1625913083-347b35c800d7aa625d54b9079aa1f0bd (532415), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Тензор aijkl задан матрицей1234 −4−3 −2−1 (а)  − − − − − − − − − − − −  −4−3 −2−1 5678610351018 59(б)  − − − − − − − − − − − − 1220 915 20361527 (ij)(ij)Найти компоненты тензоров akl , aij(kl) , a(kl)2.36. Тензор aijk задан матрицей1 2 3 4 5 6 (а)  4 3 2 1 5 9 9 8 7 6 5 4 2 4 6 4 6 2 (б)  6 2 8 2 6 4 4 6 2 8 2 4 8 97 6 3 16 8 44 6 2 2 4 6782Найти компоненты тензоров a[ijk] , a(ijk)2.37. Тензор aij задан матрицей1 201 −2(а)(б) 2 5 −2−2 50 −2 5Вычислить инварианты aii a[i akk] , a[i ajj akk] .2.38. Метрический тензорцами92 3,(а)3 5−512 5(б),35 13и тензор aij заданы соответственно матри−53242521(в) −10−4−1052−42 ,10231 33 55 7ijНайти матрицы тензоров a·ji· ,a .2.39.

Метрический тензор и тензорцами1 −24 −2(а),−2 5−3 11 201 2(б) 2 5 −2 , 2 30 −2 51 1aij заданы соответственно матри-341Найти матрицы тензоров a·ij ,a·ji· .2.40. Метрический тензор ирицами2 31 1(а),3 51 12 33 4(б),3 55 711 205 −2 ,(в)  20 −2 50 −1 1  10 −1 −1 10 тензор aijk‘ заданы соответственно мат1 −11 −12 51 302 −2 0−2 02 12 −2 0 −1ijНайти матрицы тензоров a·ji· ,a .−1 10 −1 102.41. Метрический тензор и тензор aijkl заданы соответственно матрицами111101012 5(а),  −−− −−− −−− −−− 5 131122010226(б)1 1,1 21−4−−−−452−3−−−−36ijНайти матрицы тензоров a·ji· ,a .3 −2 −−− −274−1−−−−182.42. Упростить выражения(а) (aij g jk + δij alj g lk )gks ;(б) δji δkj g kl alj ;(в) aij g jk gkl g ls2.43.

На V2 заданы своими координатами в базисе {e1 , e2 } тензоры a,bиc1 2−1 22 −1i(aij ) =, (bkl ) =, (cj ) =.3 41 1−1 2Найти координаты этих тензоров в базисе {e1′ , e2′ }: e1′ =2 e1 + e2 , e2′ = e1 − e2 .2.44. Тензорt в базисе15 −11(tji ) = 20 −158−7{e1 , e2 , e3 } имеет матрицу координат586Найти координаты этого тензора в базисе {e1′ , e2′ , e3′ }: e1′ =2 e1 +3 e2 + e3 , e2′ = 3 e1 +4 e2 + e3 , e1′ = e1 +2 e2 +2 e3 .2.45.

Найти тензорные произведения следующих тензоров 21 0, xk =(а) (Aij ) =13 41 00 5(б) (Aij ) =, (Bkm ) =3 4−3 10 05 1ik(в) (Aj ) =, (Bm ) =0 10 −1272.46. Векторы a, и b пространства V3 и ковекторы ξ и η сопряженного пространства имеют координаты: a = (1, 2, −3), b = (−2, 1, 0),ξ = (5, 0, 1), η = (1, 1, −2). Найти координаты следующих тензоров а) a ⊗ b; б) a ⊗η + b ⊗ξ; в) a ⊗ξ; г) a ⊗ b − b ⊗ a;д) ξ ⊗ η + η ⊗ ξ2.47.

В V3 задан симметричный (0,2)-тензор с матрицей1 1 0(gij ) = 1 2 20 2 5а) Проверить, что пространство E 3 = (V3 , g) евклидово; б) найти взаимную метрику g ij в) найти ковариантные координатывектора v = (1, 2, 0) и контравариантные координаты ковектораξ = (2, −1, 3).2.48.

