1625913083-347b35c800d7aa625d54b9079aa1f0bd (532415), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найти преобразование сопряженного базиса и координат ковектора ξ = e1 − e2Решениеei′ = Aki′ ek , отсюда A11′ = 1, A12′ = −2, A21′ = −1, A22′ = 3. Вы′′числим обратную транспонированную матрицу B11 = 3, B21 = −2,′′B12 = 1, B12 = 1. Теперь можно записать закон преобразования со′′пряженного базиса e1 = 3 e1 −2 e2 , e2 = e1 + e2 .Ковектор преобразуется по закону ξi′ = Aii′ ξi .
Т.е. ξ1′ = A11′ ξ1 +2A1′ ξ2 = 1 + 1 = 2 ξ2′ = A12′ ξ1 + A22′ ξ2 = −2 − 3 = −5.Задачи2.1. Пусть в векторном пространстве своими координатами заданывекторы. Доказать, что даны базисы и найти координаты вектора в этом базисе(а) e1 = (2, 1), e2 = (1, 3), v = (1, 1)e′1 = (−1, 3), e′2 = (3, 1), w = (3, −2)(б) e1 = (−1, 1), e2 = (−2, 3), v = (−1, 2)e′1 = (3, 2), e′2 = (4, 3), w = (−3, 2)(в) e1 = (−1, 3), e2 = (3, −8), v = (2, 1)e′1 = (1, 0), e′2 = (3, 1), w = (−2, 1)(г) e1 = (2, 5), e2 = (1, 2), v = (1, −2)e′1 = (7, 6), e′2 = (8, 7), w = (1, −1)2.2. Векторы e1 , e2 ,...en и v заданы своими координатами в некотором базисе. показать, что векторы e1 , e2 ,...en сами образуютбазис и найти координаты вектора v в этом базисе(а) e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 1, 2), e3 = (1, 2, 3), v = (6, 9, 14);(б) e1 = (2, 1, −3), e2 = (3, 2, −5), e3 = (1, −1, 1), v = (6, 2, −7);17(в) e1 = (1, 2, −1, −2), e2 = (2, 3, 0, 1), e3 = (1, 2, 1, 3),e4 = (1, 3, −1, 0), v = (7, 14, −12);2.3.
Доказать, что каждая из двух следующих систем векторов является базисом и найти связь координат одного и того же векторав этих базисах:(а) e1 = (1, 2, 1), e2 = (2, 3, 3), e3 = (3, 7, 1),e1′ = (3, 1, 4), e2′ = (5, 2, 1), e3′ = (1, 1, −6);(б) e1 = (1, 1, 1, 1), e2 = (1, 2, 1, 1), e3 = (1, 1, 2, 1),e4 = (1, 3, 2, 3),e1′ = (1, 0, 3, 3), e2′ = (−2, −3, −5, −4), e3′ = (2, 2, 5, 4),e4′ = (−2, −3, −4, −4).2.4. Найти размерность и базис подпространств, натянутых на следующие системы векторов:(а) a1 = (1, 0, 0, −1), a2 = (2, 1, 1, 0), a3 = (1, 1, 1, 1),a4 = (1, 2, 3, 4), a5 = (0, 1, 2, 3);(б) a1 = (1, 1, 1, 1, 0), a2 = (1, 1, −1, −1, −1), a3 = (2, 2, 0, 0, −1),a4 = (1, 1, 5, 5, 2), a5 = (1, −1, −1, 0, 0).2.5. Пусть v = v i ei , где ei — базис V 3 .
Будут ли следующие функцииковекторами:(а) ξ(v) = 2v 1 − v 2 + 3v 3 ;(б) ξ(v) = v 1 + (v 2 )2 ;(в) ξ(v) = −v 1 + 3v 2 − v 1 v 2 ;(г) ξ(v) = v 1 + v 2 − v 3 ;(д) ξ(v) = v 2 + sin v 3 ;(е) ξ(v) = v 1 v 2 − v 3 + 1.2.6. В векторном пространстве V 2 с базисом e = {e1 , e2 } заданывекторы e1′ = 2 e1 + e2 и e2′ = e1 +3 e2 . Найти формуду преобразования сопряжённого базиса сопряжённого к V 2 пространства (V 2 )∗ и формулу преобразования координат ковекторов припереходе от e к e′ ; б) В базисе e в V 2 задано подпространствоуравнением x1 −x2 = 0.
