1625913083-347b35c800d7aa625d54b9079aa1f0bd (532415), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для того, чтобы доказать единственность, предположим, что y — другое решение уравнения, тогдаx=x − y = a ×(x − y) = 0.Какой вывод можно сделать из этого равенства.1.14. Определить единичный вектор c, взаимно перпендикулярныйвекторам a = (1, −2, 3) и b = (−1, 0, 1) используя и не используявекторное произведение, так, чтобы векторы a, b, c составлялиправую тройку векторов.81.15. Дана линейная векторная функцияr′ = a ×(b × r) = P · rПри каких условиях тензор P будет симметричным?1.16. Для того чтобы тензор P был антисимметричным, необходимо идостаточно, чтобы для любого вектора a выполнялось равенствоa ·(P · a) = 0Доказать это.1.17. Тензор A дан в ортонормированном базисе e1 , e2 ,...,en . Записатьтензор в новом базисе e′1 , e′2 ,..., e′n25 −7(а) (Aij ) =,−7 21111e′1 = √ e1 + √ e2 , e′2 = − √ e1 + √ e222223 5,(б) (Aij ) =5 92233e′1 = √ e1 − √ e2 , e′2 = √ e1 + √ e2131313134 −7(в) (Aij ) =,−5 92112e′1 = √ e1 − √ e2 , e′2 = √ e1 + √ e255551 1 2111(г) (Aij ) = 3 0 0 , e′1 = √ e1 + √ e2 + √ e3 ,3332 0 −111112e′2 = − √ e1 + √ e2 + √ e3 , e′3 = − √ e2 + √ e36662212 021(д) (Aij ) = 0 −1 1, e′1 = √ e1 − √ e3 ,55−1 1 1541222e′2 = − e1 + e2 − e3 , e′3 = √ e1 − √ e2 − √ e33333 53 53 595 2 1112е (Aij ) = 0 5 1, e′1 = √ e1 + √ e2 − √ e3 ,101052 0 3√√22111e′2 = √ e1 − √ e2 , e′3 = √ e1 − √ e2 − √ e3225551.18.
Тензор A дан в ортонормированном базисе e1 , e2 ,...,en . Записатьтензор в новом ортонормированном базисе e′1 , e′2 ,..., e′n , еслиизвестно, что орты e′1 , e′2 ,..., e′n сонаправлены векторам a1 , a2 ,...,an соответственно1 2а (Aij ) =, a1 = e1 −3 e2 ,4 5a2 = 3 e1 + e2 ,1 0 1б (Aij ) = 0 5 1, a1 = e1 + e2 − e3 ,2 0 2a2 = e1 +2 e2 +3 e3 , a3 = 5 e1 −4 e2 + e33 2 1в (Aij ) = 1 1 1, a1 = e1 +2 e2 + e3 ,2 0 1a2 = − e1 + e2 − e3 , a3 = − e1 + e34 1 1г (Aij ) = 0 3 1, a1 = 2 e1 +2 e2 + e3 ,2 2 2a2 = − e2 +2 e3 , a3 = 5 e1 −4 e2 −2 e31.19.
Тензор A дан в ортонормированном базисе e1 , e2 , e3 . Записатьтензор в новом ортонормированном базисе e′1 , e′2 , e′3 , если известно, что орты e′1 , e′2 сонаправлены векторам a1 , a2 соответственно и базис ориентирован как указано ниже1 0 1(а) (Aij ) = 0 5 1, a1 = e1 +3 e2 − e3 ,2 0 2a2 = −2 e1 + e2 + e3 , левый базис1 0 0(б) (Aij ) = 2 4 1, a1 = e1 + e2 + e3 ,1 0 1a2 = e1 +2 e2 −3 e3 , правый базис101 2 1(в) (Aij ) = −2 1 −1, a1 = e1 +2 e2 ,−1 1 1a2 = −2 e1 + e2 +3 e3 , правый базис3 −1 0(г) (Aij ) = 1 −3 2 , a1 = 2 e1 +2 e2 − e3 ,2 −2 −2a2 = e1 +2 e3 , левый базис1.20. Задан симметричный ортогональный тензор.