В базисе {e1 , e2 , e3 } матрица метрического тензора gij евклидова пространства имеет вид2 −2 0(gij ) = −2 3 101 3Дано преобразование базисаe1′ = e1 + e2 + e3e2′ = e1 + e2 +2 e3e3′ = e1 +2 e2 +3 e3′ ′Найти а) gi′ j ′ ; б) g ij ; в) g i j ; г) ковариантные (vi ) и (vi′ ) координаты вектора (6, 9, 14).2.49. В базисе {e1 , e2 , e3 } матрица метрического тензора gij евклидова пространства имеет вид2 −2 0(gij ) = −2 3 101 328Дано преобразование базисаe1′ = 2 e1 + e2 −3 e3e2′ = 3 e1 +2 e2 −3 e3e3′ = e1 − e2 + e3′ ′Найти а) gi′ j ′ ; б) g ij ; в) g i j ; г) ковариантные (vi ) и (vi′ ) координаты вектора v = 6 e1 +2 e2 −7 e3 .

д) ковариантные координаты(vi ) и (wi ) векторов v = (1, 1 − 1) и w = (3, −1, 1)Ответы2.1 а) v = (0,9; 1,3), w = (−6,8; 4,6); б) v = (−29, 19), w = (3, −1); в)v = (7, −2), w = (11, 4); г)v = (−8, 7), w = (1, −3).2.2 а) (1,2,3); б) (1,1,1); в) (0,2,1,2).′′′′′′2.3 а) v 1 = −27v 1 − 71v 2 − 41v 3 , v 2 = 9v 1 + 20v 2 + 9v 3 , v 3 =′′′′′′′′′′4v 1 +12v 2 +8v 3 ; б) v 1 = 2v 1 +v 3 −v 4 , v 2 = −3v 1 +v 2 −2v 3 +v 4 ,31′2′3′4′41′2′3′4′v = v − 2v + 2v − v , v = v − v + 2v − v .2.4 а) Размерность равна 3.

Базис образуют, например, векторы a1 ,a2 , a4 . б) Размерность равна 3. Базис образуют, например, векторы a1 , a2 , a5 .2.5 а) да; б) нет; в) нет; г) да д) нет; е)нет.′′2.6 e1 = 3/5 e1 −1/5 e2 , e2 = −1/5 e1 +2/5 e2 , u1′ = 2u1 + u2 , u2′ =u1 + 3u2′′′′′′′′′2.8 x1 = 2x1 + x3 − x4 , x2 = −3x1 + x2 − 2x3 + x4 , x3 = x1 − 2x2 +′′′′′′2x3 − x4 , x4 = x1 − x2 + x3 − x42.9 а) да, ненулевые координаты t11 = t13 = 1, t12 = −3,t21 = −2; б)нет в) нет г) да, ненулевые координаты t12 = 2, t13 = t32 = 1,t23 = −3 д) нет е) да, ненулевые координаты t11 = t33 = 1,t23 = −1.2.10 а) (0,3) б) (1,2) в) (1,1) г) (0,2) д) (2,2)29k m2.11 Akmij = δi δj , поэтому данные числа суть координаты тензораδ ⊗ δ, где координатами δ — символ Кронекера.2.13 а) e1 б) в)6 14 22.14 а) 13; б) 3 7 1; в) 13; г) (2,4,1); д) ненулевые координаты0 0 0тензора a = t ⊗ v a111 = a123 = a132 = 2, a211 = a223 = a232 = 1,a113 = a121 = 4, a213 = a221 = 2; е) 1 ж) (17,1,13) з) ненулевыекоординаты тензора2.15 а) t11 = t21 = 1, t12 = t22 = −1 б) ненулевые координаты t13 = 1,t23 = 2, t14 = 1; в) ненулевые координаты t13 = 1, t23 = 2, t14 = 1.4 −8637−132.17 а)ж б) -15; в)г) -7; д); е)6 −14−7 −15−12 28-14.2.19 а) 6; б) -6.2.20 а) 0; б) 12.2.21 а) -2; б) 14.2.22 -1.′2.23 Координаты тензора t в новом базисе имеют вид а) t11′ 1′ = 6,′′′′′′t11′ 2′ = 15, t12′ 1′ = 12, t21′ 2′ = 30, t21′ 1′ = −2, t21′ 2′ = −5, t22′ 1′ = −4,′′′′′′t22′ 2′ = −10; б) t11′ 1′ = −4, t11′ 2′ = 4, t12′ 1′ = 2, t12′ 2′ = −2, t21′ 1′ = −6,′′′′′′t21′ 2′ = 6, t22′ 1′ = 3, t22′ 2′ = −3; в) t11′ 1′ = −12, t11′ 2′ = −6, t12′ 1′ = −4,′′′′′t12′ 2′ = −2, t21′ 1′ = 30, t21′ 2′ = 15, t22′ 1′ = 10, t22′ 2′ = 5.

