1625913083-347b35c800d7aa625d54b9079aa1f0bd (532415), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Получимвыражения дляdudt2 d2 v1 dv1++=0du2v du v(4)Из (4) следует, что1 dv1d2 v++ = 0,du2v du vтак какdu6= 0dt(5)Проинтегрируем (5).d2 vdv= p(v), тогда 2 = pp′ Подставим полученныеСделаем заменуduduвыражения в (5) Получим11pp′ + p2 + = 0vvилиpp′1=−+1vp2Интегрируя, получаемln(p2 + 1) = −2 ln v + C1rC1 − v 2dv=p=duv2vdv√= duC1 − v 2pC1 − v 2 = −u + C2C1 − v 2 = (u − C2 )2v 2 + (u − C2 )2 = C1Таким образом, мы получили, что геодезические линиями в заданнойметрике являются прямые, параллельные оси и окружности с центромв любой точке оси и любого радиусаЗадачи.383.1. Докажите a) ∇ · (∇ × A) = 0,б) ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A3.2. Уравнения Максвелла имеют видρ1) ∇ · E = ,ε0∂B,2) ∇ × E = −∂t3) ∇ · B = 0,∂Ej4) c2 ∇ × B =+ .∂tε0Закон сохранения заряда можно записать в виде∇·j=−∂ρ.∂tа) Покажите, что уравнения 3 и 2 совместны.б) Покажите, что уравнение 5 можно получить, взяв дивергенцию от левой и правой частей уравнения 4 (т.

е. убедитесь, чтоуравнения Максвелла справедливы лишь при выполнении закона сохранения заряда).в) Покажите, что в пустоте (j = 0, ρ = 0) поле E удовлетворяетволновому уравнению∇2 E −1 ∂2 E= 0.c2 ∂t2г) Покажите, что в пустоте поле B удовлетворяет такому жеволновому уравнению∇2 B −1 ∂2 B= 0.c2 ∂t2д) Покажите, что согласно уравнению 2, поле E можно представить в виде E = −∇ϕ − (∂ A /∂t), где A - векторный потенциалмагнитного поля B = ∇ × A. Почему вектор B может бытьпредставлен в таком виде?393.3. Пусть v(x, y, z) - поле скоростей твердого тела, вращающегосявокруг своей оси.

Покажите, чтоа) ∇ · v = 0,б) ∇ × v = 2 ω,где ω — вектор угловой скорости.3.4. Покажите прямым вычислением, что если A - постоянный вектор, а R - радиус-вектор, тоrot(A × R) = 2 A .Если, однако, в хорошо известную формулуB ×(A × C) = A(B · C) − (B · A) Cвместо векторов B и C формально подставить ∇ и R, то получится неверный результат∇ × (A × R) = A(∇ · R) − (∇ · A) R = 3 A .В чём тут дело?3.5. Даны координаты векторного поля в декартовой системе координат. а) v = (1, 0); б) v = (−y, x); в) v = (cos ϕ, ρ1 sin ϕ).

Вычислить его компоненты в полярной системе.3.6. В полярной системе координат дано векторное полеv = (cos ϕ, − ρ1 sin ϕ). Найти его модуль и ковариантные компоненты.3.7. Найти полярные координаты следующих тензоров, заданныхсвоими прямоугольными координатами: 2 2x + y2xyx + y 2 xyа) (tij ) =,б)(t)=ijxy−(x2 + y 2 )xy03.8.

В прямоугольныхпространстве в√ координатах в евклидовом √точке x = (1, 1, 2) задан вектор v = (0, 1, 1/ 2). Найти координаты вектора в сферической системе координат (ρ, θ, ϕ).3.9. Вычислитьконтравариантныекомпоненты(x2 + y 2 , z, −2) в сферической системе координат40вектора3.10. Дифференцируя обе части равенства ei ej = δji , показать, чтоei,j = −Γijk ek3.11.

Класс трехмерных цилиндрических координат определяетсяпреобразованием видаx + iy = f (u + iv)z=wгде f аналитическая функция. Вспоминая, чтоf ′ (u + iv) = x,u + iy,u = y,v − ix,vпоказать(а) eu −i ev = (ex −i ey )f ′(б) координатная система ортогональна(в) J = |f ′ |2(г) eu,u −i ev,u = (eu −i ev )f ′′ /f ′ , eu,v −i ev,v = (ev +i ev )f ′′ /f ′(д) Γuuu = Γvuv = −Γuvv = Re(f ′′ /f ′ ),Γvuu = −Γuuv = −Γvvv = Im(f ′′ /f ′ ),Вычислить символы Кристоффеля и нарисовать координатныелинии в плоскости z = 0 для(е) параболических цилиндрических координатf=1(u + iv)2 ,2−∞ < u < ∞, 0 ≤ v(ж) эллиптическо-цилиндрических координатf = ch(u + iv),0 ≤ u, 0 ≤ v < 2π(з) биполярных цилиндрических координатf = cth(u + iv),−∞ < u < ∞, 0 < v < π3.12.