Привести его кглавным осям и выписать правый ортонормированный базиссобственных направлений так, чтобы векторы образовывали ортонормированный правый базис.(а) 2x21 − 4x1 x2 + 5x22(б) 9x21 − 24x1 x2 + 16x22(в) x1 x2(г) 2x21 + 9x22 + 2x23 − 4x1 x2 + 4x2 x3(д) 5x21 + 2x22 + 5x23 − 4x1 x2 − 4x2 x3 − 2x1 x3(е) x21 + x22 + x23 + x1 x2 + x2 x3 + x1 x3(ж) 4x1 x2 + 4x2 x3 + 4x1 x31.21. Тензор aijk задан матрицей1 1 1 −1(а)1 1 1 −13 4 2 5(б)5 7 1 32 4 6 4 6 2 6 2(в) 6 2 4 2 4 6 4 64 6 2 6 2 4 2 442 6Найти компоненты тензоров a(ij)k , ai(jk) , a(i|j|k) , a[ij]k , ai[jk] ,a[i|j|k] ,1.22. Значения компонент тензора напряжений в некоторой точке среды заданы матрицей1120а) 0100400102 4 10 , б) 4 3 4,601 4 1Вычислить шаровую часть и девиатор тензора.1.23. Дан тензор второго ранга T .
Выделить симметричную S и кососимметричную A части тензора T . Представить действие тензора как T = S + u × где u — вектор, соответствующий кососимметрическойчасти.шаровуючасть и девиатор Выписать4 2 72 4 2тензора S. а) 4 3 1, б) 6 8 4.1 6 36 3 11.24. В прямоугольной декартовойданы тензор напряжений1abсистеме координат (х1 , х2 , х3 ) заa b1 cc 1и площадка с нормалью n,√составляющей√√ равные углы с осямикоординат, так что n = (1/ 3, 1/ 3, 1/ 3).1) определить значения а, b, с, при которых на указанной площадке напряжение равно нулю;2) для тензора напряжений с этими значениями а, b, c найтиглавные напряжения и направления главных осей.3) выписать разложение этого тензора напряжений на шаровуючасть и девиатор.1.25.
Показать, что кинетическую энергию T твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, можно выразить формулойT =1ω · (J ·ω)2где J — тензор моментов инерции, ω — вектор угловой скорости.Ответы1.6. 1) Преобразование подобия; 2) Растяжение в направлении вектора a; 3) Поворот около оси n на π; 4) Сдвиг плоскостей b · r =12const параллельно направлению вектора a; 5) Поворот пространства, при котором оси e1 , e2 , e3 переходят в оси e′ 1 , e′ 2 , e′ 3 , сопровождаемый зеркальным отражением пространства, если ориентация осей e′ 1 , e′ 2 , e′ 3 отлична от ориентации осей e1 , e2 , e3 .−2 0 31.10 T = 0 0 −11 2 01.14 (-2,-4,-2)1.15.
При условии, что a и b коллинеарны. 95/23/13−11/1349/51.17 а)б)в)−16 9/2−11/13 153/13−23/5√8/3−5 2/3√0√г) −2p 2/3 −13/6− 3/2√− 2/3 1/(2 3) −1/2√7/55/3−1/3√√д) 2/(3 5)−13/932/(9 5)√23/457/522/(9 5)√√√41+24√ 22)−2(1+−555√1√84е) 5√5 √ √8−12√ 22)5 (1 +5 (19 − 2 2)5−33/516/5√√ 4/3−7/ 15 −3p 10√−1/2 −5/2б) −7/1.18 а)27/73/2p 15√√−3/2 5/2− 5/2 −1/ 6 −1/ 6p√ 19/53 3/14 −25/(3√ 14)pв) 4√ 2/214/32/(2 3) √√59/21−8 2/(3 7) −4 3/7√√ 46/92/(35)22/5√г) 13/(3√ 5)16 7/(9 5)1/310√√ √21/519/(2 15) −5 5/(2√ 33)1.19 а) 7/151−2/ 11 √√2/ 1135/11−7/ 16513p√√ 10/36/7 − √2/(3 7)pб) 3 3/143/2 √3/2√3/27/625/(3 14)pp7/10 − 7/2p1√в)−p 7/101√−3/ 5 7/2)3/ 51√√ −2/36/ √5 −14/(3 5)√г) 8/(3 √5) −1/ 5−61/15 3/5−17/1514/(3 5) 40 00−20 0 102 0 00 4 10 0 ; б) 0 2 0, 4 1 4 1.22 а) 0 40 0 , 000 4010 0 200 0 21 4 −1 2 0 00 0 −22 4 41 , 0 2 0, (−1, 2, 0);1.23 а) S = 4 3 2, A = 0 00 0 22 −1 04 2 1 4 4 45 0 00 −2 30 −1, 0 5 0, (1, 3, 2);б) S = 4 8 5, A = 2−3 104 5 10 0 5√√√√1.20 а) λ1 = 6, λ2 = 1; (1/ 5, −2/ 5), (2/ 5, 1/ 5);б) λ1 = 25, λ2 = 0; (3/5, −4/5),√ (4/5,√3/5); √√в) λ1 = −1/2, λ2 = 1/2; (1/ 2, −1/ 2),√√ (1/ 2, 1/√ 2);г) λ√ λ2 = 2, λ3 = 1, (1/(3 2), −4/(3 2), −1/(3 2)),√1 = 10,(1/ 2, 0, 1/ 2); (−2/3, −1/3, 2/3)√√√√√д) λ√1 = 6,√λ2 = √6, λ3 = 0, (−1/ 2, 0, 1/ 2), (1/ 3, −1/ 3, 1/ 3),(1/ 6, 2/ 6, 1/ 6);е) λ√1 = 2,√λ2 = √1/2, λ3 = √1/2,√√√√(1/ 3, 1/ 3, 1/ 3), (−1/ 2, 0, 1/ 2), (1/ 6, −2/ 6, 1/ 6);ж) √λ1 = 4,−2,√ λ2 =√−2, λ3 = √√√√√(1/ 3, 1/ 3, 1/ 3), (−1/ 2, 0, 1/ 2), (1/ 6, −2/ 6, 1/ 6);1.24 1) a = b = c = −1/2,2) имеем два одинаковых главных напряжения p1 = p2 = 3/2 иодно, равное нулю .