5 11 5.; б)2.27 а)0 00 52.28 а) Нет; б) нет; в) да; г) да; д) да; е) да; ж) да; з) да; и) да; к) да.2.30 а) -2; б) 3.30 2 30 21 00 −1; б); 2. а); б);3 3−2 00 11 0 1 −10 03. а); б);−1200 12200135/2; б) 003/24. а) 22 5/21−1 −3/200 0 0 0 0 1 0 −1 0а)  0 0 1 0 0 0 1 0 0 ,0 1 0 −1 0 0 0 0 0 110/3 19/3 10/3 3 19/3 19/3 19/3 19/3 10/3319/3 357 19/374 4 19/319/3 19/3 19/3 19/3 7410 0 0 0 0 −2 0 2 00 0 2 0 0 0 −2 0 0 ,б)0 0 0 0 0 −2 0 2 068/36 16/3214/3 16/3 14/3 10/3 14/3 10/314/3 10/3 414/3 66 10/36614/3 10/3 8/3 10/316/368/3 60 −3460−37402 −248а),−37 21−341 21−248 153 −56 223 −1−2 6,б)23 −919 7 1 −114 17 512 −1 1347 139 719 19  87 17,  6в)  453 67 3713 17 2511 19 25 10 −44216а),−23 1−113 −45 2−23681118 б) 10 17 24 , −16 3343 −21 −91 −1 −3 7 3 3 1−1 −1 −1 1,а) 3 1 ,3 3 3 37 341 17 17 77 3 3 1,41 17 17 77 3 3 12.34 1.

