0 , y0 , z0 ).2abc4.13.
Вычислить вторую квадратичную форму следующих поверхностей:1. r = (R cos u cos v, R cos u sin v, R sin u) (сфера)2. r = (a cos u cos v, a cos u sin v, c sin u) (эллипсоид вращения)3. r = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u) (тор)4. r = (a ch ua cos v, a ch ua sin v, u) (катеноид)505. r = (a sin u cos v, a sin u sin v, a(ln tan u2 + cos u))6. r = (u cos v; , u sin v; , av) (прямой геликоид),7. xyz = a34.14. На поверхности расположена прямая линия.
Будет ли она являться геодезической?4.15. 1. Докажите, что геодезическими линиями плоскости являютсяпрямые и только они.2. Докажите, что геодезическими линиями цилиндрической поверхности являются прямолинейные образу- образующие и обобщенные винтовые линии и только они.3. Докажите, что меридианы поверхности вращения являютсягеодезическими линиями.4. Докажите, что параллель поверхности вращения будет геодезической тогда и только тогда, когда касательная к меридианув ее точках параллельна оси вращения.5. Найдите геодезические линии на сфере.Ответы4.1 Ответ одну является неверным.
На самом деле таких кривых много, но все они могут быть преобразованы друг в друга движением пространства как целого. Поэтому правильный ответ : единственна, с точностью до движения пространства.4.2 Выберем простейшую кривую - окружность и будем переноситьвектор параллельно ей (по определению параллельного переносавдоль кривой). В результате он примет исходное положение. Тоесть искомый угол равен нулю.Это обстоятельство можно объяснить следующим образом: плоскость не является кривым пространством (кривизна всюду 0), аэффект поворота вектора в действительности обусловлен именно наличием кривизны. Теория параллельного переноса вдолькривой возникла из желания иметь возможности, привычныенам в евклидовой геометрии.√4.3 s = a 2sht514.4 s = 4а(1 − cos(t/2)) при t1 = 0, Длина дуги одного периода s = 8a.ap 24.5 s =m + 1(expmϕ −1)m4.6 s = sh u2 − sh u1 .4.7 dr = adu + bdv ds2 = a2 du2 − 2(a, b)dudv + b2 dv 24.8 ds2 = a2 du2 + dv 2 .4.9 ds2 = dv 2 + v 2 cos2 (α) du2 .4.10 а) k = | sin |/(1 + cos2 x)3/2 ; б) k = a/y 2 ;abab;; г) k = 2 2в) k = 2 2(a sin t + b2 cos2 t)3/2(a sh t + b2 ch2 t)3/2д) k = (2 + ϕ2 )/a(1 + ϕ2 )3/2 ;3;е) k =4a| cos(ϕ/2)|4.11 а) k1 = a/(a2 + b2 ), k2 = b/(a2 + b2 ); б) k1 = k2 =в) k1 = −k2 =√1;2ach2 t2(et +e−t )2 .x−1y−2z−9x−1y−4z − 12==; б)==;312−13412x−1y−2z−9в)==;312−1 tttг) x = x0 1 2 , y = y0 1 2 , z = z0 1 2 .abc4.12 а)ac(du2 + cos2 u dv 2 )4.13 1.
Rdu2 + R cos2 u dv 2 ; 2. p;c2 cos2 u + a2 sin2 u13. bdu2 + (a + b cos u) cos u dv 2 ; 4. − du2 + adv 2 ;a2a du dv5. −a cot u du2 + a cos u sin u dv 2 ; 6. − √;u2 + a2x2a3y7. p( dx2 + dx dy + dy 2 )446262xyx y +a x +a y52Список литературы[1] Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задачпо аналитической геометрии и линейной алгебре. М., Наука, 1987.[2] Фейнмановские лекции по физике.
Задачи и упражнения с ответами и решениями М., Мир, 1969.[3] Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М., Изд-во Академии наук СССР, 1961[4] Simmonds J.G A Brief on Tensor Analysis. Springer. 1994[5] Задачи по тензорному анализу и римановой геометрии.
Казань,Изд-во Казанского ун-та, 1993.[6] Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред.А.С.Феденко М., Наука, 1979[7] Топоногов В.А. Тензорная алгебра и тензорный анализ. Новосибирск, изд-во НГУ, 199553.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