Найти уравнения этого подпространствав базисе e′ .18Сделать иллюстрирующий чертёж, выбирая в качестве базиса eортонормированный базис на плоскости.2.7. В векторном пространстве V 2 с базисом e = e1 , e2 заданы векторы e1′ = 3 e1 +2 e2 и e2′ = − e1 + e2 .Найти формулу преобразования сопряжённого базиса сопряжённого к V 2 пространства (V 2 )∗ и формулу преобразования координат ковекторов при переходе от e к e′ ;б) В базисе e в V 2 задано линейное подпространство уравнениемx1 +2x2 = 0. Найти уравнения этого подпространства в базисе e′ .Сделать иллюстрирующий чертёж, выбирая в качестве базиса eортонормированный базис на плоскости.2.8.
В векторном пространстве V 4 заданы две системы векторовe = e1 , e2 , e3 , e4 и e′ = e1′ , e2′ , e3′ , e4′ своими координатами внекотором базисе:e1 = (1, 1, 1, 1), e2 = (1, 2, 1, 1), e3 = (1, 1, 2, 1), e4 = (1, 3, 2, 3),e1′ = (1, 0, 3, 3), e2′ = (−2, −3, −5, −4), e3′ = (2, 2, 5, 4),e4′ = (−2, −3, −4, −4).Проверить, что e и e′ — базисы. Найти формулу преобразованиякоординат вектора при переходе от базиса e к базису e′ ;2.9. Какие из следующих отображений t : V 3 × V 3 → R являютсятензорами? Если t - тензор, найти его координаты:(а) t(u, v) = u1 v 1 − 2u2 v 1 − 3u1 v 2 + u1 v 3 ;(б) t(u, v) = u1 u3 + u2 v 1 − v 1 v 3 ;(в) t(u, v) = (u1 + u2 + u3 )2 − (v 1 + v 2 + v 3 )2 ;(г) t(u, v) = 2u1 v 2 − 3u2 v 3 + u3 v 2 ;(д) t(u, v) = u1 v 2 + u2 v 1 − u1 + v 2 ;(е) t(u, v) = u1 v 1 − u2 v 3 + u3 v 3 .2.10.
Доказать, что следующие функции есть тензоры. Какова их валентность?(а)ε(u, v, w) = (u, v, w) — смешанное произведение;(б)ε(u, v, ξ) = ξ(u × v);(в)t(u, ξ) = ξ(A u), где A : V −→ V — линейный оператор;19(г)(д)g(u, v) = u u — скалярное произведение;ξ(u) η(u).v,t(u, ξ, η) = ξ(v) η(v) 2.11. Доказать, что совокупность чисел Akmij , определённых равенствами1, i = k, j = m,Akm=ij0, i 6= k или j 6= mявляется координатами тензора валентности (2.2).2.12. Из координат векторов u = (ui ), v = (v j ) образованы числаtij = ui + v j . Являются ли они координатами тензора?2.13.
Найти разложение тензора ε(u, v, ξ) = ξ(u × v) по базису{ei ⊗ ej ⊗ ek }, если:(а) e1 = i, e2 = j, e3 = k, {i, j, k} — правый орторепер в евклидовом пространстве E 3 ;(б) e1 = i − j +2 k, e2 = − i +2 k, e3 = j − k(в) e1 = i + j + k, e2 = i − j + k, e3 = k.2.14.