Доказать следующие свойства ковариантной производной(а) ∇w (ui + v i ) = ∇w ui + ∇w v i41(б) ∇w1 + w2 ui = ∇w1 ui + ∇w2 v i(в) ∇ϕ w ui = ϕ∇w ui(г) ϕ∇ϕ w ui = ϕ∇w ui + w(ϕ)uiгде u, v, w — векторные поля, ϕ — гладкая функция.3.13. Найти ковариантную производную следующих векторных по1лей, заданных в полярной системе v = (v i ) = (cos ϕ, sin ϕ),ρv = (v i ) = (0, 1), v = (v i ) = (ρ, 1),3.14. Вычислить ковариантную производную ковекторного поляξ = (1 + sh u, ch v) в эллиптических координата в точкеx = (0, π/2).3.15. Найти ковариантную производную тензорного поля, котороевu 1iпараболических координатах имеет компоненты (tj ) =0 v3.16.

Найти ковариантную производную тензорного поля, которое вполярных координатах имеет ненулевые компоненты t112 = ρ,t121 = 1 t211 = cos ϕ.3.17. Тензорное поле в полярно-сферических координатах имеет компоненты 1 00ρ 0000 , б) (tij ) = 0 ρ2а) (tij ) = 0 0220 0 sin ϕ0 0 ρ sin ϕНайти его ковариантную производную3.18. Найти ковариантную производную тензорного поля, которое вполярно-цилиндрическихкоординатахимеет компонентыρ 0 01 0 0а) (tij ) = 0 ρ2 0, б) (tij ) = 0 ρ 00 0 10 0 10x1 + x23.19. Тензор T имеет компоненты (Tij ) =.

Найти его2x21ковариантную производную, если известны символы КристоффеляΓ111 = (x1 )2 ,Γ112 = Γ121 = x1 x2 ,Γ122 = (x2 )2 ,Γ211 = 0,Γ212 = Γ221 = x1 /x2 ,Γ122 = 0.423.20. Заданы символы Кристоффеля.Γ111 = x2 ,Γ112 = Γ121 = xy,Γ122 = y 2 ,Γ211 = 0,Γ212 = Γ221 = x/y,Γ222 = 0.Найти ковариантную производную тензора с компонентамиt111 = 0,t112 = x + y,t121 = 2y,t122 = 1,t211 = 2x,t212 = x − y,t221 = xy,t222 = 0.3.21. Дано преобразование координат x = u − v 2 , y = u + v, −∞ < u <∞, − 21 < v вычислить(а) векторы базиса eu , ev(б) векторы сопряженного базиса eu , ev(в) символы Кристоффеля;(г) контравариантные компоненты вектора ускорения;(д) физические компоненты вектора ускорения;(е) для f = uv ev ; записать закон Ньютона в системе координатu, v3.22.

Дано преобразование координат x = u + w, y = v 2 − w, z = u2 + vвычислить(а) векторы базиса eu , ev , ew(б) векторы сопряженного базиса eu , ev в точке u = −1, v = 1,w = −1(в) символы Кристоффеля;(г) контравариантные компоненты вектора ускорения;(д) физические компоненты вектора ускорения u = −1, v = 1,w = −1;3.23. Для функции f = xy + yz + zx вычислить ковариантные компоненты grad f в (а) сферической системе координат; (б) аффинной системе координат x = u + w, y = v − w, z = u + v + w3.24. Записать закон Ньютона покомпонентно в эллиптической цилиндрической системе координат433.25.

Вычислить градиенты следующих скалярных полей в цилиндрических координатах(а) u = z + ρϕ(б) u = zρϕ(в) u = z sin ϕ + ρ(г) u = z cos ϕ + ρ2(д) u = z sin2 ϕ + ρ33.26. Вычислить градиенты следующих скалярных полей в сферических координатах(а) u = ρϕ(б) u = ρθϕ(в) u = θ cos ϕ + ρ(г) u = ρθ(д) u = ϕ sin θ + ρ3.27. Доказать, что если aij — ротор ковариантного вектора, то aij,k +ajk,i + aki,j = 03.28. Нарисовать какой-нибудь треугольник на сфере.3.29.

Найти геодезические на правильном конусе.3.30. Найти геодезические линии прямого геликоидаx = v cos u,y = v sin uz = au3.31. Найти геодезические линии псевдосферыx = a sin u cos vy = a sin u sin vz = a(ln tg u/2 + cos u)ответы3.1 Компоненты ротора вектора A равны(∇ × A)x =44∂Az∂Ay−,∂y∂z∂Az∂Ax−,∂z∂x∂Ay∂Ax(∇ × A)z =−.∂x∂y(∇ × A)y =Дивергенция ротора, по определению, равна величине∂∂∂(∇ × A)x +(∇ × A)y +(∇ × A)z .∂x∂y∂zПодставляя в это выражение компоненты ротора A и учитывая тот факт, что порядок вычисления смешанных производныхпроизволен, т.е.