а)2.362.382.392.4031 −23 10 20 9−7 −10 0 −1,,39 17 11 519 27 1 5 19 30 8 13155 68 66 29,,11 17 167 75 893917 41−6 −25 31 12 50 −62 −6 −25 3112 −15 −6 24 30 312 −15 ,в) 3 −2 10 12 115−65 −614 −14 −2 −7 7−2 −7 7 4 14 −5 ,10 145 −2 8324 113 −2 −2 −610 −10 0 −9 903 −3 0 −3 00 −9 ,010 93 −10900 −93 −3 0 10 −10621 −21 2070 −70 −18 −63 63 −3 −12 15 −10 −40 50 936 −45 −3 −96−10 −30 20927 −1839101 39101 100 1002592592.41 1. а) − − − − − − − − − − − − ;39101 78202 100259 2005188989 −33−33089 0−33  −−− −−− −−−−−−б)  −34−34 1313 −34 013 027471913 − − − − − − ;−−−−−−2. а)371219 1524 274222495 −152218 −−−−−−−−−−−−б)  −500−5 0099б)2.42 2a(is) , aii asi322 −12.43 Матрица преобразования базиса имеет вид P =обрат1 −11 −1ная матрица имеет вид P −1 =.1 −2Тогда18 −133 0−38 −4k ′ l′i′(ai′ j ′ ) =, (b ) =, (cj ′ ) =−14 103 1−3 −31 02.44 0 20 000.32.45 а) Координаты тензора A ⊗ xt111 = 20,t112 = 0,t121 = 6,t122 = 8,t211 = 1,t212 = 0,t221 = 3,t222 = 4;б) координаты тензора A ⊗ Bt1111 = 0,t1112 = 5,t1211 = 0,t2111 = 0,t1212 = 0,t2112 = 15,t2211 = 0,t2212 = 20,t1121 = −3,t1122 = 1,t2221 = −12,t2222 = 4,t1221 = 0,t2121 = −9,t1222 = 0,t2122 = 3,22в) ненулевые координаты тензора t = A ⊗ B t2121 = 5, t21 = 1,22t22 = −1.2.46 а) Обозначаяt = a ⊗ b получаем tij = ai bj , откуда (tij ) =−2 1 0−4 2 0 б) обозначая S = a⊗ξ получаем Sji = ai ξj , откуда6 −3 050 1(Sji ) =  10 0 2 −15 0 −31 1 =2.47 а) По признаку Сильвестра главные миноры 1 > 0, 121 1 01 > 0, 1 2 2 = 1 > 0.

Следовательно, заданная метрика0 2 5336 −5 2положительно определенная; б)g ij = −5 5 −2 в)v1 = 3,2 −2 1v2 = 5, v3 = 4, ξ 1 = 23, ξ 2 = −21, ξ 3 = 9.6 10 1623/2 −1/23/2 −1/2 в)2.48 а) (gi′ j ′ ) = 10 17 27 б) (g ij ) =  3/216 27 45−1/26 −1/2 1/29−9/2 −1/2′ ′(g i j ) = −9/2 7/2 −1/2 г) v1 = −6, v2 = 29, v3 = 51−1/2 −1/2 1/2v1′ = 74, v2′ = 125, v3′ = 205.3Тензорные поля.

Ковариантная производная.Ковариантная производная вектора,∂Aα− Ai Γiαβ ,∂xβковариантная производная ковектора∇β Aα =∇β Aα =∂Aα+ Aλ Γαλβ .∂xβСимволы Кристоффеля определяются формулами∂gjk∂gij1 ∂gik+−Γij,k =2 ∂xj∂xi∂xk— символы Кристоффеля первого родаΓkij = Γij,r g kr— символы Кристоффеля второго рода.Ковариантные составляющие градиента в любой системе координат являются∂f∇α f =∂xαКонтравариантными составляющими будут служить величины∇α f = g αλ ∇λ f = g αλ34∂f∂xλФизические компоненты проекции grad f на оси координат(grad f )xi =1 ∂f.Hi ∂xiHi — коэффициенты Ламе.Дивергенцияdiv a = ∇i ai = ∇k (g ik ai ).в криволинейной ортогональной системе координат∂(H2 H3 ax1 ) ∂(H3 H1 ax2 ) ∂(H1 H2 ax3 )1++div a =H1 H2 H3∂x1∂x2∂x3Лапласиан1 ∂∆f = div grad f = √g ∂xi√ ik ∂fgg∂xkв криволинейной ортогональной системе координатH2 H3 ∂f∂H3 H1 ∂f∂1++△f =H1 H2 H3 ∂x1H1 ∂x1∂x2H2 ∂x2H1 H2 ∂f∂+ 3∂xH3 ∂x3Ротор1r1 = √g1r2 = √g1r =√g3∂a3∂a2−∂x2∂x3∂a2∂a1−∂x1∂x2∂a1∂a3−∂x3∂x1ri = giα rα 1∂a2∂a3∂a1∂a3∂a1∂a2ri = √gi1−+g−+g−i2i3g∂x2∂x3∂x3∂x1∂x1∂x2В физических составляющих для случая ортогональных координатполучим1∂(H3 ax3 ) ∂(H2 ax2 )(rot a)x1 =−H2 H3∂x2∂x335и две аналогичные формулы для остальных осей.Пример 1.В декартовой системе координат вектор v имеет координаты v =(1, 1).