Пусть v = (2, 1, 0), ξ = (3, 7, 1),tijкоординаты следующих тензоров:1 0 2= 2 0 1 Вычислить0 1 0(а) ξ(v);(б) ξ ⊗ v;(в) (ξ ⊗ v)ii ;(г) t ⊗ ξ;(д) t ⊗ v;(е) (t ⊗ v)iij ;(ж) (t ⊗ v)iji ;(з) (t ⊗ v ⊗ v)ijij .2.15. Найти координаты тензоров в базисе {ei ⊗ ej }:(a) t = (e1 + e2 ) ⊗ (e1 − e2 );20(b) t = (e1 +2 e2 ) ⊗ (e3 + e4 ) − (e3 − 2e4 ) ⊗ (e1 − e2 );(c) t = e1 ⊗(e1 −3 e2 +e3 ) + e4 ⊗ e2 .2.16. Найтиразложениетензорасмешанногопроизведенияε(u, v, w) = (u, v, w) по базису ei ⊗ ej ⊗ ek , если объём параллелепипеда, построенного на правой тройке векторовe1 , e2 , e3 , равена) 1;б) 3.2.17. Тензоры aij , bkl , cij , xi , y k , ξj имеют такие координаты:1 2−1 11 −3kkaij k =; kbl k =; kcij k =;3 42 −31 −5xi = (1, −2);y k = (1, 1);Вычислить:ξj = (2, −1).а)aij bjk ;б) cij xi xj ;в)aij bjk + cki ;г) ckj bjl xk y l ;д)aij bjk bjl ;е)bjk xk ξj .2.18.
Тензоры aij , bkl , cij , xi , y k , ξi , ηj имеют координаты:2−1 21 2; kcij k =; kbkl k =kaij k =−11 13 4xi = (1, 0); y k = (2, 1); ξj = (1, 1); ηj = (2, −1).Вычислить:aij bjk + 2ckj ;а)в)cij bjl ;д)xi y j + bij ;ж)y k ηk .aij bjk − aij bkj ;б)cji bik ξj ξk ;г)е)bkl ξk ηl ;2.19.
Вычислить ξ ⊗ η(u, v), еслиа)ξ = e1 − e2 +3 e3 ,1б)23η = e +2 e − e ,123ξ = e +2 e − e ,η = e1 − e2 + e3 ,u = e1 −2 e2 + e3 ,v = − e1 + e2 ;u = 2 e1 − e2 − e3 ,v = e1 + e2 − e3 .21−12;2.20. Вычислить u ⊗ξ(η, v), еслиа)u = e1 − e2 +2 e3 ,ξ = e1 + e2 + e3 ,б)η = e2 +3 e3 ,v = e1 −3 e2 +2 e3 ;η = e1 + e2 − e3 ,u = 2 e1 + e2 − e3 ,ξ = 2 e1 + e2 − e3 ,v = 2 e1 + e2 +3 e3 .2.21. Вычислить u ⊗v(ξ, η), еслиа)б)ξ = e1 + e2 − e3 ,u = e1 +2 e2 + e3 ,v = − e1 + e2 − e3 ,η = 2 e1 − e2 + e3 ;v = 2 e1 −2 e2 + e3 ,η = 2 e1 − e2 + e3 .u = − e1 + e2 − e3 ,ξ = e1 + e2 −2 e3 ,2.22. Найти значение тензора t(v1 , . . .
, v5 ), если=a = e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e3 + e2 ⊗ e2 ,a ⊗ b − b ⊗ a от аргументовb = e1 ⊗ e1 ⊗(e1 − e3 ),v1 = e1 , v2 = e1 + e2 , v3 = e2 + e3 , v4 = e2 , v5 = e2 .2.23. Пусть t = e1 ⊗ e2 ⊗(e1 + e2 ). Найти координаты t в базисеe1′ , e2′ , гдеа)e1′ = e1 +2 e2 ,l2′ = 2 e1 +5 e2 ;б)e1′ = 2 e1 − e2 ,l2′ = − e1 +2 e2 ;в)l1′ = 3 e1 −2 e2 ,l2′ = e1 − e2 .2.24. На V2 заданы своими координатами в базисе {e1 , e2 } тензоры a,b и c.2 −1−1 21 2.; kcij k =; kbkl k =kaij k =−1 21 13 4Найти координаты этих тензоров в базисе {e1′ , e2′ }:e1′ = 2 e1 + e2 ,l2′ = − e1 − e2 .2.25.