что, например, ∂ 2 Ax /∂z∂y = ∂ 2 Ax /∂y∂z, легкоубеждаемся в равенстве нулю дивергенции ротора произвольного вектора A.б) Доказательство удобно провести для каждой компоненты вотдельности. Покажем, например, что(∇ × (∇ × A))x = ∇x (∇ · A) − ∇2 Ax .(6)Согласно определению, левая часть этого соотношения можетбыть записана в виде∂∂(∇ × A)z −(∇ × A)y =∂y∂z∂ ∂Ax∂Ax∂Az∂ ∂Ay−=−−=∂y∂x∂y∂z∂z∂x 2∂ ∂Ay∂Az∂ Ax∂ 2 Ax=+−+.∂x ∂y∂z∂y 2∂z 2Прибавляя и вычитая в правой части последнего соотношения величину ∂ 2 Ax /∂x2 и учитывая, что ∂Ax /∂x + ∂Ay /∂y +∂Az /∂z = ∇ A, убеждаемся в справедливости соотношения (6).Аналогично доказывается это соотношение для компонент y иz.3.5 а) v = (cos ϕ, −sin ϕ/ρ); б) v = (0, 1); в) v = (ρ, 1)3.6 v = 1, (vi ) = (cos ϕ, −ρ sin ϕ).453.7 а) t11 = −t22 = ρ2 (1 − 2 sin4 ϕ), t21 = 1/ρ2 , t12 = −ρ sin ϕ cos ϕ(2 +sin2 ϕ) б) t11 = ρ2 cos2 ϕ(1 + 2 sin2 ϕ), t22 = ρ4 sin2 ϕ(2 sin2 ϕ − 1),t12 = t21 = −2ρ3 cos3 ϕ sin3 ϕ√3.8 v = (1, 0, 1/ 2)0 −ρ1 −ρiii3.13 а) (∇j v ) = 0, б) (∇j v ) = 1в) (∇j v ) = 1.01ρρ10.0 sh π2u v1i3.15 .

(Γ1j ) = u2 +v2Тогда−v u3.14 (∇j ξi )x =v1 − u2 + v 2i(∇1 tj ) =  v(v − u)u2 + v 2аналогично вычисляется ∇1 tij .v(v − u)u2 + v 2 −v u2 + v 23.17 а)1 0 0(∇1 tij ) = 0 0 0 ,0 0 00(∇3 tij ) = 01 − sin θ/ρ00− cos θб) ∇k tij = 0.3.18 а) ∇k tij = 0,б)1(∇1 tij ) = 00(∇3 tij ) = 00 01 0 ,0 00(∇2 tij ) = 1 − ρ2046ρ20000 ,cos θρ sin θ(ρ − sin θ)− sin2 θ cos θ cos θ0(∇2 tij ) = 10ρ2 − 10000 ,cos θx13.19 (∇1 tij ) = x2 2x112 1 211 2−2x (1 + x x ) − x2 − (x + 3x )x x1x112 x121 2−(x+3x)1−(x+x)(x)−x2 1x2 (∇2 tij ) = x−(x1 + 3x2 )(x2 )22(1 − x1 x2 )2 − 2x01 − (x1 + x2 )(x1 )2 −ϕeϕ + sin ϕ ez3.25 а) ϕ eρ + eϕ + ez б) zϕ eρ +z eϕ +ρϕ ez в) eρ + z cosρz sin ϕzsin2ϕг) 2ρ eρ − ρ eϕ + cos ϕ ez д) 3ρ2 ϕ eρ + ρ eϕ + sin2 ϕ ez3.26 а) ϕ eρ + sin1 θ eϕ б) θ eρ + eθ +ρϕ ez в) θϕ eρ +ϕ etheta + sinθ ϕ eϕ г)θeρ + ϕ coseθ + ρ1 ϕ eϕ д) eρ + cosρ ϕ eθ − ρθ ϕ eϕρ3.28 В обычной геометрии граница треугольника образована отрезками прямых.

Аналогично, в криволинейном пространстве треугольник получается из отрезков геодезических, ибо геодезическая это аналог прямой.Геодезические на сфере - дуги больших окружностей.3.29 По смыслу геодезический путь между двумя точками - локально кратчайший путь между ними. Мы можем развернуть конус,чтобы он лёг на плоскость и провести прямую через эти точки(прямая-кратчайшая на плоскости).

Характеристики

Список файлов книги