Вычислить его координаты в полярной системе координат.Решение.Декартова и полярная система координатp связаны соотношениями: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ и обратно ρ = x2 + y 2 , ϕ = arctg xy . Вновой системе координаты вектора будут вычисляться по формуламi′′′i′i ∂x. В данном случае x1 = x, x2 = y, x1 = ρ, x2 = ϕ.v =v∂xi′∂x2∂ϕy==− 21∂x∂xx + y2′∂ϕx∂x2== 21∂x∂yx + y2′∂x1∂ρx,==p12∂x∂xx + y2Тогда′∂ρy∂x1==p,22∂x∂yx + y2∂ρxy∂ρ+ v2=p+p= cos ϕ + sin ϕ222∂x∂yx +yx + y2∂ϕyxcos ϕ + sin ϕ∂ϕ+ v2= 2+ 2=vϕ = v122∂x∂yx +yx +yρvρ = v1Пример 2.Пусть в области, определенной неравенствами −∞ < u < ∞, 0 ≤v ≤ 2π, задан метрический тензор g11 = g22 = 1/v 2 , g12 = g21 = 0.Вычислить символы Кристоффеля первого и второго рода и найтигеодезические.Решение.1) Находим элементы g ij1/v 210 g== , g 11 = g 22 = v 2 , g 12 = g 21 = 0.01/v 2 v 42) Находим символы Кристоффеля первого родаΓ11,1 = 0,Γ11,2 = −Γ21,1 = Γ12,1 =11 ∂g11= 3,2 ∂vv1 ∂g111= − 3,2 ∂vvΓ22,1 = 0,Γ12,2 = Γ21,2 = 0 Γ22,1 =361 ∂g221= − 3,2 ∂vv3) Теперь находим символы Кристоффеля второго родаΓ111 = 0,1Γ112 = Γ121 = v 2 Γ12,1 = − ,vΓ122 = 011, Γ212 = Γ221 = 0, Γ222 = v 2 Γ22,2 = −vv4) Напишем уравнения геодезических линий( 2d u1 du dvdt2 + 2Γ12 dt dt = 022d udu 22+ Γ222 dv=0dt2 + Γ11 dtdtΓ211 = v 2 Γ12,2 =Поставив сюда выражения для Γ112 , Γ212 и Γ222 , получим 21 du dvd u−2=0dt2vdt dt 2221 dv d u + 1 du−=0dt2v dtv dt(1)Прежде всего заметим, что данная система имеет решения u = const,dud2 uv = ϕ(t).

В самом деле, если u = const,= 2 = 0 то первое уравdtdtнение системы (1) становится тождеством, а второе принимает видdvd2 v−= 0, из которого следует, что v = ϕ(t) где ϕ(t) решениеdt2dtэтого уравнения. Полагая τ = ϕ(t), мы получаем уравнения геодезических u = const, v = τ откуда видим, что геодезические линии сутьпрямые, параллельные оси v. Проверить, что ϕ(t) = C2 ec1 t Пусть теduперь6= 0 Тогда существует функция t = t(u) и мы можем считатьdtv = v(t(u)) функцией от u Найдем формулы, связывающие производные от u по t и производные от vdv dudv=dtdu dt 2 2d2 vd2 v dud2 v dudv d2 vdv 2 du dv= 2= 2++=dt2dudtdu dt2dudtdu v dt dt 2 2dud v2 dv+=dtdu2v du37(2)(3)d2 vdvиз (2) и для 2 из (3) подставим во второе уравdtdtнение системы (1).

Характеристики

Список файлов книги