На V2 заданы своими координатами в базисе {e1 , e2 } следующиетензоры:1 2−1 11 −3kikaij k =; kbl k =; kcj k =;3 42 −31 −522Найти координаты этих тензоров в базисе {e1′ , e2′ }:e1′ = e1 +2 e2 ,e2′ = e1 + e2 .2.26. Тензор t в базисе {e1 , e2 , e3 } имеет матрицу координат15 −11 5ktji k = 20 −15 8 8−7 6Найти координаты этого тензора в базисеe1′ = 2 e1 +3 e2 + e3 ,e2′ = 3 e1 +4 e2 + e3 ,e3′ = e1 +2 e2 +2 e3 ,2.27.
Найти сумму тензоров в V2 , компоненты которых заданы матрицами:1 00 5а) kAij k =, kBij k =;3 4−3 15 10 0;, kBij k =б) kAji k =0 −10 12.28. Верно ли, что:а) ξ ⊗ η = η ⊗ ξ, ξ, η ∈ V∗ ;б) v ⊗ w = w ⊗ v,v, w ∈ V;в) ξ ⊗ (η ⊗ ϕ) = (ξ ⊗ η) ⊗ ϕ,г) v ⊗ (w ⊗ u) = (v ⊗ w) ⊗ u,д) (ξ + η) ⊗ ϕ = ξ ⊗ ϕ + η ⊗ ϕ,е)ж)з)и)к)ξ, η, ϕ ∈ V∗ ;v, w, u ∈ V;ξ ⊗(η + ϕ) = ξ ⊗ η + ξ ⊗ ϕ,ξ, η, ϕ ∈ V∗ ;(v +w) ⊗ u = v ⊗ u + w ⊗ u,ξ, η, ϕ ∈ V∗ ;v ⊗ (w + u) = v ⊗ w + v ⊗ u,v, w, u ∈ V;v, w, u ∈ V;ξ ⊗ η(u, v) = u ⊗ v(ξ, η) = u ⊗ η(ξ, v),ξ ⊗ u = u ⊗ ξ,ξ ∈ V∗ , u ∈ V.23u, v ∈ V, η, ξ ∈ V∗2.29.
В V2 дан тензор tkij с координатами0 13 −1а) kt1ij k =, kt2ij k =;2 12 0Вычислить координаты ковекторов ξi = tkik ,ηi = tkki .2.30. Найти полную свёртку тензоров(а) t = (e1 + e2 − e3 ) ⊗ (e1 − e2 + e3 ) − (e1 − e2 ) ⊗ (e1 + e3 );(б) t = (2 e1 − e2 + e3 ) ⊗ (e1 + e2 +3 e3 )+(e1 + e2 + e3 ) ⊗ (e1 − e2 − e3 ).2.31.d ∂LДана функция L(t, x, ẋ), где x = (x1 , . . . , xn ). Lk =.dt ∂ ẋkДоказать, что Lk — ковектор.(∗)2.32.
Описать все инвариантные тензоры рангов 0, 1, 2, 3, 4. Здесьтензор называется инвариантным, если его компоненты не меняются ни при каких заменах координат.2.33. Дан двумерный тензор второго порядка T v = (v1 − v2 , v1 ), гдеv = (v1 , v2 ).(а) Определить его симметричную и кососимметричную части,S и A.(б) Если e1 = (1, 0) и e2 = (1, 1) — векторы базиса, вычислитьматрицы [T·ij ], [Ti·j ], [S·ij ] и [Sj·i ]. Являются ли последние двематрицы симметричными?2.34. Тензор aij задан матрицей2 5(а)1 3cos α − sin α(б)sin α cos α1 −1(в)−1 21 2 3(г) 2 3 41 1 124Найти компоненты тензоров a(ij) , a[ij] .2.35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