третья главная ось тензора напряжений совпала с нормалью n к площадке, где все компоненты напряженияравны нулю. Вся плоскость первых двух главных осей (плоскость, ортогональная вектору n является собственной плоско14стью и любые два взаимно перпендикулярных направления вней являются главными.)3)1−1/2−1/22−1/21−1/2 000 + −1/2−1/21 1 0−1/2−1/2 = 0 10 01−1/20−1/2−1/2−1/20Тензорная алгебраПусть при переходе от старой системы координат к новой базис меняется по законуei′ = Aii′ ei ,и обратно′ei = Bii ei′′Матрицы Aii′ и Bii связаны соотношениями′′Bkj Aki′ = δij′ ,Ajk′ Bik = δji ,′Будем говорить, что дан контравариантный одновалентный тензор, если при замене координат он меняется по закону′′ai = Bii ai ,ковариантный вектор меняется следующим образомai′ = Aii′ ai ,Для (p + q) валентный тензора, p раз контравариантного и q разковариантного закон преобразования выглядит такj ′ ...j ′j′j′j′ij ...jai′1...i′p = Bj11 Bj22 .
. . Bjpp Aii1′ Aii2′ . . . Aiq′q ai11...iqp1q12Метрический (фундаментальный) тензорgij = ei ejg ki gij = δjk15Поднимание и опускание индексаxi = gij xjxi = g ij xjСопряженный базис ei определяется из условияei ej = δji .Далее в условиях задач в тех случаях, когда надо выписать компоненты какого-либо тензора, мы пользуемся матричной записью. Предварительно все индексы тензора упорядочим следующим образом:сначала все верхние индексы слева направо, потом нижние индексыслева направо.
Упорядочив индексы, можно элементы записать в виде квадратной матрицы Зафиксировав какое-либо значение третьегоиндекса k, мы получаем двумерный слой или двумерное сечение трехмерной матрицы — квадратную матрицу. В ней компоненты данноготензора расположены так, что значение первого индекса равно номерустроки, второго — столбца. а третий номер фиксирован. Например, вслучае n = 2 компоненты тензора aijk образуют “трехмерную матрицувторого порядка” 1a11 a121 a112 a122a211 a221 a212 a222Компоненты четырехвалентного тензора образуют четырехмернуюматрицу порядка n. Зафиксировав какие-либо значения k, l двух последних индексов, мы получаем квадратную матрицу Akl порядка n— двумерное сечение четырехмерной матрицы. В матрице Akl компоненты расположены так, что значение первого индекса компонентысовпадает с номером строки, значение второго — с номером столбца,а третий и четвертый индексы равны k и l.
Теперь все компонентыможно выписать в виде плоской квадратной матрицы A = (Akl ) порядка n2 образованной из элементов блоков Akl . Например, при n = 2тензору aijkl соответствует четырехмерная матрица второго порядкаa1111a1211 a1112a1212 a2111a2211 a2112a2212 − − − − − − − − − − − − , a1121a1221 a1122a1222 a2121a2221 a2122a222216содержащая четыре двумерных слоя.Пример 1. Пусть векторы базиса имеют координаты e1 = (1, 4),e2 = (2, 4). Вычислить матрицу метрического тензора gij .Решение.По определению gij = ei ej . Поэтому g11 = e1 e1 = 17, g12 = g21 =e1 e2 = 18 g22 = e1 e2 = 20.Пример 2.Пусть e1 ,e2 — базис и e′1 = e1 − e2 , e′1 = −2 e1 +3 e2 — другойбазис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
